Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán (Chuyên) - Năm học 2020-2021 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có hướng dẫn chấm)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2020 - 2021
 Bài thi môn chuyên: TOÁN; Ngày thi: 18/7/2020
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm): 
 1. Cho P a 2 a 2 (a 1)2 (a 1)2 với a ¢ . Chứng minh P là một số tự nhiên.
 x 1 1 1 
 2. Tính giá trị của biểu thức A 2 : với x 4 2 3 .
 x x x x 1 
Câu 2 (2,0 điểm):
 1. Cho phương trình x 2 2mx 2m 1 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 
 2
biệt x1,x 2 , x1 x 2 thỏa mãn: 4x1 x 2 .
 x 2 2y2 xy x y 0
 2. Giải hệ phương trình: 
 2 2
 x y 10
Câu 3 (1,5 điểm): 
 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 2022 là số chính phương.
 2. Giải bất phương trình x 1 4 x 1. 
Câu 4 (3,0 điểm):
 Cho đường tròn T tâm O và dây cung AB cố định (O AB). P là điểm di động trên 
đoạn thẳng AB ( P A,B và P khác trung điểm của đoạn thẳng AB). Đường tròn T1 tâm 
C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn T tại A . Đường tròn T2 tâm D đi qua điểm P 
tiếp xúc với đường tròn T tại B. Hai đường tròn T1 và T2 cắt nhau tại N ( N P ). Gọi 
 d1 là tiếp tuyến chung của T với T1 tại A , d2 là tiếp tuyến chung của T với T2 tại 
B, d1 cắt d2 tại điểm Q .
 1. Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn.
 2. Chứng minh: A· NP B· NP và bốn điểm O,D,C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng ON luôn đi qua một điểm cố 
định khi P di động trên đoạn thẳng AB( P A,B và P khác trung điểm của đoạn thẳng AB).
Câu 5 (1,5 điểm): 
 1. Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 2021.
 a 2 b2 c2 1 2021
 Chứng minh rằng: .
 b c c a a b 2 2
 2. Với số thực a , ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt 
quá a và kí hiệu là a. Dãy các số x0 ,x1,x 2 ,.....,x n ,...được xác định bởi công thức 
 n 1 n 
x . Hỏi trong 200 số x ,x ,x ,.....,x có bao nhiêu số khác 0 ? 
 n 0 1 2 199
 2 2 
(Biết 1,41 2 1,42 )
 ------HẾT------
 Lưu ý: Thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ
 và không có chức năng soạn thảo văn bản.
Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:...................................................
Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi thứ nhất:................................................................................
 Cán bộ coi thi thứ hai:.................................................................................. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
 TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
 NĂM HỌC: 2020 - 2021
 Bài thi môn chuyên: TOÁN - Ngày thi: 18/7/2020
 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
 1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
 3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
 4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ 
từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất.
 5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm 
bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi.
 6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu Nội dung Điểm
 1. (1,0 điểm) Cho P a 2 a 2 (a 1)2 (a 1)2 với a ¢ . Chứng minh P là một số 
 tự nhiên.
 P a 2 a 2 (a 2 2a 1) (a 1)2 a 4 2a3 2a 2 (a 1)2 0,25
 a 4 2a 2 (a 1) (a 1)2 0,25
 (a 2 a 1)2 a 2 a 1 0,25
 Vì a ¢ P ¥ ( đpcm). 0,25
 x 1 1 1 
 1 2. (1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức A 2 : với x 4 2 3 .
(2,0 x x x x 1 
 đ) Với 0 x 1
 x 1 1 1 x 1 x 1 x 0,25
 Ta có: A 2 : :
 x x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 
 1 1 1
 : 0,25
 x x 1 x x 1 x
 2
 Với x = 4 + 2 3 3 1 x 3 1 0,25
 1 3 1
 Suy ra A = = 0,25
 3 1 2
 1. (1,0 điểm). Cho phương trình x 2 2mx 2m 1 0 . Tìm m để phương trình có 
 2
 hai nghiệm phân biệt x1,x 2 , x1 x 2 thỏa mãn: 4x1 x 2 .
 2 x 1
 2 x 2mx 2m 1 0 0,25
(2,0 x 2m 1
 đ) +) Nếu 1 2m 1 m 1
 3
 m 
 2 2 2m 1 2 2 0,25
 Từ giả thiết 4x x 4 2m 1 
 1 2 2m 1 2 1
 m 
 2
 1 +) Nếu 2m 1 1 m 1
 2 5 0,25
 4x x 1 4 2m 1 m 
 1 2 8
 3 5
 Kết luận m ; . 0,25
 2 8
 x 2 2y2 xy x y 0
 2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
 2 2
 x y 10
 2 2 x y
 Có x 2y xy x y 0 x y x 2y 1 0 0,25
 x 1 2y
 2 2 2
 +) Trường hợp 1: thay y x vào x y 10 ta được 2x 10 x 5 0,25
 2 2
 +) Trường hợp 2: thay x 1 2y vào x y 10 ta được 
 y 1
 2 2 2 0,25
 ( 1 2y) y 10 5y 4y 9 0 9
 y 
 5
 13 9 
 Vậy hệ có 4 nghiệm (x;y) ( 5; 5),( 5; 5),( 3;1),( ; ). 0,25
 5 5 
 1. (0,75 điểm) . Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 2022 là số chính phương. 
 Đặt n2 2022 y2 với y là số nguyên khác 0.
 n2 2022 y2 y n y n 2022. 0,25
 Có y n y n 2y là số chẵn nên y n và y n cùng tính chẵn lẻ
 Nếu y n là số lẻ thì y n cũng lẻ y n y n là số lẻ
 0,25
 y n y n 2022 .
