Giáo án Giải tích 12 Bài 1, 2: Nguyên hàm + Tích Phân

TRƯỜNG THPT DL ĐĂNG KHOA
Học kỳ II
Chương III
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
(18 tiết _ Từ: t. 48 – 65)
§1. Nguyên hàm 	5 tiết.
§2. Tích phân 	7 tiết.
Oân tập 	2 tiết.
Mục tiêu cần đạt: 
	Học sinh nắm được khái niệm nguyên hàm của hàm số. Nắm được tính chất của nguyên hàm. Biết tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
	Hiểu được tích phân xác định và biết tính tích phân của một số hàm số.
	Bước đầu biết dùng tích phân xác định để giải quyết một số bài tóan ứng dụng.
Bài 1
NGUYÊN HÀM
(5 tiết_ T. 48 – 52)
Mục tiêu cần đạt:
	Học sinh nắm được khái niệm nguyên hàm của hàm số trên khoảng, đoạn. Hiểu thế nào là tích phân bất định.
	Nắm được nguyên hàm của một số hàm số thường gặp trong bảng nguyên hàm.
Nắm được tính chất của nguyên hàm, các phép toán và phương pháp tính nguyên hàm. 
Biết tính nguyên hàm của một số hàm số đơn giản.
Tuần 1: (t. 48 – 50) 
Tiết 48,49
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : ▲: Trong các hàm số sau. Hàm số nào có đạo hàm là y = 3x2:
A: y = x3 	B: y = x3 – 5	C: y = x3 + 5 	D: y = x3 – c với c Ỵ R
3/ Bài mới :
▲: Bài toán: Hàm số y = f(x) xác định trên K, ở đĩ K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đĩ. Tìm hàm số F sao cho F’(x) = f(x); "xỴ K?
▲Tìm một nguyên hàm của y = 3x2 ?
´ Có bao nhiêu nguyên hàm ?
▲: Chứng minh ĐL 1? 
´ [F(x) + C]’ = ? 
´ G(x) cũng là nguyên hàm Þ [G(x) – F(x)]’ = ?
▲: Nếu y = f(x) có một nguyên hàm thì nó có bao nhiêu nguyên hàm? Chúng có dạng? 
´ Hai nguyên hàm của cùng hàm số sai khác nhau?
´ = ?
´ 
´ Hàm số y = f(x) xác định trên K = [a; b]. Tìm hàm số y = F(x) sao cho F’(x) = f(x); "xỴ K?
´ Tính đạo hàm của y = f(x) bằng định nghĩa?
Ta có: y’(x0) = 
Nếu Dx ® 0+(tức Dx > 0) hay x ® x0+ (tức x > x0)
▲Tương tự; định nghĩa f’(x0 –) ?
▲ Có thể F’(x) = f(x); "xỴ(a; b); F’(a+) = f(a); 
F’(b –) = f(b)? 
´ Trên (a; b), ta có: F’(x) = ? KL? 
F’(a+) = ? 
´ Trên (– 1; 1) ta có F’(x) = ?
´ Ta có: F(– 1) = ? Þ F’(– 1+) = 
▲Kiểm tra bảng bên bằng? 
▲ =? 
´ (cosx)’ = ? Þ = ? Þ (1)
´ = ? Þ = ? Þ (2)
▲Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x) Þ (k.F(x))’ = ?
´ Do đó: k.F(x) là nguyên hàm của k.f(x)?
 Þ = k.F(x) + C’
 Mặt khác: = F(x) + C’’
Þ = k. F(x) + k.C’’
Vì C’ tuỳ chọn nên lấy C’ = k.C’’ Þ (3)
´ Tương tự cho (4)
▲: Chứng minh (*)? 
▲: A có sẵn dạng trong bảng nguyên hàm?
´ Thừa số 2 có thể tách? 
´
▲B có sẵn dạng trong bảng nguyên hàm?
´ Tách B bằng tính chất nguyên hàm?
´ 
▲ D có sẵn dạng trong bảng nguyên hàm?
´ biến đổi thành tổng của nhiều hàm số có trong bảng nguyên hàm? = ? 
´ Những hàm số nào có nguyên hàm?
I/ Nguyên hàm và tính chất:
1/ Nguyên hàm:
a/ Định nghĩa: (tr 136) Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F’(x) = f(x);"xỴK
Ví du ï: y = 3x2 có y = x3 là một nguyên hàm trên R.
b/ Định lý 1: (tr 137)
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đĩ
Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho: G(x)=F(x)+ C với mọi x 
c/ Tích phân bất định: Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì họ các nguyên hàm gọi là tích phân bất định.
