Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2019-2020 - Sở GD&ĐT Ninh Bình (Có hướng dẫn chấm)

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2019 - 2020
 Bài thi môn: Toán; Ngày thi: 04/6/2019
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
 Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm):
 1. Rút gọn biểu thức A 2 18 .
 3x y 2
 2. Giải hệ phương trình .
 2x y 3
 3. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) : y x 3 và (d2 ) : y 2x 3. 
Câu 2 (2,5 điểm): 
 x 3 6 x
 1. Rút gọn biểu thức P (với x ≥ 0, x 9).
 x 3 x 3 x 9
 2. Cho phương trình x2 5x m 2 0 (1) với m là tham số.
 a. Giải phương trình (1) khi m 6 .
 b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho 
 2
biểu thức S x1 x2 8x1x2 đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (1,0 điểm):
 Bác Bình gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng A, kì hạn một năm. Cùng ngày, 
bác gửi tiết kiệm 150 triệu đồng vào ngân hàng B, kì hạn một năm, với lãi suất cao hơn lãi suất 
của ngân hàng A là 1%/năm. Biết sau đúng 1 năm kể từ ngày gửi tiền, bác Bình nhận được 
tổng số tiền lãi là 16,5 triệu đồng từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm nêu trên. Hỏi lãi suất tiền gửi 
tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là bao nhiêu phần trăm?
Câu 4 (3,5 điểm):
 1. Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ đường thẳng 
đi qua tâm O, cắt đường tròn tại hai điểm A, B (A nằm giữa M và B). Kẻ đường thẳng thứ hai 
đi qua M, cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt C, D (C nằm giữa M và D, C khác A). 
Đường thẳng vuông góc với MA tại M cắt đường thẳng BC tại N, đường thẳng NA cắt 
đường tròn tại điểm thứ hai là E.
 a. Chứng minh tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.
 b. Chứng minh DE vuông góc với MB.
 2. Trên một khúc sông với 2 bờ song song với nhau, có một chiếc đò dự định chèo qua 
sông từ vị trí A ở bờ bên này sang vị trí B ở bờ bên kia, đường thẳng AB vuông góc với các bờ 
sông. Do bị dòng nước đẩy xiên nên chiếc đò đã cập bờ bên kia tại vị trí C cách B một khoảng 
bằng 30m. Biết khúc sông rộng 150m, hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo 
bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến giây).
Câu 5 (1,0 điểm):
 1. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng các ước nguyên dương của p2 
là một số chính phương.
 2. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất 
 x2 y2 z2
của biểu thức T .
 x yz y zx z xy
 -----HẾT-----
Họ và tên thí sinh:...................................................... Số báo danh:..........................................
Họ và tên, chữ ký: Cán bộ coi thi thứ nhất:............................................................................
 Cán bộ coi thi thứ hai:.............................................................................. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
 TỈNH NINH BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
 NĂM HỌC: 2019 - 2020
 Bài thi môn: TOÁN - Ngày thi: 04/6/2019
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
 I. Hướng dẫn chung
 1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
 3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
 4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần 
 như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do Ban chấm thi thống nhất.
 5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo 
 không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn Ban chấm thi.
 6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. 
 II. Hướng dẫn chi tiết
 Câu Nội dung Điểm
 1. (0,5 điểm)
 A 2 3 2 0,25
 4 2 . 0,25
 2. (0,75 điểm) 
 3x y 2 5x 5
 0,25
 2x y 3 3x y 2
 1 x 1
 (2,0 0,25
 3.1 y 2
điểm) 
 x 1
 . Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x; y 1; 1 . 0,25
 y 1
 3. (0,75 điểm) 
 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:
 0,25
 x 3 2x 3 3x 6 x 2 .
 Với x 2 thì y 2 3 1. 0,25
 Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là 2; 1 . 0,25
 1. (1,0 điểm) 
 x 3 6 x x x 3 3 x 3 6 x
 P 0,25
 x 3 x 3 x 9 x 9
 x 3 x 3 x 9 6 x
 2 0,25
 (2,5 x 9
điểm) x 9
 0,25
 x 9
 1 . 0,25
 2. (0,75 điểm)
 Với m 6 , phương trình (1) có dạng x2 5x 4 0 (2). 0,25
 Ta có a b c 1 5 4 0 . 0,25
 2 4
 Do đó phương trình (2) có hai nghiệm: x1 1; x2 4 . 
 1 0,25
 Vậy với m 6 , phương trình (1) có tập nghiệm S 1; 4 .
 3. (0,75 điểm)
 25 4 m 2 33 4m .
 33 0,25
 Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi 0 33 4m 0 m .
 4
 Theo Vi-et, ta có: x1 x2 5; x1x2 m 2 .
 2 2 0,25
 Do đó S x1 x2 8x1x2 x1 x2 4x1x2 25 4 m 2 4m 17 .
 33 33 33
 Với m , S 4. 17 50 . Đẳng thức xảy ra khi m .
 4 4 4
 33
 Giá trị lớn nhất của S bằng 50 đạt được khi m . 0,25
 4
 33
 Vậy m là giá trị cần tìm.
 4
 Gọi lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn 1 năm của ngân hàng A là r% (r 0) .
 0,25
 Khi đó lãi suất tiền gửi tiết kiệm 1 năm của ngân hàng B là r% 1% .
 3 Số tiền lãi bác Bình có được sau 1 năm từ hai khoản tiền gửi tiết kiệm là:
 0,25
 (1,0 100 r% 150 r% 1% (triệu đồng).
điểm)
 Theo bài ra ta có phương trình 100 r% 150 r% 1% 16,5 0,25
 250 r% 15 r% 0,06 r% 6% (thỏa mãn điều kiện).
 0,25
 Vậy lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn 1 năm của ngân hàng A là 6% .
 1. (2,5 điểm)
 N D
 C
 B
 M A O 0,5
 4
 (3,5 E
điểm)
 Vẽ hình đúng để làm được ý a: 0,5 điểm
 a. (1,0 điểm)
 Ta có A· CB 90(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25
 A· CN 90 (góc kề bù với A· CB ). 0,25
 Lại có A· MN 90 (vì AM  MN theo giả thiết). 0,25
 · ·
 Xét tứ giác AMNC có AMN ACN 90 90 180 mà hai góc này ở vị trí đối 0,25
 nhau. Suy ra tứ giác AMNC là tứ giác nội tiếp.
 b. (1,0 điểm)
 Tứ giác ACDE nội tiếp A· ED A· CM (cùng bù với A· CD ). 0,25
 3 Tứ giác AMNC nội tiếp A· CM A· NM (góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
 0,25
 A· ED A· NM .
 Mà 2 góc này ở vị trí sole trong nên DE // MN. 0,25
 Lại có MB  MN (gt) DE  MB . 0,25
 2. (1,0 điểm)
 B 30m C
 
