Giáo án Đại số lớp 10 - Chương II: Hàm số bậc nhất và bậc hai

§1. Đại cương về hàm số:
1. Khái niệm về hàm số:
*. Định nghĩa: Cho tập hợp khác rỗng D Ì R.
	Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x Î D với một và chỉ một số, ký hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.
	Tập D gọi là tập xác định hay miền xác định, x gọi là iến số hay đối số của f.
	Ký hiệu: y = f(x) hay 
	*. Nếu f(x) là một biểu thức của biến x thì với mỗi giá trị của x ta tính được một giá trị tương ứng duy nhất của f(x) (nếu nó xác định). Ta nói hàm số đó được cho bằng biểu thức f(x).
	*. Tập xác định của hàm số y = f(x) cho bằng biểu thức là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được xác định.
*. (G) là đồ thị của hàm số Û (G) = {M(x0; y0)÷ x0 Î D; y0 = f(x0)}.
2. Sự biến thiên của hàm số:
a) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:
*. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K.
 . Hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu "x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
 . Hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu "x1, x2 Î K, x1 f(x2)
	b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
	*. Định nghĩa: Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đó đồng biên, nghịch biến, không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của hàm số.
	* Quy tắc:
. Hàm số f(x) đồng biến trên K Û "x1, x2 Î K và x1 ¹ x2, 
. Hàm số f(x) nghịch biến trên K Û "x1, x2 Î K và x1 ¹ x2, 
3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
*. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
. f(x) là hàm số chẵn Û x Î D thì – x Î D và f(-x) = f(x).
. f(x) là hàm số lẻ Û x Î D thì – x Î D và f(-x) = - f(x).
*. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ:
. Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
. Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
4. Tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ:
*. Định lý: Trong mặt phẳng Oxy, hàm số y = f(x) có đồ thị (G); p, q > 0.
. Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x) + q.
. Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x) - q.
. Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x + p).
. Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x - p).
Bài tập áp dụng:
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên khoảng I đã chỉ ra:
a) y = x2 - 4x - 2; I = (-¥ ; 2), I = (2; +¥);
b) y = - 2x2 + 4x + 1; I = (-¥ ; 1), I = (1; +¥).
3. 	a) Tìm m để hàm số sau xác định "x > 1: 
	b) Tìm m để độ dài tập xác định của các hàm số sau bằng 1.
4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
	a) f(x) = 2x2 – ÷ x÷.	b) f(x) = x3 – 3x.
	c) f(x) = 2x3 + x - 2,	d) f(x) = x2 – 3x.
5. Tìm các khoảng tăng (giảm) của các hàm số:
	a) f(x) = 2x2 – 4x + 5;	b) 
6. Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số sau:
	a) f(x) = x3 ; 	b) g(x) = | x |.
7. Tìm m để các hàm số sau cùng xác định trên một tập hợp:
8. Cho các hàm số: y = (m – 1)x + m – 2 (dm), y = x2 + (2m2 +1)x + m2 -1 (Pm).
CMR: đồ thị của mỗi hàm số trên đều có điểm cố định "m.
9. Biết hàm số y = f(x) có TXĐ : D = [-1 ; 0]. Tìm TXĐ của các hàm số :
	a) y = f(-x2) ; 	b) y = f(x -1) ;	c) y = f(2x);	
10. Cho hàm số Tìm các hàm số 
§2. Hàm số bậc nhất:
1. Hàm số bậc nhất:
	*. Hàm số bậc nhất là hàm số cho bằng biểu thức dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số, a ¹ 0.
	*. Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R.
	*. Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R.
	*. Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R.
	*. Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng có hệ số góc bằng a và:
	+ Không song song và không trùng với các trục tọa độ.
	+ Cắt trục tung tại điểm B(0; b) và cắt trục hoành tại điểm 
2. Hàm số: ÷ ax + b ÷ (a ¹ 0):
	*. TXĐ: D = R; TGT: G = [0; + ¥).
	*. Là hàm số bậc nhất trên từng khoảng (- ¥; -b/a) và (-b/a; +¥).
	*. Đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng (- ¥; -b/a) và (-b/a; +¥).
	*. Đồ thị của hàm số gồm hai tia chung gốc C(-b/a; 0) và đối xứng qua đường thẳng 
Bài tập áp dụng:
1. 	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 3x – 1.
b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: ÷ 3x - 1÷.
	c) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: 3÷ x÷ - 1.
