Đề thi tuyển sinh đại học khối d năm 2009 môn thi: Toán

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Môn thi : TOÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2,0 điểm). 
	Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
	2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu II (2,0 điểm)
	1. Giải phương trình 
	2. Giải hệ phương trình 	(x, y Î R)
Câu III (1,0 điểm).	Tính tích phân 
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
	1.	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
	2.	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện çz – (3 – 4i)ç= 2.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1.	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho = 300.
2.	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D: và mặt phẳng 
(P): x + 2y – 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng D.
Câu VII.b (1,0 điểm)
	Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung.
BÀI GIẢI GỢI Ý 
Câu I. 1. m = 0, y = x4 – 2x2 .	TXĐ : D = R
	y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 Û x = 0 Ú x = ±1; 
x
-¥ -1 0 1 +¥
y'
-1
x
y
-1
 1
0
 - 0 + 0 - 0 +
y
+¥ 0 +¥
 -1 CĐ -1
 CT CT
	y đồng biến trên (-1; 0); (1; +¥)
	y nghịch biến trên (-¥; -1); (0; 1)
	y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
	y đạt cực tiểu bằng -1 tại x = ±1
	Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
	Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (±;0)
2. 	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = -1 là 
	x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 
	Û x4 – (3m + 2)x2 + 3m + 1 = 0 Û x = ±1 hay x2 = 3m + 1 (*)
	Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 và < 2
	Û Û 
Câu II. 1) Phương trình tương đương :
	Û Û 
	Û hay 
	Û hay 
	Û hay (k Î Z).
	2) Hệ phương trình tương đương :
	ĐK : x ≠ 0
	Đặt t=x(x + y). Hệ trở thành:
	Vậy 
Câu III : 
C 
I 
M 
B 
H 
C/ 
Câu IV.
H laø hình chieáu cuûa I xuoáng maët ABC
Ta coù 
 (đvtt)
Tam giaùc A’BC vuoâng taïi B
Neân SA’BC=
Xeùt 2 tam giaùc A’BC vaø IBC, Ñaùy 
Vaäy d(A,IBC) 
Câu V.	S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
	= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
	= 16x2y2 – 2xy + 12 
	Đặt t = x.y, vì x, y ³ 0 và x + y = 1 nên 0 £ t £ ¼ 
	Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 
	S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 Û t = 
	S(0) = 12; S(¼) = ; S () = . Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
	Max S = khi x = y = 
	Min S = khi hay 
PHẦN RIÊNG
Câu VI.a.
1) 	Gọi đường cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0
	A = AH Ç AD Þ A (1;2)
	M là trung điểm AB Þ B (3; -2)
	BC qua B và vuông góc với AH Þ BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 Û x + 6y + 9 = 0
	D = BC Ç AD Þ D (0 ;)
	D là trung điểm BC Þ C (- 3; - 1)
	AC qua A (1; 2) có VTCP 
	nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 Û 3x – 4y + 5 = 0
2)	AB qua A có VTCP nên có phương trình : 
	D Î AB Û D (2 – t; 1 + t; 2t)
	. Vì C Ï (P) nên : 
	Vậy : 
Câu VI.b. 1.	(x – 1)2 + y2 = 1. Tâm I (1; 0); R = 1
	Ta có = 300, DOIM cân tại I Þ = 300 
	Þ OM có hệ số góc k = = 
	+ k = ± Þ pt OM : y=± thế vào pt (C) Þ 
	Û x= 0 (loại) hay . Vậy M 
Cách khác:
O
I
H
Ta coù theå giaûi baèng hình hoïc phaúng
OI=1, , do ñoái xöùng ta seõ coù 
2 ñieåm ñaùp aùn ñoái xöùng vôùi Ox
H laø hình chieáu cuûa M xuoáng OX.
Tam giaùc laø nöûa tam giaùc ñeàu
OI=1 => 
 Vaäy 
2.	Gọi A = D Ç (P) Þ A(-3;1;1)
	; 
	d đđi qua A và có VTCP nên pt d là :
Câu VII.a. Gọi z = x + yi. Ta có z – (3 – 4i) = x – 3 + (y + 4)i
	Vậy ÷z – (3 – 4i)÷ = 2 Û Û (x – 3)2 + (y + 4)2 = 4
	Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z trong mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = 2.
Câu VII.b. pt hoành độ giao điểm là : 	(1)
	Û x2 + x – 1 = x(– 2x + m) (vì x = 0 không là nghiệm của (1))
	Û 3x2 + (1 – m)x – 1 = 0
	phương trình này có a.c < 0 với mọi m nên có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
	Ycbt Û S = x1 + x2 = = 0 Û m – 1 = 0 Û m = 1.
Trần Minh Thịnh 
(THPT Marie Curie – TP.HCM)