Đề thi tuyển sinh môn Toán (Chuyên) vào Lớp 10 THPT - Năm học 2015 -2016 - Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Phước (Có đáp án)

ĐỀ 
Câu 1. 
a a
P
a a a a a a
2
1 3 5 ( 1)
. 1
1 1 4
   
    
         
 Với a a0, 1.  
1) Rút gọn: P 
2) Đặt Q a a P( 1).   . Chứng minh Q 1 
Câu 2. Cho phương trình x m x m2 22( 1) 0 (1)    Tìm m để pt có 2 nghiệm x x
1 2
, thỏa mãn 
x m x m
2
1 2
( ) 2 (2)    
Câu 3. 1) Giải pt x x x x2 2( 1) 2( 4) 2     (1) 
2) Giải hpt 
x
x xy y
yx
x y x x
2 2
2
1
2 (1)
( 3 )(1 3 ) 3 (2)

   


    
Câu 4 Giải pt trên tập số nguyên x y y y y2015 ( 1)( 2)( 3) 1     (1) 
Câu 5. Cho tam giác ABC nhọn  AB AC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là trực 
tâm của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC. 
 1) Chứng minh rằng: AH 2OM. 
 2) Dựng hình bình hành AHIO . Gọi J là tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng: 
OI OJ R
2
.  
 3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A). Gọi D là điểm bất kỳ trên cung nhỏ NC 
của đường tròn tâm O (D kác N và C ). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và 
HE. Chứng minh rằng: ACH ADK. 
Câu 6. 1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b ab(1 )(1 ) 1    
 2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P a b
a a b b
2 2
2 2
1 1
(1 )(1 )
2 2
    
 
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
BÌNH PHƯỚC 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT 
Năm học: 2015-2016 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm có 01 trang) 
Đề thi môn: TOÁN (chuyên) 
Thời gian làm bài: 150 phút 
 ( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý) 
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN BÌNH PHƯỚC 2015-2016 
Câu Nội dung 
1 
2) Đặt Q a a P( 1).   . Chứng minh Q 1 
Ta có: 
a a a a a
Q a a P a a
a a a
2
1 1 ( 1)
( 1). 1 1, 0; 1.
    
           
(Cách khác: có thể tách ra rồi sử dụng bđt côsi và xét thấy dấu bằng không xảy ra suy ra Q 1 ) 
2 
Cho phương trình x m x m2 22( 1) 0 (1)    Tìm m để pt có 2 nghiệm x x
1 2
, thỏa mãn 
x m x m
2
1 2
( ) 2 (2)    
Pt (1) có hai nghiệm m
1
' 0
2
     . Khi đó theo vi-ét ta có: x x m x x m2
1 2 1 2
2 2;    
Vì x
1
 là nghiệm của pt (1) nên x m x m2 2
1 1
2( 1)   thay vào (2) ta được x x m
1 2
2 2   
Từ vi-ét và giả thiết, ta có 
m
m m m
m
2
0
(3 2) 1
2
 
   
 

 (thỏa mãn) 
Vậy 
m
m
0
1
2
 

 

 thỏa mãn ycbt. 
3 
1) Giải pt x x x x2 2( 1) 2( 4) 2     (1) 
ĐK: x R 
Pt (1) 
x
x x x xx
x
2
1
( 1) 2( 4) ( 2) 0 12
2
  
                 
Vậy pt có cnghiệm x 1  
2) Giải hpt 
x
x xy y
yx
x y x x
2 2
2
1
2 (1)
( 3 )(1 3 ) 3 (2)

   


    
( vế phải của pt (1) ta thường hay gặp trong các bài toán giải hệ pt ta cần chú ý) 
ĐK: 
x
y
0
(*)
0
 
 

Từ pt (1) suy ra 
y x
y x x y
x y
y x
y x
1
1( ) 2 0
2 0
 
            
  
+) Với y x thay vào (2) ta được 
x x x x x x x x x x
2 2
( 3 )(1 3 ) 3 1 3 3 ( 3 1)( 1) 0                
( nhân hai vế pt với x x3  ) ( Ta cũng có thể đặt t x x3   rồi bình phương hai vế ) 
x x L
x yx
3 1 2 ( )
1 11
    