2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x + 3.
	b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y = ÷ - x + 3÷.
	c) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y = -÷ x÷ + 3.
3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = - 2x - 3÷ x - 3÷ 
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k.
	c) Tìm x để f(x) > 0.
4. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = - 2x - 1 + ÷ x - 3÷ 
	b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k.
	c) Tìm x để f(x) £ 0.
5. a) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) =÷2x - 8÷ +÷ 3x - 6÷ 
	b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k. Từ đó tính k để phương trình f(x) = k có hai nghiệm cùng dấu.
6. Cho hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) với x1 ¹ x2. CMR: đường thẳng AB có phương trình .
7. Cho ba điểm A(1; 1), B(2; -3), C(3; 7).
a) Lập phương trình các đường thẳng BC, CA, AB.
	b) DABC có đặc điểm gì? Tìm diện tích của nó.
c) Lập phương trình đường trung tuyến AM.
	d) Lập phương trình đường trung trực của BC.
	e) Lập phương trình đường thẳng qua A và song song với cạnh BC.
	f) Lập phương trình đường cao CH của DABC.
	g) Tìm tọa độ của điểm D để tứ giác ABDC là hình bình hành.
8. Cho hàm số f xác định bởi công thức: 
a) Chứng minh rằng f là hàm số lẻ.
b) Vẽ đồ thị của hàm số này.
9. Cho hàm số: y= (2m - 1)x + 3m +1 , m là tham số thay đổi.
	a) Tùy theo m, xét sự biến thiên của hàm số đã cho.	
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi, tìm điểm cố định đó.
10. Cho hàm số 
Tìm tập xác định của hàm số, vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của nó;
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên toàn bộ TXĐ;
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 1].
11. Cho hàm số:	 (m là tham số).
	a) Tìm các giá trị của m sao cho f(x) < 0 với mọi x Î [0; 1];
	b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm sốcắt Ox tại một điểm thuộc khoảng (1; 2);
	c) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm sốcắt Ox tại một điểm thuộc khoảng (1; 3).
12. Cho hàm số y = x + |x - 2| + |x + 2|.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên;
	b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x + |x - 2| - |x + 2| = m;
	c) Dựa vào đồ thị, xác định m sao cho x + |x - 2| > |x + 2|.
§3. Hàm số bậc hai:
	1. Định nghĩa:
	*. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số, a ¹ 0.
	*. TXĐ: D = R, TGT: G = R.
	2. Đồ thị của hàm số bậc hai:
	Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ¹ 0) là parabol (P) có đỉnh 
, nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dưới khi a < 0.
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai:
	*. Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi .
	*. Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi .
Bài tập áp dụng:
1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x2 - 3x + 2 (P)
b) Tìm max, min của f(x) trên các đoạn: [-1; 3], [-1; 1], [1; 3].
	c) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình f(x) = k.
	d) Từ (P) suy ra đồ thị hàm số: y = ÷ x2 - 3x + 2÷.
	e) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: ÷ x2 - 3x + 2÷ = k.
	f) Từ (P) suy ra đồ thị hàm số: y = x2 - 3÷ x÷ + 2.
	g) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x2 - 3÷ x÷ + 2 = k.
2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = ÷ - 2x2 + 3x +5÷.
	b) Tìm m để đồ thị đã vẽ ở câu a) cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt.
3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = (x + 1)(1 - ÷ x÷ )
b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k.
	c) Tìm max, min của f(x) trên nửa khoảng [-2; 1).
4. Tìm parabol (P): y = ax2 + bx + c, biết rằng:
a) Parabol đó đi qua ba điểm M(1; 1), N(-1; 9) và E(0; 3).
 	b) (P) đi qua (-1; 1) và có đỉnh I(1; 4).
	c) Có trục đối xứng x = 2 và đi qua (1; -3), (0; 0).
	d) Hàm số đạt cực tiểu là 1 tại x = 1 và đi qua (0; 2).
	e) Hàm số đạt cực đại là 3 tại x = - 1 và đi qua (1; -1).
5. Cho họ parabol: y = x2 + (2m +1)x + m2 -1 (Pm).
Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.
6. Cho hai Parabol (P1): y = x2 và (P2): y = - x2 + 2x + 4.
a) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của chúng.
	b) Qua A vẽ đường thẳng d1 cắt (P1), (P2) lần lượt tại E, F (¹ A). Qua B vẽ đường thẳng d2 cắt (P1), (P2) lần lượt tại G, H (¹ B). Chứng minh rằng EG // HF.