Ta có: 
Dấu:gọi là dấu tích phân không xác định(nguyên hàm)
Biểu thức: f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân 
Chú ý: Khi không nói gì ta hiểu đó là nguyên hàm trên mỗi khoảng nó xác định.
Chú ý:
Trong trường hợp K = [a,b], các đẳng thức 
 F’(a) = f(a), F’(b) = f(b) được hiểu là 
và
 2) Cho 2 hàm số f và F liên tục trên đoạn [a,b]. Nếu F là nguyên hàm của f trên khoảng (a,b) thì cĩ thể chứng minh được rằng F’(a) = f(a) và F’(b) = f(b), do đĩ F cũng là nguyên hàm của f trên đoạn [a,b].
3/ Bảng nguyên hàm thường dùng:	
Hàm số: f(x)
Nguyên hàm: F(x)
0
C 
k ¹ 0
Kx + C
x a (a ¹ – 1)
 + C
ln|x| + C
sin(ax + b) (a ¹ 0)
 + C
cos(ax + b) (a ¹ 0)
+ C
1 + tan2x = 
tan + C
1 + cot2x = 
cotx + C
ekx (k ¹ 0)
 + C
ax (0 < a ¹ 1)
 + C
4/ Tính chất của nguyên hàm:
Định lý :
Chú ý:
Nếu Þ dF(x) = f(x)dx (*)
Ví dụ 1: Tính A = 
Giải:
A = = 
Nếu đặt C’ = 2C Þ A = + C’
Chú ý: Trong kết quả sau cùng ta thường ghi C
Hay: A = + C
Ví dụ 2: Tính B = 
Giải:
B = = 	
Ví dụ 3: Tính D = 
Giải: 
D = 
4/ Củng cố : Định nghĩa nguyên hàm, tính chất. 
+ Nếu hay: 
Tận dụng các phép biến đổi đồng nhất để đưa một hàm số đã cho thành tổng của nhiều hàm số có trong bảng nguyên hàm.
▲Dùng công cụ nào để kiểm tra?
Tiết 50
1/ Oån định :
2/ Kiểm tra : Nêu định nghĩa nguyên hàm. AD: Tính A = 
3/ Bài mới :
´ ?
▲Cho I = . 
´ Khai triển (x – 1)3 = ? Từ đó tính I? 
´ Đặt: u = x – 1. Tính du = ? 
Từ đó, hãy viết I theo biến u và tính I? 
´ Chứng minh (*)? 
▲Tính: I = ? 
 J = ? 
´ Đặt: t = ax + b 
Þ 
´ Theo hệ thức cơ bản: tgx = ? 
´ coi: t = cosx Þ dt = ? 
´ Viết I theo t: I = = ? 
´ Đưa trở về theo biến x? 
´ t = 1 + cosx Þ dt = ? 
´ Coi t = 3x + 2 Û x = ? 
´ dt = ? Þ dx = ? 
´ Viết I theo t?
´ Tính I theo t?
´ Đưa trở về theo biến x? 
´ Có thể tách: ? 
a/ Phương pháp đổi biến:
Định lý :
	Nếu và t = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f(u(x)) xác định trên K thì 
	 (*)
Hay: 
Chứng minh:
Ta có: Þ F(t)’ = f(t)
Vì t = u(x) Þ F(t)’x = f(t).t’x
Hay: F[(u(x)]’ = f[u(x)].u(x)’
Hệ quả:
 Ví du ï1: Tính I = 
I = 
Ví dụ 2: Tính I = 
Giải: 
t = 1 + cosx Þ dt = – sinxdx
Þ I = = – ln|1 + cosx| + C
Ví dụ 3: Tính I = 
Giải: 
Đặt: t = 3x + 2 Û x + 1 = ; dx = 1/3dt
4/ Củng cố : Có thể đặt: t = u(x) hay x = .Ví dụ: I =. 
Đặt: t = lnx Þ Þ I = 
Đặt: x = et Þ lnx = t; dx = etdt Þ I = 
5/ Bài tập : 5(tr 142)
Tiết 51
1/ Oån định :
2/ Bài mới :
▲ (xsinx)’ =? 
Þ 
´ ?
Þ 
Tổng quát:
u, v là 2 hàm số có đạo hàm liên tục Þ (u.v)’ = ? 