 3 Nếu y n là số chẵn thì y n cũng chẵn y n y n 4 20224 (vô lý)
(1,5 0,25
 Vậy không tồn tại n thỏa mãn bài toán.
 đ)
 2. (0,75 điểm) Giải bất phương trình x 1 4 x 1
 Điều kiện: 1 x 4 . 0,25
 x 1 4 x 1 x 1 2 1 4 x 0 0,25
 x 3 x 3 1 1 
 0 x 3 0 x 3
 x 1 2 1 4 x x 1 2 1 4 x 
 0,25
 Đối chiếu ĐK tập nghiệm của bất phương trình là: [- 1;3)
 2 Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn T tâm O và dây cung AB cố định ( O AB). P là 
 điểm di động trên đoạn thẳng AB ( P A,B và P khác trung điểm của đoạn thẳng 
 AB). Đường tròn T1 tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn T tại A . 
 Đường tròn T2 tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn T tại B. Hai đường 
 tròn T1 và T2 cắt nhau tại N ( N P ). Gọi d1 là tiếp tuyến chung của T với 
 T1 tại A , d2 là tiếp tuyến chung của T với T2 tại B, d1 cắt d2 tại điểm Q .
 1. Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn.
 2. Chứng minh: A· NP B· NP và bốn điểm O,D,C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 3. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳngO N luôn đi qua một điểm cố định khiP 
 di động trên đoạn thẳngA B(P A,B và P khác trung điểm của đoạn thẳngA B).
 N H O
 D
 C
 A
 P B
 4 
(3,0 
 đ) E
 Q
 Vẽ hình được 0,5 điểm
 1. (0,5 điểm) Chứng minh tứ giác AOBQ nội tiếp đường tròn.
 Có O· AQ 900 (Tính chất tiếp tuyến) 0,25
 O· BQ 900 (Tính chất tiếp tuyến) .
 0,25
 A,B cùng nhìn OQ dưới một góc vuông nên tứ giác AOBQ nội tiếp 1 .
 2. (1,25 điểm)
 Chứng minh rằng A· NP B· NP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
 1
 Trong đường tròn T có A· NP Q· AP ( sđ A»P)
 1 2
 0,25
 1
 Trong đường tròn T có B· NP Q· BP ( sđ B»P)
 2 2
 1
 Trong đường tròn T có Q· AP Q· BP ( sđ A»B) A· NP B· NP 0,25
 2
 Ta có A· NB A· NP B· NP Q· AP Q· BP 1800 A· QB, suy ra NAQB nội tiếp 2 .0,25
 3 Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B cùng nằm trên một đường tròn 
 0,25
 O· AN O· BN ( hai góc nội tiếp cùng chắn O»N )
 · ·
 Trong T1 có OCN 2OAN (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). 
 · ·
 Trong T2 có ODN 2OBN (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung). 0,25
 O· CN O· DN suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 
 3.(0,75 điểm). Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng ON luôn đi 
 qua một điểm cố định khi P di động trên đoạn thẳng AB( P A,B và P khác 
 trung điểm của đoạn thẳng AB).
 Theo các ý trên suy ra 5 điểm O, N,A,Q,B cùng nằm trên đường tròn đường kính OQ 0,25
 Gọi E là trung điểm OQ; do O,Q cố định suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi 
 0,25
 đi qua các điểm O, N,A,Q,B .
 OE NE E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng ON
 0,25
 Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định. 
 1. (0,75 đ) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: 
 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 2021.
 a 2 b2 c2 1 2021
 Chứng minh rằng: .
 b c c a a b 2 2
 Đặt x b2 c2 , y c2 a 2 , z a 2 b2 với ( x, y,z 0;x y z 2021);
 y2 z2 x 2 x 2 z2 y2 x 2 y2 z2
 a 2 , b2 ,c2 
 2 2 2
 và áp dụng các BĐT: 0,25
 b c 2 b2 c2 2x,c a 2 c2 a 2 2y, a b 2 a 2 b2 2z 
 y2 z2 x 2 z2 x 2 y2 x 2 y2 z2
 suy ra VT 
 2 2x 2 2y 2 2z
 5 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 
(1,5đ x y z 
 2 2 2x 2y 2z 
 ) 0,25
 1 (y z)2 (z x)2 (x y)2 
 2x 3x 2y 3y 2z 3z 
 2 2 2x 2y 2z 
 1
 2(y z) 3x 2(z x) 3y 2(x y 3z 
 2 2
 0,25
 1 1 2021
 Suy ra VT (x y z) (đpcm).
 2 2 2 2
 2. (0,75 đ) Với số thực a , ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn 
 nhất không vượt quá a và kí hiệu là a. Dãy các số x0 ,x1,x 2 ,.....,x n ,...được xác 
 n 1 n 
 định bởi công thức x . Hỏi trong 200 số x ,x ,x ,.....,x có bao 
 n 0 1 2 199
 2 2 
 nhiêu số khác 0 ? 
 (Biết 1,41 2 1,42 )
 4 n 1 n n 1 n 1
Ta có x 1 1 2 0 x 1
 n n 
 2 2 2 2 2 0,25
 x n 0
 Nên các số khác 0 chỉ nhận giá trị bằng 1.
 x n 1
199 1 0 2 1 200 199 
 x ... 0,25
 i 
 i 0 2 2 2 2 2 2 
 200
 100 2 0,25
 2 
Mà 141 100 2 142 nên số các số khác 0 là 141
 ------------ Hết ------------
 5