Đề thi học sinh giỏi thành phố môn Toán lớp 12 THPT năm học 2009 – 2010 TP. Hà Nội (Vòng 1)

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI 	KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ MÔN TOÁN LỚP 12 THPT
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 Năm học 2009 – 2010 
 Ngày thi: 12 – 11- 2009
 Thời gian làm bài: 180 phút 
 (Đề thi gồm 01 trang)
Bài I (6 điểm): Cho hàm số y = (x2 - 1)2 – (m + 1)2(1 - m)2 có đồ thị là (Cm)
1. Biện luận theo m số giao điểm của (Cm) với trục hoành.
2. Xác định các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tương ứng lập thành cấp số cộng.
Bài II (5 điểm): 
Giải phương trình: 94x+1 - 3x-2=x+3.
Cho dãy số (Un) có Un= PnAn+2n với n là số nguyên dương. 
Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + . . . + un. Tìm limSn.
Bài III (5 điểm): 
	Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Với M là điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D’C’ sao choAM + D’N = a.
Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
Tính thể tích của khối chóp B’.A’MCN theo a. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’MCN) đạt giá trị lớn nhất. Tính khoảng cách lớn nhất đó theo a.
Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của điểm C xuống đường thẳng MN khi điểm M chạy trên cạnh AB.
Bài IV (4 điểm): 
Cho hai số thực x, y thỏa mãn 1 ≥x ≥y>0.
Chứng minh ràng: x3y2+ y3+ x2x2+ y2+ 1 ≥xy.
Viết phương trình vủa đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = (x – 1)(x3 + x2 + 1) tại hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số.
--------------------------------------- Hết ---------------------------------------
(Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Phòng thi: . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .