Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hà Nam 2011-2012 môn Toán

Đề thi học sinh giỏi Tỉnh Hà Nam 2011-2012
Bài 1 (5đ):
Tìm tất cả các hàm số xác định trên tập số thực R và thỏa mãn:
Bài 2 (4đ):
Cho dãy số thực thỏa mãn với n nguyên dương
a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho
Bài 3 (3đ):
Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho là số chính phương
Bài 4 (5đ):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn . Gọi P, Q, R theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của D trên các đường thẳng BC, CA, AB.
a. Chứng minh 3 điểm P,Q,R thẳng hàng.
b. Chứng minh rằng QP=QR khi và chỉ khi phân giác của góc và cắt nhau tại 1 điểm thuộc AC
Bài 5 (3đ):
Một dãy với được gọi là 1 xâu nhị phân có độ dài n. Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài n ( n>3) chứa đúng 2 lần xuất hiện của 01 .