Giải tích 12 nâng cao – Hàm số Lũy thừa - Mũ - Logarit - Chương II

§1. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
Lũy thừa với số mũ nguyên: 	
+ với n Î N*, n > 1	+ Với a ≠ 0, 
Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên:
So sánh các lũy thừa:
+ m, n Î Z. Khi đó 1) a > 1 thì am > an Û m > n; 2) 0 an Û m < n
+ 0 0; 2) am > bm Û m < 0.
+ a < b và n là số tự nhiên lẻ thì an < bn.
+ a, b > 0 và n là số nguyên khác 0 thì am = bm Û a = b.
Căn bậc n: n Î N*, n > 1; a, b Î R, 
Khi n lẻ, mỗi số thực a có đúng một căn bậc n. Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có hai căn bậc n là hai số đối.
	+ Nhận xét: 1) Căn bậc 1 của số a chính là a; 2) Căn bậc n của số 0 là 0; 3) Số âm không có căn bậc chẵn; 4) Với n là số nguyên dương lẻ thì 
 khi n lẻ, khi n chẵn.
Một số tính chất của căn bậc n:
Với a, b ³ 0; m, n nguyên dương; p, q Î Z, ta có:
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
Cho a Î R, a > 0; r Î Q, . Khi đó 
Bài tập áp dụng:
1. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:
2. Rút gọn 	
3. CMR: 
4. Rút gọn .
5. So sánh 229 và 414; 
§2. Lũy thừa với số mũ thực:
 là dãy số hữu tỷ, . Khi đó 
Ghi nhớ: 1) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0
	 2) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Lũy thừa với số mũ thực (của một số dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.
Công thức lãi kép: C = A(1 + r)N.
Bài tập áp dụng:
1. Tìm các số thực a sao cho: 
2. So sánh 
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
5. Rút gọn: 	
6. Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) 2- x = 1024; 	b) 25x – 6.5x + 1 + 53 = 0; 	c) 9x + 5.3x + 7 = 0;
	d) 4x + 2x – 6 = 0; 	e) 9x – 25.3x – 54 = 0;	f) 3x > 243;
	g) (0,5)x 0.
7. Rút gọn 
8. Tính giá trị của biểu thức với .
9. CMR: nếu x < 0 thì 
10. Giải các phương trình sau:
§3. Logarit:
1. Định nghĩa: Cho 0 0. Khi đó a = logab Û aa = b. 
 Chú ý: + Số 0 và số âm không có logarit vì aa > "a.
	+Cơ số của logarit phải dương và khác 1.
	+ Ta có: loga1 = 0; logaa = 1; logaab = b, "b Î R; , "b > 0. 
2. Tính chất: Cho Cho 0 0, ta có:
Khi a > 1 thì logab > 0 Û b > 1; Khi 0 0 Û b < 1; log0b = logac Û b = c.
Với 0 0, n Î N*, n > 1 thì: 
3. Đổi cơ số của logarit: Cho 0 0 thì 
4. logarit thập phân: Khi cơ số a = 10, ta có logarit thập phân, ký hiệu logx hoặc lgx. 
	Logarit thập phân có đầy đủ các tính chất của logarit cơ số a > 1.
§4. Logarit tự nhiên: 
Khi cơ số a = , ta có logarit tự nhiên, ký hiệu lnx.
	Logarit tự nhiên có đầy đủ các tính chất của logarit cơ số a > 1.
Công thức lãi kép liên tục: S = AeNr.
Bài tập áp dụng:
1. Tính 
2. So sánh 	
3. Tìm x biết 
4. Tìm log4932 biết log214 = a.
5. Biết lg3 ≈ 0,477. Tính M = lg9000; N = lg0,000027; 
6. Chứng minh các đẳng thức thức sau (với giả thiết biểu thức đã cho có nghĩa).
7. Giải các phương trình:
8. Biết log275 = a, log87 = b, log23 = c. Tính log635.
9. Cho các số dương khác 1 thỏa a2 + b2 = 7ab. CMR: 
10. Tính giá trị các biểu thức:
11. Tìm x: 
12. Đơn giản biểu thức: 
13. Cho hàm số Xét dấu của 
14. TTìm x biết 
15. Biểu diễn các số sau đây theo ln2, ln3:
16. Biết lg3 = p, lg5 = q. CMR: 
17. Biết 
18. Giải các phương trình: a) log3x + log9x + log27x = 11.
19. Giải các phương trình: 
20. Giải và biện luận phương trình sau theo a: 
§5. Hàm số mũ và hàm số logarit:
1. Khái niệm: Với 0 < a ≠ 1
	Hàm số dạng y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a.
