Đề thi tuyển sinh môn Toán Lớp 10 THPT chuyên - Năm học 2010-2011 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thành Phố Hồ Chí Minh (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN 
Năm học 2010- 2011 
Môn thi: TOÁN 
(Thời gian : 150 phút – không kể thời gian phát đề) 
Câu 1: (4 điểm) 
1) Giải hệ phương trình 





2) Giải phương trình :   
 Câu 2: ( 3 điểm) 
 Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) 
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt   thỏa 
 Câu 3: (2 điểm ) 
 Thu gọn biểu thức: A= 
 Câu 4: ( 4 điểm ) 
 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính 
 giữa của cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng 
 minh rằng : 
 a) 
 b)MA.MP =BA.BM 
 Câu 5 : ( 3 điểm ) 
a) Cho phương trình ( x là ẩn số và m, n là các số 
nguyên).Giả sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh 
rằng là hợp số 
b) Cho hai số dương a,b thỏa .Tính 
P= 
 Câu 6 : ( 2 điểm ) 
 Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường 
tròn tâm O bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị 
nhỏ nhất 
 Câu 7: ( 2 điểm) 
 Cho a , b là các số dương thỏa  .Chứng minh  
 HẾT 
Câu Hướng dẫn chấm Điểm 
Câu 1 
( 4 đ) 
Câu:1: ( 4 điểm 
1) Giải hệ phương trình 











 
 














 
0,5 x4 
đ 
2) Giải phương trình :   
Đặt   , pt trở thành: 
t
2 
+ t - 12 = 0  t=3 hay t=-4 
t =3 =>       
 t= -4 =>    ( vô nghiệm) 
Vậy pt có hai nghiệm là x =- 1 , x =3/2 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
0,5 đ 
Câu 2 
(3 đ) 
Câu 2 : (3 điểm ) 
Cho phương trình x2 – 2 ( 2m + 1) x + 4 m2 + 4 m – 3 = 0 ( x là ẩn số ) (*) 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt   thỏa 
’=          , với mọi 1 
Vậy (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 
0,5 đ 
 =2m-1 ; =2m+3 
    

 
 

    
 
      

0.5 đ 
0,5 đ 
1,5 đ 
Câu 3 Câu 3 : ( 2 điểm) 
Thu gọn biểu thức: A= 
( 2 đ) 
Xét M = 
Ta có M > 0 và 

 

 , suy ra M = 
A= -( -1)=1 
1 đ 
1 đ 
Câu 4 
( 4 đ) 
Câu 4 : ( 4 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O).Gọi P là điểm chính giữa của 
cung nhỏ AC.Hai đường thẳng AP và BC cắt nhau tại M.Chứng minh rằng : 
 a) 
 b)MA.MP =BA.BM 
x
x
=
=
M
P
O
C
B
A
a)  ( s đ  s đ ) = ( s đ  s đ )= s đ = 
2 đ 
b)        1 đ 
MAC MBP (g-g) 
     
1 đ 
Câu 5 
( 3 đ) 
Câu 5: ( 3 điểm) 
a)Cho phương trình ( x là ẩn số và m, n là các số nguyên).Giả 
sử phương trình có các nghiệm đều là số nguyên. Chứng minh rằng là hợp 
số 
Gọi là 2 nghiệm của phương trình     ,   
0,5 đ 
=           
=      
0,5 đ 
  là các số nguyên lớn hơn 1 nên là hợp số 0,5 đ 
b)Cho hai số dương a,b thỏa .Tính P= 
Ta có          
               
a=b=1 1 đ 
 P= =2 0,5 đ 
Câu 6 
( 2 đ) 
Câu 6: ( 2 điểm) 
Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OB =2a.Gọi (O) là đường tròn tâm O 
bán kính a.Tìm điểm M thuộc (O) sao cho MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất 
Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D, với C là trung điểm của OA.Gọi E là trung 
điểm của OC 
*Trường hợp M không trùng với C vá D 
Hai tam giác OEM và OMA đồng dạng ( do    ) 
     
1 đ 
* Trường hợp M trùng với C : MA=CA=2.EC=2.EM 
* Trường hợp M trùng với D: MA=DA=2.ED=2.EM 
Vậy ta luôn có MA=2.EM 
0,5 đ 
MA+2.MB=2(EM+MB) 2.EB = hằng số 
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O) 
Vậy MA +2.MB nhỏ nhất khi M là giao điểm của đoạn BE với đường tròn (O) 
0,5 đ 
Câu 7 
( 2 đ) 
Câu 7 : ( 2 điểm) 
Cho a , b là các số dương thỏa  .Chứng minh  
0,5 đ 
Ta có:          

        ( đúng) 
a+2b              
        ( đúng) 
0,5 đ 
Từ (1) và (2) suy ra 
 
   
 
 ( do   ) 
1 đ