´ u’, v’ có liên tục? Þ u’.v; v’.u có nguyên hàm?
Þ = ? 
Þ ?
´ Coi v’ = ? u= ? để dễ tìm v và u’ đơn giản hơn?
´ Coi v’ = ? u= ? để dễ tìm v và u’ đơn giản hơn?
´ Coi v’ = ? u= ? để dễ tìm v và u’ đơn giản hơn?
´ Coi v’ = ? u= ? để dễ tìm v và u’ đơn giản hơn?
 Cách tính nguyên hàm:
b/ Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:
Định lý :
Nếu u, v là 2 hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng hay đoạn nào đó thì:
	 hay: 
Ví dụ 1: 
Tính A = 
Giải:
Đặt: u = x Þ du = dx
 dv = sinxdx Þ v = – cosx
A = – x.cosx + = – xcosx + sinx + C
Ví dụ 2:
 Tính B = 
Đặt: u = x2 Þ u’ = 2x
 v’ = ex Þ v = ex
B = x2ex – 
Lại coi 2I = 
Lại đặt: u = x Þ u’ = 1
 v’ = ex Þ v = ex
Þ I = xex – = xex – ex 
Vậy: B = x2ex – xex + ex + C
Ví dụ 3: Tính: C = 
Giải:
Đặt: u = lnx Þ u’ = 
 v’ = x Þ v = x2
D = x2lnx – = x2lnx – + C
Ví dụ 4: Tính E = 
Giaỉ:
Đặt: u = sinx Þ u’ = – cosx
 v’ = ex Þ v = ex 
E = sinx.ex + 
Tiếp tục: u = cosx Þ u’ = – sinx
 v’ = ex Þ v = ex 
= cosx.ex + E (tự tính)
3/ Củng cố : Chọn v’ thế nào để dễ tính v
4/ Bài tập : Bài (tr 145)
Tuần 2
Tiết 52
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : 
H/s 1: Nêu cách tính nguyên hàm từng phần. AD Tính A = 
H/s 2: Nêu bảng nguyên hàm. AD Tính: B = . Biết rằng nguyên hàm đó bằng 0 khi 
3/ Bài mới : (Sửa bài)
´ Biến đổi thành tổng của x a ? 
´ = 
´ Nếu a ¹ – 1 thì = ?
KL?
´ Biến đổi thành tổng của ax?
´ Biến đổi sin2x.cos2x = ? ( ½ sin 2x)2 
´ Biến đổi theo sinx, cosx?
´ d(cosx + sinx) = ? Þ ? 
´ Thực hiện chia đa thức: 
´ (x2 + x + 1)’ = ? Þ d(x2 + x + 1) = ? 
´ =?
´ 
´ (sinx – cosx)’ = ? Þ d(sinx – cosx) = ? 
´ = ? 
´ Đặt: u = ? dv = ? 
´ Tính: ? 
Đặt: u = 2x + 2 Þ du = 2dx
 dv = exdx Þ v = ex
´ Đặt: u = ? dv = ? 
´ Tính : ? (từng phần)
´ Đặt: u = ? dv = ? 
´ Tính: ? (từng phần)
´ Đặt: u = ? dv = ? 
´ Tính: ? 
´ Đặt: u = ? dv = ? 
´ Tính: I =? 
´ Đặt: u = ? dv = ? 
Þ I = ? 
´ Đặt: u = ? dv = ? 
Đặt: u = ln(tgx) Þ u’ = 
 dv = sinxdx Þ u = – cosx
´ Tính I = = = ? 
Bài 2(tr 141)
2a/ Ta có: 
A =
 = (+ C)
2/ B = 
2c/ 
2d/ 
 = sinx + cosx
2e/ 
2f/ 
2g/ 
= 
Bài 3: (tr142)
3a/ Đặt: u = x2 + 2x – 1 Þ du = (2x + 2)dx
 dv = exdx Þ v = ex
= ( x2 + 2x – 1 )ex – = (2x + 2)ex–= (2x +2)ex – 2ex
Vậy: = ( x2 – 1 )ex + C
3b/ u = x2 Þ du = 2xdx
 dv = sinxdx Þ v = – cosx
= – x2cosx +
= 2[xsinx – ] = 2[xsinx + cosx]
Vậy: = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C
3c/ u = (lnx)2 Þ du = 2
 dv = dx Þ v = x
= x(lnx)2 – 2.