7. Cho Parabol (P): y = x2 + 2x - 3 và đường thẳng (d) đi qua A(1; 0) có hệ số góc là a. Với giá trị nào của a thì:
	a) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
	b) (P) cắt (d) tại hai điểm có hoành độ trái dấu nhau.
8. a) Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ hàm số: y = ax2 + (a - 1)x - 6a luôn đi qua hai điểm cố định.
	b) Lập phương trình họ Parabol luôn đi qua hai điểm (1; -3), (0; 1).
9. Cho Parabol (P): y = x2 - 3x + 3
a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua (1; 1/2) và tiếp xúc với (P). Có nhận xét gì về các tiếp tuyến vừa tìm được.
	b) Tìm tập hợp các điểm mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (P) mà hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
c) Tìm tập hợp những điểm mà từ đó không thể vẽ được tiếp tuyến nào của (P).
10. Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ y = 2mx - m2 + 2m + 2 luôn 
tiếp xúc với một parabol cố định.
11. Cho parabol (P): .
 a) CMR: " M Î (P) cách đều trục hoành và một điểm K cố định.
 b) Chứng minh rằng tiếp tuyến của (P) tại M tạo với MK và trục tung những góc nhọn bằng nhau.
12. Cho họ đường cong: (Pm): y = (m + 1)x2 - (m + 2)x - 2m - 3.
	 a) CMR: mọi đồ thị của họ hàm số trên luôn đi qua hai điểm cố định.
	 b) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có một đường cong nào của họ đi qua.
13. Cho họ Parabol (Pm): y = fm(x) = - x2 + 2mx - 3m + 4.
a) Tìm quỹ tích các đỉnh của Parabol (Pm).
	b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số fm(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
14. Cho họ Parabol (Pm): y = fm(x) = x2 + 2(m - 1)x + 3m – 5.
a) Tìm tập hợp đỉnh của các Parabol (Pm).
	b) Với giá trị nào của m, fm(x) có một giá trị bé nhất, tìm m để giá trị bé nhất nói trên là lớn nhất.
15. Tìm giá trị bé nhất của hàm số: y = x2 - ÷ x - 3÷ + 2m – 1.
16. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = f(x) = (x - 1)(5 - x)(x2 - 6x + 5).
17. Cho các điểm A(-1; 1) và (2; 4) Î (P): y = x2.
	a) Trên cung AB của (P), tìm điểm C sao cho DABC có diện tích lớn nhất.
	b) Với C tìm được vẽ trung tuyến AM của DABC, AM cắt (P) tại I ¹ A. CMR: 
18. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
19. CMR: mọi đường thẳng của họ (dm): y = 2mx – m2 + 2m + 2 luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
20. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P1) của hàm số y = 2x2.
b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số (P2): y = 2x2 – 4x + 3.
	c) Biện luận bằng đồ thị theo k số nghiệm của phương trình: 2x2 – 4x + 5 – k = 0.
21. Cho hàm số y = f(x) = ÷ x2 – 3x + 2÷ + ÷ - x2 + 4x - 3÷ (P).
	a) Vẽ (P).
	b) Biên luận theo k số nghiệm của phương trình f(x) = k.
22. Biết rằng parbol (P) đi qua điểm M(2 ; -3) và có đỉnh I(1 ; -4) là đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c.
	a) Tính các hệ số a, b, c và tọa độ các giao điểm của (P) với các trục tọa độ.
	b) CMR: (P) và parabol (P1): y = -x2 – 2x – 3 có một điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm chung ấy và vẽ hai parabol trên cùng một hệ trục tọa độ.
	c) Xét hàm số y = g(x) có đồ thị (G) với đaặc điểm: (G) º (P) khi x ³ 0 và (G) º (P1) khi x < 0. Hãy viết công thức biểu thị hàm số đó rồi lập bảng biến thiên của nó.
23. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c tiếp xúc với đường thẳng (d): y = x + 3 tại điểm A(1 ; 4).
	a) Xác định a, b, c biết rằng parabol đó có trục đối xứng là đường thẳng (d’) đi qua B(-3/4 ; 0) và song song với Oy.
	b) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
Bài ôn tập chương II:
1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng K đã chỉ ra:
2. Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng xác định và đồng biến trên khoảng K.
	a) CMR : hàm số h(x) = f(x) + g(x) cúng đồng biến trên K.
	b) Trên miền K cho thêm f(x) > 0, g(x) > 0. CMR: hàm số p(x) = f(x).g(x) cũng đồng buến trên miền K.
3. Cho hàm số y = - 3x2.
	a) Xét sự biến thiên của hàm số.
	b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].
4. 	a) Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên D É (a ; b). Biết rằng f(x) đồng biến trên khoảng (a; b), hãy xác định sự biến thiên của f(x) trên khoảng (- b ; - a).
	b) Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và xác định trên D É (a ; b). Biết rằng f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b), hãy xác định sự biến thiên của f(x) trên khoảng (- b ; - a).
5. Xét sự biến thiên của hàm số y = xn, n N* trong mỗi trường hợp: 
	a) Trên khoảng (- ¥; +¥) với n lẻ;
	b) Trên mỗi khoảng (- ¥; 0) và (0; +¥) với n chẵn.
6. CMR: nếu f(x) là hàm số lẻ thì hàm số f(f(x)) cũng là hàm số lẻ. Nếu f(x) là hàm số chẵn thì hàm số f(f(x)) có là hàm số chẵn không ?
7. Tìm giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [0; 1] bằng 1 với f(x) = x2 + (2m + 1)x + m2 – 1.
8. Với mỗi hàm số sau đây, hãy vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của nó.
9. Cho hàm số f(x) = (x + 2)(|x| - 1).
	a) Vẽ đồ thị rồi lập bảng biến thiên của nó;
	b) Dựa vào đồ thị, tìm tập nghiệm S1 của bất phương trình f(x) > 0;
	c) Dựa vào đồ thị, tìm tập nghiệm S2 của bất phương trình f(x) £ 0;
	d) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa S1 và S2?
10. Cho hàm số Đặt 
	Tìm m sao cho y2 – y1 = 8.
11. Cho hai parabol (P1): y = x2 – 5x + 6 và (P2): y = - x2 + 5x – 11. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai parabol nói trên.
12. Xác định phương trình của parabol có trục đối xứng song song với trục tung và nhận ba đường thẳng (d1): y = x - 5, (d2): y = - 3x + 3, (d3): y = 3x – 12 làm các tiếp tuyến.
13. Cho parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0). Gọi M là một điểm nằm trên parabol có hình chiếu trên trục hoành là M’ (M’ ≠ O). Tiếp tuyến tại M với parabol cắt trục hoành tại điểm N. Chứng minh rằng N là trung điểm của OM’.
14. a) Chứng minh rằng "m ≠ 0, họ parabol (Pm): y = mx2 – (4m – 1)x + 4m – 1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
	 b) Chứng minh rằng "m ≠ - 1, họ parabol (Pm): y = mx2 – (2m – 1)x + m + 2 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
15. Cho họ parabol (Pm): y = x2 + (2m + 1)x + m2 – 1. 
a) Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ parabol trên luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
b) Tìm các điểm trên mặt phẳng mà không có một parabol nào của họ đi qua.
16. Tìm trên mặt phẳng tọa độ những miền thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
	a) |x| + |y| ≤ 4; 	b) 2 ≤ |x + y| + |x - y| ≤ 4 ;
	c) 4 ≤ (x + |x|)2 + (y + |y|)2 ≤ 8; 	d) 4 ≤ x + |x| + y + |y| ≤ 8.
17. Cho họ đường cong chứa tham số m: (Cm): y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m. Tìm m để đồ thị của hàm số (Cm) cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện sau: 
.
18. Biện luận số nghiệm của phương trình (x – 1)2 = 2|x – a| theo a.
19. Cho họ đường cong parabol (Pm) có phương trình y = fm(x) = x2 + 2(m + 1)x + 3m + 1.
	a) Tìm tập hợp đỉnh của (Pm);	b) Tìm m để giá trị bé nhất của fm(x) là lớn nhất.
20. Cho họ đồ thị (Hm): y = 
	a) Tìm m để (Hm) là một đường thẳng (bỏ đi một điểm);
	b) Cho hình tròn (T): x2 + y2 + x ≤ 0. Tìm những điểm thuộc (T) nhưng không thuộc bất cứ một đường nào của họ (Hm).