Đề thi học sinh giỏi trường năm học 2009 – 20 môn: Toán học 10

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN	 ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010
 TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU III	 	Môn: Toán học 10
 ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Thời gian: 120 phút
Câu 1: Giải phương trình, bất phương trình sau:
a. 
b. 
Câu 2: Giải hệ phương trình:
Câu 3: Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm là R:
Câu 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E bất kì, D là điểm cùng 
phía với B đối với đường thẳng AC sao cho tam giác CED đều. Gọi N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BE. 
Chứng minh rằng: Tam giác CNP đều.
Tìm quỹ tích điểm M sao cho: 
Câu 5: Cho x, y thỏa mãn: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
-------------------------Hết-----------------------
ĐÁP ÁN
Câu 1: a. ĐKXĐ: . Với ĐK đó:
Ta có: (1)
ĐKXĐ: . Với ĐK đó:
 Đặt Suy ra: 
Khi đó bất phương trình trở thành: 
Với suy ra: 
 (đúng )
Với suy ra: 
 (đúng )
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Câu 2: Ta có: 
Mặt khác 
Do đó: Hệ PT
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là x=y=1
Câu 3: Đặt suy ra . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
 (1)
Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R thì (1) phải có tập nghiệm là 
Xét ta có 2 trường hợp:
- : . Khi đó ta có bảng biến thiên trên 
t
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để với thì: 
hay 
Kết hợp với ĐK trên ta thấy không có m thỏa mãn
- : Khi đó ta có bảng biến thiên trên 
t
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để với thì: 
Hay (thỏa mãn ĐK)
A
B
C
E
D
N
P
Vậy ĐK để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R là 
Câu 4: a, Dễ dàng chứng minh được
 (c.g.c)
Từ đó suy ra:
Mà AC=BC
Suy ra 
Do đó: hay 
Suy ra tam giác NCP cân và có 1 góc bằng 600
Vậy tam giác NCP đều . 
b, Gọi O là trọng tâm của 
vì đều nên OA=OB=OC. Ta có:
Mà thay vào ta được: 
Vậy M thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với OC.
Câu 5: Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
-TH1: y=0x2=1
Khi đó 
-TH2: y0 khi đó ta có thể đặt x=k.y
ĐK bài toán trở thành và 
Do đó (*)
Để (*) có nghiệm thì hay suy ra 
Khi P= thay vào (*) được k=
Suy ra 
Nếu y= thì 
Nếu y= thì 
Vậy với x;y nhận các giá trị như trên.
Cách 2: Áp dụng BĐT ta được
Và đẳng thức xảy ra khi a=b hay x và y nhận các giá trị như cách 1
Cách 3: (Sử dụng vectơ để CM BĐT)
Trong mặt phẳng tọa độ chọn và sao cho 
Mọi người thử suy nghĩ và tìm cách chọn xem!
Khi chọn xong rồi thì ta có ngay BĐT:
Từ đó tìm được GTLN của P rồi xét điều kiện xảy ra dấu “=”