 = xlnx – = xlnx – x
Vậy: = x(lnx)2 – 2xlnx + 2x + C
3d/ u = sin(lnx) Þ du = dx
 dv = dx Þ v = x
I = = x.sin(lnx) – 
= xcos(lnx) +
I = x.sin(lnx) – xcos(lnx) – I
Vậy: I = + C
3e/ 
A=
Đặt: I = ; J = 
Đặt: u = 
 dv = exdx Þ v = ex
I =– J
A = I + J = 
3f/ A = 
A = – cosx.ln(tgx) + 
A = – cosx.ln(tgx) + 2ln(tgx/2) + C
4/ Củng cố : Tích phân từng phần:
▲8(tr 139)
Dạng: đặt u = P(x)
Dạng: đặt u = P(x)
Dạng: đặt u = P(x)
Dạng: đặt u = eax
5/ Bài tập : Xem Phương pháp đổi biến
Bài 2
TÍCH PHÂN
(6 Tiết: Tiết 53 – 58)
Mục tiêu cần đạt:
	Nắm được nguồn gốc phát sinh tích phân xác định.
	Hiểu rõ định nghĩa tích phân xác định của hàm số liên tục trên một đoạn.
	Nắm được các tính chất của tích phân xác định. Các phép toán và cácc phương pháp tính tích phân xác định.
	Vận dụng thành thạo các phương pháp tính tích phân để giải quyết một số bài toán hình học như thể tích; diện tích.
Tiết 53:
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : ▲1(tr 143)
´ x = 1 Þ y(1) = ? ; xỴ[1; 5] Þ y(x) =? Þ S(x) = ? (x – 1)(x + 2) = x2 + x – 2
 Tính: S’(x) = ? Þ 
´ S = ? S(5) – S(1) = ?
3/ Bài mới :
´Chia hình bên bởi nhiều hình thang(tam giác cong)? 
Þ Tính diện tích hình phẳng? ® diện tích tam giác cong
´ Có thể chia [a; b] thành các đoạn nhỏ: sao cho trên mỗi đoạn nhỏ đó hàm số y = f(x) đơn điệu? 
 Gọi Q(x; f(x)) và P(x0; f(x0)) Ỵ (C).
´ SMNPQ ? S(x0) – S(x) ? SMNEF 
´ SMNPQ = ? SMNEF = ? 
´ Do y = f(x) liên tục Þ = ?
Þ 
´ S’(x0 –) = ?
´ Tương tự cho x0 < x? S(x0+) = ?
´ Để S’(x0) tồn tại Û S’(x0 –) ? S(x0+)
´ Nếu: y = S(x) thì ? S’(x0)
´ S’(a –) = ? 
´ Cho x0 = a Þ (x – a).f(a) ? S(x) – S(a) ? (x – a)f(x)
´ ?
Þ ?
´ Tương tự: Cho x0 = b? 
▲2: SaABb = S(b)?
´ Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x)
Þ S(x) ? F(x) + C
´ S(a) = ? S(b) = ? 
 Þ C = ? 
Þ S = ? 
´ Tương tự nguyên hàm: 
gọi? 
f(x)dx: gọi? 
I/ Định nghĩa tích phân :
1/ Diện tích hình thang cong: 
	Cho y = f(x) có đồ thị (C). Giả sử y = f(x) không âm và liên tục trên [a; b]. Phần hình phẳng giới hạn bởi (C); trục hoành và các đường x = a; x = b gọi là hình thang cong.
2/ Bài toán tổng quát:
3/ Tính diện tích thang(tam giác) cong: 
Xét trường hợp y = f(x) không âm và tăng trên [a; b]
Giả sử A(a; f(a)) và B(b; f(b)) Ỵ (C). Lấy xỴ[a; b].
Gọi S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi (C); trục hoành; đường thẳng vuông góc trục hoành tại điểm a và điểm x. Ta sẽ chứng minh:
“ S(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a; b]”
 Chọn x0 Ỵ(a; b); x0 ¹ x. Có 2 khả năng:
+ x < x0: Þ SMNPQ £ S(x0) – S(x) £ SMNEF 
Þ (x0 – x)f(x) £ S(x0) – S(x) £ (x0 – x)f(x0)
Hay: 
Þ 
Nên: 
Þ 
Þ 
Do đó: S’(x0 –) = f(x0) (1)
+ x0 < x: Lập luận tương tự: 
Ta có: S’(x0 +) = f(x0) (2)
Từ (1) và (2): S’(x0 –) = S(x0+) = f(x0) 
Hay: S’(x0) = f(x0); "x0Ỵ(a; b)
Nên S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a; b)
Dễ thấy: 
x0 = a Þ (x – a).f(a) £ S(x) – S(a) £ (x – a)f(x)
Þ 
Mà: Þ 
Nên: S’(a+) = f(a)
Tương tự: S’(b –) = f(b).
