Giải tích - Kỹ thuật tích phân số

Giải tích  calculusKỹ thuật tích phân số numeric integral techniqueMục tiêu của buổi học  objectiveNhắc qua buổi trước review of last lectureXấp xỉ trung điểm & xấp xỉ hình thang midpoint rule & trapezoidal rule Quy tắc Simpsons & quy tắc khác simpson’s rule & other rulesCầu phương Gauss gaussian quadrature Kỹ thuật phân chia thích ứng adaptive techniqueNhắc qua buổi học trước  review of last lectureTích phân bất định indefinite integrals Tính tích phân bất định computing indefinite integrals Tích phân xác định definite integralsTính tích phân xác định computing definite integralsXấp xỉ tích phân xác định  approximation to definite integral Giới thiệu introductionCó nhiều tích phân xác định không thể tìm được nguyên hàm, không dùng được công thức Newton-Leibniz.Có nhiều tích phân xác định không thể biểu diễn bằng hàm sơ cấp.Có những hàm số không ở dạng tường minh và tốn tài nguyên tính toán khi xác định giá trị.→ có thể tính xấp xỉ giá trị số của tích phânXấp xỉ tích phân xác định  approximation to definite integral Giới thiệu introductionxf(x)Xấp xỉXấp xỉ trung điểm  midpoint rule Công thức formulaf(x)hx1x2x3x4Xấp xỉ trung điểm  midpoint rule Ví dụ exampleTính bằng xấp xỉ trung điểm? nh=(b-a)/nh∑f(xi)20,51,409840,251,448780,1251,4591160,06251,4618Giá trị chính xác1,46265Xấp xỉ hình thang  trapezoidal ruleCông thức formulaSai sốXấp xỉ hình thang  trapezoidal ruleCách viết khác other notationXấp xỉ trung điểm  midpoint rule Ví dụ exampleCần tính bằng xấp xỉ hình thang với n tối thiểu bằng bao nhiêu để có độ chính xác 2 chữ số thập phân? Cần→ |f (2)(c)| 4 Quy tắc Simpson  Simpson rule Ví dụ example Dùng 3 phương pháp để tính với n=4 Giá trị chính xác 16.45262776Trung điểmHình thangSimpsonCông thức Newton-Cotes  Newton-Cotes formula Giới thiệu introductionXấp xỉ hình thang thay hàm f(x) bằng các đoạn đa thức bậc 1Quy tắc Simpson thay hàm f(x) bằng các đoạn đa thức bậc 2Chúng là các trường hợp riêng của trường hợp tổng quát: thay hàm f(x) bằng các đoạn đa thức bậc n (các công thức Newton-Cotes)Công thức Newton-Cotes  Newton-Cotes formulaTên gọiBậc đa thứcCông thức (#)Sai số (*)Xấp xỉ hình thang1Quy tắc Simpson2Quy tắc Simpson 3/83Quy tắc Boole4(#) fi lấy tại các điểm xi cách đều nhau khoảng h=(b-a)/n, với n là bậc đa thức f0 = f(a) & fn=f(b)(*) c[a, b] và h = (b-a)/n Công thức Newton-Cotes  Newton-Cotes formulaCông thức n+1 điểm n+1 point formulaVí dụ với quy tắc Boole: nếu n chia hết cho 4Sai sốCông thức Newton-Cotes  Newton-Cotes formulaVí dụ exampleBảng so sánh 3 quy tắc Newton-Cotes khi tính nXấp xỉ hình thangQuy tắc SimpsonQuy tắc Boolexấp xỉsai sốxấp xỉsai sốxấp xỉsai số817,561,1116,540,0916,480,031616,740,2816,460,00616,459×10-43216,520,0716,454×10-416,452×10-56416,470,0216,453×10-516,452×10-7Xấp xỉ tích phân xác định  approximation of definite integralsỨng dụng application Một phần mềm tài chính cần tính tích phân (một tích phân quan trọng trong thống kê số liệu tài chính). Nó có thể dùng quy tắc Simpson để xác định tích phân này khi a=1 đến sai số nhỏ hơn 0,01 như thế nào?Bước 1: đơn giản hóa biểu thức tích phânBước 2: xác định số điểm n cần tính để có sai số 2 & n chẵn)Bước 3: áp dụng công thức với n đã tìm (kết quả với n=4, I ≈ 0,68) Cầu phương Gauss  gaussian quadrature Giới thiệu introductionCác công thức Newton-Cotes đều có dạngChúng đòi hỏi các điểm xi cách đều nhau.Cầu phương Gauss là phương pháp chọn sẵn các điểm xi không cần cách đều nhau và các trọng số wi sao cho nếu f(x) là đa thức bậc 2n-1 thì cho kết quả với sai số bằng 0.Cầu phương Gauss  gaussian quadrature Công thức formula nxiwi213 08/95/94±0,339981044±0,861136312 0,6521451550,34785484550±0,538469±0,9061800,5688890,4786290,236927Cầu phương Gauss  gaussian quadratureVí dụ exampleTính bằng kỹ thuật cầu phương Gauss với n=4 ? Giá trị chính xác2,9253Cầu phương Gauss  gaussian quadrature Công thức formulaĐể chuyển từ dạng tích phân xác định tổng quát về dạng tích phân giữa cận -1 và 1, dùng: Cầu phương Gauss  gaussian quadrature Luyện tập exercise Tính bằng kỹ thuật cầu phương Gauss với n=4 và so sánh với giá trị chính xác 16,45262776? Ước lượng sai số  error estimationNếu tính được đạo hàmDùng công thức (như trong các công thức Newton-Cotes).Nếu không tính được đạo hàmTính xấp xỉ tích phân bằng hai phương pháp khác nhau để thu được hai kết quả I1 và I2. Sai số có thể vào cỡ | I1 - I2 |.Tính xấp xỉ bằng với hai n khác nhau để thu được hai kết quả I1 và I2. Sai số có thể vào cỡ | I1 - I2 |.Chia khoảng cận tích phân thành 2 phần Tính xấp xỉ tích phân trên toàn khoảng Iab và trên hai phần Iac và Icb. Sai số vào cỡ |Iac+Icb-Iab|.Kỹ thuật phân chia thích ứng  apdaptive technique Giới thiệu introductionPhân chia các điểm đều nhau, hoặc theo các điểm chọn trước (như trong phương pháp cầu phương Gauss) có thể bỏ qua những điểm hàm số biến đổi nhanh.xyxyx1x2x3x4x1x2x3x4f(x)f(x)sai số nhỏsai số lớnKỹ thuật phân chia thích ứng  apdaptive techniqueGiới thiệu introductionĐể tiết kiệm tài nguyên tính toán, có thể phân chia nhỏ tại các điểm có biến đổi nhanh, và chia thoáng tại các điểm biến đổi chậmxyf(x)Kỹ thuật phân chia thích ứng  adaptive techniqueVí dụ với kỹ thuật chia đôi thích ứng example with bisection adaptive techniqueTính xấp xỉ tích phânƯớc lượng sai số: lấy c=(a+b)/2 và tính Iac và Icb.Nếu sai số lớn (|Iac+Icb-Iab|> ε) thìXét tích phân Iac: chia đôi khoảng [a,c] và lặp lại các bước trên.Xét tích phân Icb: chia đôi khoảng [c,b] và lặp lại các bước trên.Dừng khi sai số của tích phân trên các khoảng con chấp nhận được; kết quả là tổng của kết quả trên các khoảng con.Ví dụ với Maxima  example with MaximaTính tích phân xác định phương pháp sốTóm tắt lại buổi học summaryXấp xỉ trung điểm & xấp xỉ hình thang midpoint rule & trapezoidal rule Quy tắc Simpsons & quy tắc khác simpson’s rule & other rulesCầu phương Gauss gaussian quadrature Phân chia thích ứng adaptive techniqueBuổi sau? What next?Tham khảo thêm more referencesM. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York:Dover, 1972.àm bài về nhà Do homeworkLàm bài được phát hôm nay và nộp theo nhóm 2-3 người (có thể sử dụng phần mềm để hỗ trợ)Đọc trước kỹ thuật biểu thức tích phân Read symbolic integration techniqueToán học Cao cấp T2, mục 6.3-6.6