Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012 Môn: Toán

Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 1
www.vnmath.com
Câu I
Giải hệ phương trình x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0x(x− 2y + 2) = −1.
Câu II
Tìm hệ số của số hạng x10 trong khai triển của (1 + x+ x2 + x3)15.
Câu III
Cho đa giác bảy cạnh đều ABCDEFG. Chứng minh: 1
AB
= 1
AC
+ 1
AD
.
Câu IV
Cho các số thực x, y, z ∈ [0, 1]. Chứng minh: x2+y2+z2 ≤ x2y+y2z+z2x+1.
Câu V
Cho phương trình x2n − 3x+ 2 = 0 (1) trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1.
1. Chứng minh rằng ứng với mỗi n, (1) có đúng một nghiệm xn ∈ [0, 1].
2. Gọi (xn) với n = 2, 3, 4, ... là dãy số có được theo trên. Chứng minh rằng
dãy số đơn điệu và bị chặn.
Câu VI
Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1; M là điểm di động
trên đường chéo BD1 của hình lập phương. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA+
MD.
1
www.VNMATH.com
Đề thi Học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 2
www.vnmath.com
Câu I
Ngũ giác đều ABCDE có cạnh bằng 1 có tâm là O. Phép quay tâm O với
góc quay ϕ biến ngũ giác ABCDE thành ngũ giác A1B1C1D1E1. Tính diện
tích phần chung S của hai ngũ giác theo ϕ. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
Câu II
Giải hệ phương trình: 
(x+ y)3 = z
(y + z)3 = x
(z + x)3 = y.
Câu III
Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Chứng minh:
1 + x2
1 + y + z2
+
1 + y2
1 + z + x2
+
1 + z2
1 + x+ y2
≥ 2.
Câu IV
Cho các dãy số {an}, {bn} với n = 0, 1, 2, 3... thỏa các điều kiện sau:
(i) (i) a0 = b0 = 1;
(ii) an+1 = an + bn với mọi n ∈ N;
(iii) bn+1 = 3an + bn với mọi n ∈ N.
1. Tìm công thức tổng quát của an, bn.
2. Chứng minh rằng tồn tại một hằng số thực k sao cho n|k.ab − bn| < 2
với mọi n.
Câu V
Tìm tất cả các hàm số f : [0; +∞) → [0; +∞) thỏa f(f(x)) + 7f(x) = 18x
với mọi x ≥ 0.
2
www.VNMATH.com