Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Toán - Năm học 2018-2019 - Sở Giáo dục và Đào tạo Ninh Bình (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2018 - 2019
Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 03/06/2018
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức với , .
Rút gọn biểu thức . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 2 (2,5 điểm).
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình .
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm các số tự nhiên , thỏa mãn .
Cho ,, là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh
.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba điểm cố định ,, thẳng hàng ( nằm giữa và ). Gọi là một đường tròn thay đổi luôn đi qua và (tâm không thuộc đường thẳng ). Từ kẻ các tiếp tuyến , đến đường tròn (, là các tiếp điểm và , nằm cùng trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ). Gọi , lần lượt là trung điểm của và .
Chứng minh .
Trên lấy điểm sao cho song song với . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn và song song với .
Chứng minh rằng khi đường tròn thay đổi thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc một đường thẳng cố định.
Câu 5 (0,5 điểm).
Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt , , , bất kì nằm trên đường tròn . Chứng minh rằng luôn tìm được điểm nằm trên đường tròn thỏa mãn:
.
--------- Hết ---------
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:.................................................
Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi 1:..................................................................................................
 Cán bộ coi thi 2:..................................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2018 - 2019
Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 03/6/2018
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Nội dung
Điểm
1
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm) 
0,25
0,25
0,25
 .
0,25
b) (1,0 điểm) 
0,25
0,25
. Đẳng thức xảy ra khi (TMĐK).
0,25
Vậy giá trị lớn nhất của bằng khi .
0,25
2 
(2,5 điểm)
a) (1,25 điểm) 
ĐK: .
0,25
0,25
0,25
.
0,25
Đối chiếu điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiệm .
0,25
b) (1,25 điểm)
ĐK: .
0,25
Đặt .
0,25
Hệ phương trình trở thành 
0,25
 (TMĐK).
0,25
Khi đó ta có .
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là .
0,25
3 
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Biến đổi phương trình về dạng 
0,25
Do nên từ ta có 3 hệ phương trình sau:
+) ; 
+) ; 
+) .
(Viết đủ 3 hệ phương trình 0,25 điểm; giải đúng 3 hệ phương trình 0,25 điểm)
0,5
Đối chiếu điều kiện suy ra các số tự nhiên cần tìm là , .
0,25
b) (1,0 điểm) 
Chứng minh bất đẳng thức: 
Với hai số dương ta có . Đẳng thức xảy ra khi .
0,25
Đẳng thức xảy ra khi .
0,25
Tương tự ta có
. Đẳng thức xảy ra khi .
. Đẳng thức xảy ra khi .
0,25
Suy ra (vì giả thiết ta có ).
Đẳng thức xảy ra khi .
0,25
4 
(3,0 điểm)
Vẽ hình đúng cho ý a) được 0,25 điểm.
a) (1,0 điểm) 
Xét và có:
 chung
0,25
(vì cùng chắn )
 .
0,25
0,25
.
0,25
b) (1,25 điểm)
Chỉ ra 
 5 điểm A, E, K, O, D thuộc đường tròn đường kính 
0,25
(góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn đường kính ). 
0,25
Vì (gt) (đồng vị)
 Tứ giác BEKM nội tiếp đường tròn.
0,25
 (cùng chắn ). 
0,25
Trong có: (cùng chắn ) .
0,25
c) (0,5 điểm)
Gọi N là giao điểm của và . 
Chứng minh , kết hợp với tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính .
Trong tam giác vuông , đường cao ta có . 
Mà (cmt) .
0,25
 K là trung điểm của mà , cố định K cố định
 N cố định (vì )
 Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác thuộc đường trung trực của đoạn .
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc một đường thẳng cố định.
0,25
5 
(0,5 điểm)
Gọi là đường kính bất kì của . 
Ta có: ; ;;.
 (1).
0,25
Vì dấu bằng xảy ra ở (1) khi trùng với hoặc Trong điểm , , , có ít nhất hai điểm trùng nhau (mâu thuẫn giả thiết).
Do đó hoặc .
0,25
------------ Hết ------------