	Hàm số dạng y = logax được gọi là hàm số logarit cơ số a.
2. Một số giới hạn liên quan:
3. Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:
 Nói riêng 
 Riêng 
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit:
	a) Hàm số mũ y = ax.
* TXĐ: D = R và TGT là (0; + ¥).
* Đồng biến trên R khi a > 1. Nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
* Đồ thị: Đi qua điểm (0; 1); nằm ở phía trên trục hoành; nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
	b) Hàm số logarit y = logax.
* TXĐ: D = (0; + ¥) và TGT là R.
* Đồng biến trên (0; + ¥) khi a > 1. Nghịch biến trên (0; + ¥) khi 0 < a < 1.
* Đồ thị: Đi qua điểm (1; 0); nằm ở phía phải trục tung; nhận trục htung làm tiệm cận đứng.
Nhận xét: Đồ thị hàm số mũ và đồ thị hàm số logarit đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
Bài tập áp dụng:
1. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến?
2. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 3x; b) y = 3 – x; 	c) y = - 2x; 	d) y = 3ïxï; e) y ïlog2xï;
f) y = 2log2x; 	g) y = log2x2;	h) y = log2ïxï; 	 i) y = 2log2x.
3. Tìm các giới hạn sau:
4. Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y = (x3 – 3x + 2)e2x;	b) y = (sin4x – cos4x)32x;	c) y = 5x + ex – cos23x;
5. Cho n là số nguyên dương và x là số thực dương. Tìm f (n)(x) biết:
 f(x) = lnx;	b) f(x) = xlnx.
6. CMR: đồ thị của hai hàm số y = ax và y = - loga(- x) đối xứng với nhau qua đường thẳng x + y = 0.
7. Cho số thực a thỏa mãn 0 < a < 1. Với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = ax 
a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = a?
b) Nằm ở phía dưới đường thẳng y = a?
8. Với giá trị nào của x thì đồ thị của hàm số y = log2x
a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 2?
a) Nằm ở phía dưới đường thẳng y = 1?
9. Với giá trị nào của x thì đồ thị của hàm số y = (0,5)x
a) Nằm ở phía trên đường thẳng y = 4?
a) Nằm ở phía dưới đường thẳng y = 1/4?
10. Giải các phương trình mũ và logarit sau:
11. Cho hàm số y = 2x. Chứng minh rằng khi x lấy một loạt các giá trị x1, x2, . . , xn,  lập thành một cấp số cộng thì dãy các giá trị tương ứng của y lập thành một cấp số nhân. 
§6. Hàm số lũy thừa:
1. Khái niệm:
Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng y = xa, trong đó a là một hằng số tùy ý.
Hàm số y = xn, n Î N* xác định "x Î R.
Hàm số y = xn, n Î Z – xác định "x ≠ 0.
Hàm số y = xa, với a không nguyên xác định "x > 0.
Hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
Chú ý: Theo định nghĩa chỉ xảy ra nếu x > 0. Do đó hàm số không đồng nhất với hàm số 
2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa:
3. Sự biến thiên của hàm số lũy thừa:
	Hàm số y = xa đồng biến trên khoảng (0; +¥) nếu a > 0 và nghịch biến trên khoảng (0; +¥) nếu a < 0.
	Đồ thị của hàm số y = xa đi qua điểm (1; 1) "a.
Bài tập áp dụng:
1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2. 	a) CMR: đồ thị của hai hàm số y = ax và đối xứng với nhau qua trục tung.
b) CMR: đồ thị của hai hàm số và đối xứng với nhau qua trục hoành.
3. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra với độ chính xác đến hàng phần nghìn.
