Đề thi HSG 12 Long An (vòng 1) năm học 2010 – 2011 môn Toán

Đề thi HSG 12 Long An (vòng 1) năm học 2010 – 2011
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH VÒNG 1
MÔN TOÁN. NGÀY THI 14/10/2010
THỜI GIAN LÀM BÀI: 180 phút (không kể phát đề)
Câu 1. Giải các hệ phương trình sau:
a) 
b) 
Câu 2.
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi M là điểm tùy ý nằm trên đường tròn này.
a) Chứng minh: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2.
b) Chứng minh: MA4 + MB4 + MC4 = 18R4.
c) Thay tam giác ABC đều bằng hình vuông ABCD.
Hãy tính P = MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ; Q = MA4 + MB4 + MC4 + MD4.
Câu 3.
Cho số thực và xét dãy số (xn) với (n N*)
a) Với (1 ; 2). Chứng minh 1 < xn < 2 với mọi n N* và (xn) là dãy số giảm.
b) Với [1 ; +). Tùy vào giá trị của , tìm giới hạn của (xn).
Câu 4.
a) Cho a, b, c > 0 và . Chứng minh abc .
b) Cho a, b, c > 0 và . Chứng minh abc .
Câu 5.
Trên [0 ; 2) xét n (n N*) phương trình: cosx = 1; cos2x = 1; cos3x = 1; ; cosnx = 1.
Ta đếm tất cả các nghiệm của n phương trình trên. Đặt kết quả của phép đếm là T.
Ta tính tổng tất cả các nghiệm của n phương trình trên và đặt kết quả là S.
a) Giải phương trình: cosnx = 1 trên [0 ; 2).
b) Chứng minh: S = (T – n).