Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2018-2019 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi : TOÁN(Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) 
	1) Cho và . 
	Rút gọn theo .
2) Cho các số dương thỏa mãn 
 Chứng minh .
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình .
2) Giải hệ phương trình . 
Câu 3 (2,0 điểm)
1) Đặt , với là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chia hết cho thì chia hết cho . 
2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên và để là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho nửa đường tròn đường kính . Gọi là điểm di động trên nửa đường tròn ( khác ). Kẻ (thuộc ) sao cho đường tròn đường kính cắt và nửa đường tròn lần lượt tại ( khác ). Đường thẳng cắt tại .
1) Tínhtheo và chứng minh rằng thẳng hàng.
2) Chứng minh rằng .
3) Trên lấy cố định (khác ) . Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và . Xác định vị trí của để diện tích tam giác nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm)
	Cho các số dương thỏa mãn . 
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
----------HẾT--------
Họ và tên thí sinh:....................................................Số báo danh: ..........................
Chữ kí của giám thị 1:......................................Chữ kí của giám thị 2:....................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2018 - 2019
Môn thi : TOÁN(Chuyên)
 (Hướng dẫn gồm 04 trang)
Câu
Nội dung
Điểm 
1.1
1,0 đ
1)Cho và . Rút gọn theo .
 =
0,25
Ta có 
0,25
( do với mọi )
0,25
Nếu thì nên khi thì 
0,25
1.2
1,0 đ
2) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z + = 4.
 Chứng minh .
Ta có: 	
0,25
Tương tự cũng có:	
0,25
Do đó: 
0,25
0,25
2.1
1,0 đ
1) Giải phương trình .
Điều kiện : 
0,25
Đặt 
0,25
0,25
kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm .
0,25
2.2
1,0 đ
2) Giải hệ phương trình (I). 
0,5
Ta có:
 hoặc 
0,25
Với thay vào (2) ta được: 
0,25
 thay vào (2) ta được: 
Vậy hệ có nghiệm là .
0,25
3.1
1,0 đ
1) Đặt , với là những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 30 thì chia hết cho 30. 
Ta có chia hết cho 6 vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp
0,25
Ta xét với các trường hợp sau :
- Nếu chia hết cho 5.
- Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự ta cũng suy ra được chia hết cho 5
0,25
Mà UCLN(5,6) = 1 nên a15 – a1 chia hết cho 30
Chứng minh tương tự : chia hết cho 30
Suy ra : chia hết cho 30
0,25
Suy ra: chia hết cho 30; mà chia hết cho 30 nên chia hết cho 30
0,25
3.2
1,0 đ
2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để là số nguyên tố.
Nếu là số chẵn thì là số chẵn lớn hơn 2 không là số nguyên tố
0,25
Nếu là số lẻ
+thỏa mãn
0,25
0,25
do 
 là hợp số. vậy 
0,25
4.1
1,0 đ
Cho nửa đường tròn đường kính . Gọi là điểm di động trên nửa đường tròn (khác ). Kẻ (thuộc ) sao cho đường tròn đường kính cắt và nửa đường tròn lần lượt tại ( khác ). Đường thẳng cắt tại .
1) Tínhtheo và chứng minh rằng thẳng hàng.
 áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
0,25
0,25
*EF cắt AD tại I,cắt OA tại K là tâm đường tròn đường kính 
0,25
Ta có : OI là đường trung trực của AGDo đó I là trực tâm của tam giác. Từ (1) và (2) thẳng hàng
0,25
4.2
1,0 đ
2) Chứng minh rằng .
Tứ giác AEDF là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính AD nên 
0,25
 nội tiếp
0,25
Trên HF lấy S sao cho đồng dạng 
0,25
và đồng dạng 
Từ (1) và (2) 
0,25
4.3
 1,0 đ
3) Trên lấy cố định . Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác và . Xác định vị trí của để diện tích tam giác nhỏ nhất.
Gọi T, Q lần lượt là trung điểm BM, MC có 
vuông tại A 
0,25
mà (c.c.c)
 do M cố định nên TM, QM không đổi
đặt không đổi);
0,25
Chứng minh được đồng dạng với .
Mặt khác Đẳng thức xảy ra .
 Đẳng thức xảy ra 
0,25
Cách dựng điểm: Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa nửa đường tròn vẽ các , vuông cân tại đỉnh và. Qua điểm vẽ đường thẳng vuông góc với cắt nửa đường tròn ta được điểm.
0,25
5
 1,0 đ
Cho các số dương thỏa mãn . 
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Ta có 
0,25
do
0,25
0,25
khi thì nên giá trị lớn nhất của P bằng 
0,25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.