Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Ngày thi 4-12-2015) - Năm học 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

 ă – 2016 
Môn: Toán 
 ă 
( làm bài: - Đề có r ) 
Bài 1(3 đ ểm): 
 a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9. 
 b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 24a + 3ab 11b chia hết 
cho 5 thì 4 4a b chia hết cho 5. 
Bài 2( đ ểm): 
 a) Cho 3 2015( ) ( 12 31)f x x x   . 
Tính f (a) với 3 3a 16 8 5 16 8 5    . 
 b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: 2 2 1x y  và 
4 4 1x y
a b a b
 

. 
Chứng minh rằng: 
2016 2016
1008 1008 1008
2
( )
x y
a b a b
 

Bài 3 ( đ ể ) 
 a) Giải phương trình: 22 3 5 2 3 12 14x x x x      
 b) Giải hệ phương trình sau : 
2 2
2
4 2 2
2
x y
x xy
  

 
Bài 4 (7 đ ể ) 
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động 
trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). 
Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB 
và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. 
 a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC. 
 b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh 
rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng. 
 c) Chứng minh tỷ số 
3
. .
AH
BC BE CF
 không đổi. 
 d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá 
trị đó. 
Bài 5 ( đ ể ) 
 Cho x;y;z dương sao cho 6
111





 xzzyyx
 Tìm giá trị lớn nhất của 
yxzxzyzyx
P
233
1
233
1
233
1





 . 
--------HẾT-------- 
 Ề Í Ứ 
 Ư Ẫ ẤM 
 ĂM -2016 
M«n To¸n 9 
C©u Néi dung Chia 
đ ể 
I.a 
a. , đ ể 
- Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5 
- Vì x,y N 
- Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) 
0,75 
0,75 
I.b b. , đ ể 
- Ta có : 
   
 
       
  
 
2 2 2 2 2 2
2 2
2
 4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b a 2ab b 5
 a 2ab b 5
 a b 5
  a b 5 ( Vì 5 là số nguyên tố) 
- Ta có:        4 4 2 2a b a b a b a b 5 (đpcm) 
0,5 
0,25 
0,5 
0,25 
II 
 âu a( đ ể ) 
3 316 8 5 16 8 5a     
 3 3 3332 3 (16 8 5)(16 8 5).( 16 8 5 16 8 5)a        
 3 32 3.( 4).a a    3 32 12a a   3 12 32 0a a   
 3 12 31 1a a    2015( ) 1 1f a   
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Câu b( đ ể ) 
Ta cã: 1)( 222  yx nªn 
ba
yx
b
y
a
x



22244 )(
)2()()( 422444 yyxxabybaaxbab  
02 224242  yabxyaxb 
0)( 222  aybx 
Tõ ®ã: 






baba
yx
b
y
a
x 1
2222 2016 2016
1008 1008 1008
1
( )
x y
a b a b
  

2016 2016
1008 1008 1008
2
( )
x y
a b a b
 

KL: 
1 
1 
III âu a( đ ể ) 
Gi¶i ph-¬ng tr×nh: 22 3 5 2 3 12 14x x x x      
 §K: 1,5 2,5x  
+ Sö dông bÊt ®¼ng thøc c« si hoÆc Bu nhi a ®¸nh gi¸ VT  2 
+ §¸nh gi¸ VP 2 
Do ®ã: PT 
2 2 3 5 2
2
2 2
VT x x
x
VP x
   
    
  
KL. 
0,5 
0,75 
0,75 
III âu b( đ ể ) 
Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x =
2
3

 y 
- Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1 
- Nếu x =
2
3

 y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm 
KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1). 
1 
1 
IV 
K
M
I
N
F
E
O QP H
A
B C
IV Câu a(1 đ ể ) 
XÐt tam gi¸c vu«ng ABH cã HEAB 
 AB.AE = AH2 (1) 
XÐt tam gi¸c vu«ng ACH cã HFAC 
 AC.AF = AH2 (2) 
Tõ (1) vµ (2) suy ra AE.AB = AF.AC. 
0,5 
0,5 
IV Gãc IAH b»ng 2 lÇn gãc BAH 
Gãc KAH b»ng 2 lÇn gãc CAH 
Suy ra gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 
Suy ra I, A vµ K th¼ng hµng 
IV âu ( đ ể ) 
Ta có: AH
2
 = BH.CH  AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA = 
BE.CF.AH.BC  AH3 = BE.CF.BC 
3
. .
AH
BE CE BC
 = 1 
IV âu d( đ ể ) 
SPQFE = 
1 1
( ). .
2 4
PE FQ FE BC FE  . Mà FEPQ hay FE
2
BC
  
SPQFE
2
8
BC
 Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chính giữa của nửa 
đường tròn tâm O, đường kính BC. 
V 
( đ ể ) 
HD Áp dụng BĐT + với a; b là các số dương. Ta có: 
 + ) = 
 + ) 
 + )+ + )] = + ) 
Tương tự 
 + ) 
 + ) 
Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được: 
 + ) + + ) = + + ) =