5. Từ đồ thị hàm số y = x2 suy ra đồ thị các hàm số sau: 
a) y = - x2; b) y = (x – 2)2; c) y = x2 – 4x + 1; 
§7. Phương trình mũ và logarit:
	Có 3 phương pháp để giải các phương trình dạng này là:
Phương pháp đưa về cùng cơ số.
Phương pháp đặt ẩn phụ.
Phương pháp logarit hóa.
Bài tập áp dụng:
1. Giải các phương trình:
a) 52x - 7x - 35.52x + 36.7x = 0;	b) 
e) 2x – lg(52x + x - 2) = lg4x;	 f) 
g) 5lgx + xlg5 = 50;	 h) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3.2x+3 = 125 - 24.(0,5)x; 
2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
	lg(x2 + ax) = lg(x + a - 1).
3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
4. Giải các phương trình sau:
5. Giải các phương trình sau:
	f) xlg4 + 4lgx = 32;	 g) xlg9 – 4.3lgx + 3 = 0; 	 
	i) log5 – x(x2 - 2x + 65) = 2;	 k) 1,5.log0,25(x + 2)2 - 3 = log0,25(4 - x)3 + log0,25 (x + 6)3
§8. Hệ phương trình mũ và logarit:
Bài tập áp dụng:
1. Giải các hệ phương trình mũ và logarit sau:
2. Giải các hệ phương trình mũ và logarit sau:
§9. Bất phương trình mũ và logarit:
Bài tập áp dụng:
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2. Tìm m để mỗi hàm số sau đều có tập xác định là R.
a) y = log5(x2 – mx + m + 2);	 b) y = log0,3(mx2 + 2x + m);
3. Giải các bất phương trình sau:
a) 2x > 3x;	 	 
	g) log2x(x2 – 5x + 6) < 1;	 h) 4x – 1 – 2x – 2 < 3;
	i) 2x + 2 – 2x + 3 – 2x + 4 > 5x + 1 – 5x + 2; 	 k) 
4. Tìm m để mỗi bất phương trình sau có nghiệm:
	a) 32x + 1 – (m + 3)3x – 2(m + 3) < 0; 	 b) 4x – (2m + 1)2x + m2 + m ³ 0.
Bài tập ôn chương II:
1. Đơn giản các biểu thức:
2. Tính biết .
3. CMR: nếu 
4. CMR: nếu , tìm điều kiện của z để x Î R.
5. CMR: với điều kiện x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy.
6. Giả sử 0 < a, b < 1. CMR: nếu phương trình ax + bx = 1 có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Áp dụng: Giải phương trình: 4x + 9x = 25x.
7. Giải các phương trình sau: 
8. Giải và biện luận các phương trình sau:
9. Giải các hệ phương trình sau:
10. Giải các bất phương trình sau:
a) 4x > 2x + 1 + 3; b) 62x + 3 < 2x + 7 .33x – 1; 
11. Giải pt: 	 (ĐH Kiến trúc TP HCM 1995).
12. Giải pt: 	 (HV Quan hệ QT 1997).
13. Giải pt: 4x + 1 - 5x + 2 = 5x - 4x. 	 (ĐH Cần thơ 1996).
14. Giải các pt: 8x + 18x = 2.27x (1);	
(ĐH Quốc gia Hà Nội 1997).
15. Giải pt: (ĐH Ngoại ngữ Hà Nội 1998).
16.Giải pt: 25x + 50x = 23x + 1. 	 (ĐH Quốc gia Hà Nội 998).
17. Giải pt: 	 (HV Quan hệ Quốc tế 1999).
18. Giải pt: 6.4x – 13.6x + 6.9x = 0. 	 (ĐH Bình Dương 2001).
19. 	 (ĐH Hồng Đức 2001).
20. Giải pt: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x. 	 (ĐH Quốc gia Hà Nội 2000).
21. Giải pt: 	 (ĐH Y Hà Nội 2000).
22. Giải pt: 	 (ĐH Công đoàn 1999).
23. Xác định a để pt sau có 4 nghiệm phân biệt: 
(ĐH Bách khoa Hà Nội 1990).
24. Tìm m để pt sau có nghiệm: 4x – 4m(2x - 1) = 0. (ĐH Ngoại ngữ Hà Nội 1997).
25. Tìm m để pt sau có 4 N0 p.biệt: (ĐH Ngoại thương1998).