Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có đáp án)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2019 - 2020
Bài thi môn: Toán; Ngày thi: 04/6/2019
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm):
1. Rút gọn biểu thức .
2. Giải hệ phương trình .
3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và . 
Câu 2 (2,5 điểm): 
1. Rút gọn biểu thức (với x ≥ 0, x ¹ 9).
2. Cho phương trình (1) với m là tham số.
a. Giải phương trình (1) khi .
b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm , sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (1,0 điểm):
	Bác Bình gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng A, kì hạn một năm. Cùng ngày, bác gửi tiết kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng B, kì hạn một năm, với lãi suất cao hơn lãi suất của ngân hàng A là 1%/năm. Biết sau đúng 1 năm kể từ ngày gửi tiền, bác Bình nhận được tổng số tiền lãi là 16,5 triệu đồng từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là bao nhiêu phần trăm?
Câu 4 (3,5 điểm):
	1. Cho đường tròn tâm O và một điểm nằm ngoài đường tròn. Từ kẻ đường thẳng đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm A, B (A nằm giữa M và B). Kẻ đường thẳng thứ hai đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D, C khác A). Đường thẳng vuông góc với MA tại M cắt đường thẳng BC tại N, đường thẳng NA cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E.
a. Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh DE vuông góc với .
2. Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua sông từ vị trí A ở bờ bên này sang vị trí B ở bờ bên kia, đường thẳng AB vuông góc với các bờ sông. Do bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị trí C cách B một khoảng bằng 30m. Biết khúc sông rộng 150m, hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây).
Câu 5 (1,0 điểm):
1. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước nguyên dương của là một số chính phương.
2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
-----HẾT-----
Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:..........................................
Họ và tên, chữ ký:
Cán bộ coi thi thứ nhất:............................................................................
Cán bộ coi thi thứ hai:..............................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: 04/6/2019
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu
Nội dung
Điểm
1
(2,0 điểm)
1. (0,5 điểm)
0,25
.
0,25
2. (0,75 điểm) 
0,25
0,25
. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
0,25
3. (0,75 điểm) 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:
.
0,25
Với thì .
0,25
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là .
0,25
2 
(2,5 điểm)
1. (1,0 điểm) 
0,25
0,25
0,25
.
0,25
2. (0,75 điểm)
Với , phương trình (1) có dạng (2).
0,25
Ta có .
0,25
Do đó phương trình (2) có hai nghiệm: ;. 
Vậy với , phương trình (1) có tập nghiệm .
0,25
3. (0,75 điểm)
.
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi .
0,25
Theo Vi-et, ta có: .
Do đó .
0,25
Với , . Đẳng thức xảy ra khi .
 Giá trị lớn nhất của S bằng 50 đạt được khi .
Vậy là giá trị cần tìm.
0,25
3
(1,0 điểm)
Gọi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn 1 năm của ngân hàng A là .
Khi đó lãi suất tiền gửi tiết kiệm 1 năm của ngân hàng B là .
0,25
Số tiền lãi bác Bình có được sau 1 năm từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm là:
 (triệu đồng).
0,25
Theo bài ra ta có phương trình 
0,25
 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn 1 năm của ngân hàng A là .
0,25
4
(3,5 điểm)
1. (2,5 điểm)
Vẽ hình đúng để làm được ý a: 0,5 điểm
0,5
a. (1,0 điểm)
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0,25
 (góc kề bù với ).
0,25
Lại có (vì theo giả thiết).
0,25
Xét tứ giác AMNC có mà hai góc này ở vị trí đối nhau. Suy ra tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.
0,25
b. (1,0 điểm)
Tứ giác ACDE nội tiếp (cùng bù với ).
0,25
Tứ giác AMNC nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
.
0,25
Mà 2 góc này ở vị trí sole trong nên DE // MN.
0,25
Lại có (gt) . 
0,25
2. (1,0 điểm)
Vẽ hình đúng: 0,25 điểm
0,25
Ta có: vuông tại B; ; ; dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo bằng số đo của .
0,25
Ta có: .
0,25
 .
Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo xấp xỉ bằng.
0,25
5 
(1,0 điểm)
1. (0,5 điểm)
Cách 1: Các ước nguyên dương của là .
Đặt ; S là một số chính phương khi và chỉ khi .
0,25
Ta có (*).
Vì p là số nguyên tố nên từ (*) suy ra mà . Vậy (*) vô lí.
Do đó không có số nguyên tố p nào thỏa mãn ycbt.
0,25
Cách 2: Các ước nguyên dương của là .
Đặt ; S là một số chính phương khi và chỉ khi .
0,25
Ta có (*) suy ra .
Mặt khác suy ra .
(*) và (**) mâu thuẫn nhau. Do đó không có số nguyên tố p nào thỏa mãn ycbt.
0,25
2. (0,5 điểm)
Cho 2n số thực dương . 
Ta có . Đẳng thức xảy ra khi .
(Học sinh không phải chứng minh, theo Công văn 1234)
Áp dụng, ta có.
0,25
Theo Cô-si: .
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi .
 Vậy GTNN của T là , đạt được khi .
0,25
------------ Hết ------------