 
 150m
 0,25
 
 
 A
 Vẽ hình đúng: 0,25 điểm
 Ta có: ABC vuông tại B; AB 150m ; BC 30m ; dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi 
 0,25
 một góc có số đo bằng số đo của B· AC .
 BC 30 1
 Ta có: tan B· AC . 0,25
 AB 150 5
 B· AC 1118 36 .
 0,25
 Vậy dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc có số đo xấp xỉ bằng1118 36 .
 1. (0,5 điểm)
 Cách 1: Các ước nguyên dương của p2 là 1,p,p2 .
 0,25
 Đặt S 1 p p2 ; S là một số chính phương khi và chỉ khi S n2 ,n ¥ .
 Ta có 1 p p2 n2 p 1 2 n2 p p 1 n p 1 n p (*).
 Vì n ¥ , p là số nguyên tố nên từ (*) suy ra p 1 n ¥ * mà p 1 n p . Vậy (*) vô lí. 0,25
 Do đó không có số nguyên tố p nào thỏa mãn ycbt.
 Cách 2: Các ước nguyên dương của p2 là 1,p,p2 .
 0,25
 Đặt S 1 p p2 ; S là một số chính phương khi và chỉ khi S n2 ,n ¥ .
 Ta có 1 p p2 n2 (1) (*) suy ra p2 n2 p n n p 1 (*) .
 Mặt khác (1) p 1 2 n2 p suy ra p 1 n (**) . 0,25
 5 (*) và (**) mâu thuẫn nhau. Do đó không có số nguyên tố p nào thỏa mãn ycbt.
 (1,0 2. (0,5 điểm)
điểm)
 Cho 2n số thực dương a1,a 2 ,...,a n ; x1, x2 ,..., xn . 
 a 2 a 2 a 2 (a a ... a )2 a a a
 Ta có 1 2 ... n 1 2 n . Đẳng thức xảy ra khi 1 2 ... n .
 x1 x2 xn x1 x2 ... xn x1 x2 xn
 (Học sinh không phải chứng minh, theo Công văn 1234) 0,25
 2
 x2 y2 z2 x y z 
 Áp dụng, ta có T .
 x yz y zx z xy x y z xy yz zx
 Theo Cô-si: x y 2 xy; y z 2 yz;z x 2 zx x y z xy yz zx .
 2
 x y z x y z 2019
 Do đó T . Đẳng thức xảy ra khi x y z 673.
 2 x y z 2 2 0,25
 2019
 Vậy GTNN của T là , đạt được khi x y z 673.
 2
 ------------ Hết ------------
 4