Đề thi tuyển sinh môn Toán vào Lớp 10 THPT Chuyên - Năm học 2016 - Trường đại học sư phạm Hà Nội (Có đáp án)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
ĐỀ THI TUYỂN SINH 
VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN 2016 
Môn thi: TOÁN 
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào Trường Chuyên) 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Câu 1 (2 điểm). Cho biểu thức 
22
1 1 1 1
1
1 1 1 1
a a
P
a aa a a a
   
              
 với 0 < a < 1. Chứng minh 
rằng P = –1 
Câu 2 (2,5 điểm). Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số. 
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1 
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của 
A, B. Tìm m sao cho 2 21 2| | 3 5y y  
Câu 3 (1,5 điểm). Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 
3
4
quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên
1
4
 quãng đường AB sau bằng
1
2
 vận tốc trên
3
4
quãng đường AB 
đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên
3
4
quãng đường AB đầu tiên 
lúc đi là 10 km/h . Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy 
trên quãng đường người đó đi từ B về A? 
Câu 4 (3,0 điểm). Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt 
phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC. 
a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp 
b) Chứng minh . .CP CB DP DA AB  
c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, 
F. Chứng minh CDFE là hình thang. 
Câu 5 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 
5 4 5 4 5 4 7a b c      
––––––––Hết––––––– 
ĐÁP ÁN 
Câu 1 
Với 0 < a < 1 ta có: 
 
    
 
 
2
2
2 2
2
2
2
11 1 1
1 1 1 1 1
11 (1 )(1 ) 1
1 1 1 1 1
1 1 1 . 1 1
1 1 1 1
1 1 2 1 . 1 (1 ) (1 )
.
21 1
1
aa a
P
a aa a a a a
aa a a
a aa a a a a
a a a a
a aa a a a
a a a a a a
aa a
        
             
                    
      
              
        

  

 
  
2
1 11
.
21 1
1 1 1 1
2
1 1 2
1
2 2
a aa a
aa a
a a a a
a
a a a
a a
     
  
     
 
  
     
Câu 2 
a) Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x2 
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: 
Với 1 2 3 2 2x y       
Với 1 2 3 2 2x y       
Vậy các giao điểm là    1 2; 3 2 2 ; 1 2; 3 2 2        
b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): 2 22 1 2 1 0x mx x mx       (*) 
Phương trình (*) có ∆’ = m2 + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai 
điểm phân biệt. 
Áp dụng Viét ta có:
1 2
1 2
2
1
x x m
x x
  

 
 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4 4 4 2 1x x x x x x x x m m           
Khi đó ta có
1 1 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
2 1
| | | (2 1) (2 1) |
2 1
y mx
y y mx mx
y mx
 
     
 
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
| | | (2 1 2 1)(2 1 2 1) | | 4 ( )[ ( ) 1] |
| 4 (2 1)( ) | 4 (2 1) | | 4 | | (2 1)2 1
y y mx mx mx mx m x x m x x
m m x x m m x x m m m
            
        
Ta có 2 2 2 2 2 2 4 2 4 21 2| | 3 5 64 (2 1) ( 1) 45 64(4 4 1)( ) 45y y m m m m m m m           
Đặt 4 2 0m m t   có phương trình 2
5
64 (4 1) 45 256 64 45 0
16
t t t t t        (vì t ≥ 0) 
Suy ra 4 2 4 2
5 1
16 16 5 0
16 2
m m m m m         
Vậy
1
2
m   
Câu 3 
Gọi vận tốc của người đi xe máy trên
3
4
 quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0) 
Vận tốc của người đi xe máy trên
1
4
quãng đường AB sau là 0,5x (km/h) 
Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h) 
Tổng thời gian của chuyến đi là
90 30 120 1
8,5
0,5 10 2x x x
   

90 60 120 150 120
8 8 75( 10) 60 4 ( 10)
10 10
x x x x
x x x x x
           
 
24 95 750 0 30x x x      (do x > 0) 
Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h) 
Câu 4 
a) Vì 60 120 .o oCMA DMB CMB DMA     Xét ∆ CMB và ∆ AMD có 
( . . )
CM AM
MCB MAD
CMB DMA CMB AMD c g c
MBC MDA
MB MD


      
 
Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp 
b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên 
180 120 ( . )o o
CP CM
CPM CAM CMB CPM CMB g g
CM CB
        
2. . .CP CB CM CP CB CM    Tương tự .DP DA DM 
Vậy . .CP CB DP DA CM DM AM BM AB      
c) Ta có EF là đường trung trực của PM ⇒ EP = EM ⇒ ∆ EPM cân tại E 
Mặt khác EPM = ACM = 60o (do AMPC là tứ giác nội tiếp) nên ∆ EPM đều 
⇒ PE = PM . Tương tự PF = PM 
Ta có CM // DB nên PCM = PBD 
Mà BMPD là tứ giác nội tiếp nên PBD = PMD. Suy ra PCM = PMD 
Ta lại có CPM = DPM = 120o ( . )
CP PM CP PE
CPM MPD g g
MP PD PF PD
      
Theo định lý Talét đảo ta có CE // DF ⇒ CDFE là hình thang. 
Câu 5 
Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên
2
2
2
(1 ) 0
0 , , 1 (1 ) 0
(1 ) 0
a aa a
a b c b b b b
c c c c
  

       
    
Suy ra 2 25 4 4 4 ( 2) 2a a a a a        
Tương tự 5 4 2; 5 4 2b b c c      
Do đó 5 4 5 4 5 4 ( ) 6 7a b c a b c          (đpcm)