      
+) Vì x y0; 0  nên x y
y x
1
2 0   vô nghiệm 
Vậy nghiệm của hpt là:    x y; 1;1 . 
4 Giải pt trên tập số nguyên x y y y y2015 ( 1)( 2)( 3) 1     (1) 
ĐK: y y y y( 1)( 2)( 3) 0    
Pt (1) x y y2015 2 21 ( 3 1) 1      
Đặt: y y a a Z2 3 1 ( )    
Vì x nguyên nên x2015 1 nguyên, suy ra 
a k k Z a k a k a k k
2 2 2 2
1 ( ) 1 ( )( ) 1 0            
y y
2 2
( 3 1) 1   
y x
y y y x
y xy y
y x
2
2
0 1
3 1 1 3 1
1 13 1 1
2 1
   
       
  
       
   
( thỏa mãn) 
Vậy pt có 4 nghiệm nguyên          x y ; : 1;0 , 1; 1 , 1; 2 , 1; 3 .   
( Ta thường hay gặp chứng minh biểu thức dưới dấu căn cộng 1 là số chính phương) 
6 
1) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b ab(1 )(1 ) 1    
Ta chứng minh bằng phép biến đổi tương đương 
2) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a b ab  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
P a b
a a b b
2 2
2 2
1 1
(1 )(1 )
2 2
    
 
( Ta cần sử dụng hai bđt phụ sau x y xy(1 )(1 ) 1    và 
x y x y
1 1 4
 

 nhưng phải chứng minh 
hai bđt này mới được điểm tối đa) 
Cách1: P ab ab ab
a a b b a b ab a b a b
2 2 2 2 2
4 4 4
1 1 1
2 2 ( ) 2 2( )
        
      
ab ab ab ab ab
a b
3
2 2
4 7 1 1 7 7 7
1 3. 4. . 1
16 16 8 16 16 8 4 8
 
          
 
Mặt khác: từ giả thiết, ta có: ab a b ab ab2 4     
Do đó P
7 7.4 21
4 8 4
   . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 
21
4
 khi a b 2  
Bình luận: nếu không có bđt phụ thứ nhất, ta phải nghĩ đến sdụng bđt Bu-nhia-copxki cho biểu thức 
dưới dấu căn. Còn tổng hai biểu thức nghịch đảo thì quá rõ, sau đó dùng ppháp dồn biến) 
 Cách 2: 
P a b ab a b
a a b ba a b b a a b b
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
(1 )(1 ) 1 1
( 2) ( 2)2 2 2 2
             
    
a a b b
a b
a a b b
1 2 1 2 29 7
( )
( 2) 16 32 ( 2) 16 32 32 8
    
           
    
a b a b3 3
1 1 1 1 29 7 13 29
3. 1. . 3. 1. . ( ) ( )
16 32 16 32 32 8 8 32
        
Mặt khác: từ giả thiết, ta có: 
a b
a b ab a b
2
( )
4
4

      
Do đó P a b
13 29 13 29 21
( ) .4
8 32 8 32 4
      
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 
21
4
 tại a b 2  
 Cách 3: 
Ta có a b ab a b( 1)( 1) 1      
Đặt a x a x b y b y x y1 1; 1 1; . 1           
Khi đó P ab a b
a a b ba a b b
2 2
1 1 1 1
1 1
( 2) ( 2)2 2
        
  
 x y
x x y y
1 1
3
( 1)( 3) ( 1)( 3)
    
   
5 Cho tam giác ABC nhọn  AB AC nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là trực tâm 
của tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC. 
 1) Chứng minh rằng: AH 2OM. 
 2) Dựng hình bình hành AHIO . Gọi J là tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh 
rằng: OI OJ R2.  
 3) Gọi N là giao điểm của AH và đường tròn tâm O (N khác A). Gọi D là điểm bất kỳ trên cung nhỏ 
NC của đường tròn tâm O (D kác N và C ). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của 
AC và HE. Chứng minh rằng: ACH ADK. 
Quá trình làm và đánh máy không tránh khỏi sai sót, độc giả tự chỉnh sửa! 
Tiếp tục cập nhật!