KL: S’(x) = f(x); "Ỵ[a; b]
Nên S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]
Định lý :
	Nếu y = f(x) là hàm số liên tục, không âm trên [a; b] có đồ thị (C) và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Gọi S là diện tích giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng vuông góc trục hoành tại a, b thì:
S = F(b) – F(a)
4/ Định nghĩa tích phân :
	Cho y = f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số y = f(x), (ta còn gọi là tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số y = f(x)). Kí hiệu: . Hay: 
Ta có: 	 (*)
(*) gọi là công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit
Trong đó F(x) là môt nguyên hàm nào đó của f(x)
a gọi là cận dưới; b: gọi là cận trên
4/ Củng cố : định nghĩa tích phân; công thức .Ýnghĩahình học
Ví dụ 3: (tr 148)
5/ Bài tập : (1 tr 160)
Tuần 3:
Tiết 54
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : Nêu định nghĩa tích phân xác định; AD Tính 
3/ Bài mới :
´ Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì k.F(x)?
Þ 
▲ Tương tự cho TC 2?
´ Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) thì:
= ?
= ? 
= ? Þ + = ? 
Vì: f(x) ³ 0 Þ F’(x) ? Þ F(x) đơn điệu? Þ F(b) –F(a)?
´ f(x) ³ g(x) Þ f(x) – g(x)? Þ 
´ TC 1: = ? 
´ TC 2: = ?
´ = ? = ? 
´ 1 – cos2x =? (hạ bậc) Þ = ? 
´ khử giá trị tuyệt đối: |sinx| = 
Þ J = ?
´ ? £ 3sin2x £ ?
Þ ? £ 1 + 3sin2x £ ?
´ 
▲6Tính 
Þ tích phân từng phần
´ Muốn tính tích phân ta cần tìm? 
´ Nếu u, v có đạo hàm thì hàm số u.v là nguyên hàm của hàm số ?
Þ 
TC 2: = ?
´ Đặt: u = ? dv = ? 
´ Trong J: Đặt: u = ? dv = ? 
(h/s)
´ Trong k: Đặt: u = ? dv = ? 
(h/s)
II/ Tính chất của tích phân :
TC 1: 
TC 2: 
TC 3: 
TC 4: Nếu f(x) ³ 0, "xỴ[a; b] thì:
HQ: Nếu f(x) và g(x) liên tục trên[a; b] và f(x) ³ g(x), "xỴ[a; b] thì:
Ví dụ 1: I = 
I = = = 
Ví dụ 2: J = 
J = = 
==
Ví dụ 3: Chứng minh 
Ta có: 1 £ 1 + 3sin2x £ 2 Þ 
Þ 
III/ Phương pháp tính tích phân : 
1/ Tích phân từng phần: 
Định lý :
	Nếu u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] thì:
Chú ý:
	Như nguyên hàm ta tìm cách đặtu; dv cho thích hợp
Ví dụ 1: Tính I = 
Đặt: u = x Þ du = dx
 dv = exdx Þ v = ex
I = = 1
Ví dụ 2: J = 
J = 
Ví dụ 3: K = 
K = 
4/ Củng cố : Tính chất tích phân . 
Chú ý: Hãy chứng minh các tính chất sau:
a/ 
b/ = – 
d/ tỴ[a; b] Þ F(t) = là nguyên hàm của f(t) và F(a) = 0
Với phương pháp từng phần: Đặt như nguyên hàm
5/ Bài tập : (tr 152-153)
Tiết 55
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : H/s 1: Tính chất tích phân AD: 
	 H/s 2: Công thức tính tích phân từng phần. AD: Tính 
3/ Bài mới :
´ Nếu G(u) là nguyên hàm của g(u) Þ G(u)’ =?
Þ [G(u(x))]’ = ?
Þ nguyên hàm của g(u(x))u’(x) = ?
´ Do u(x) đơn điệu nên x biến thiên trên [a; b] thì u(x) biến thiên trên? [?; ?]
´ Đặt: u = cosx Þ u’ = ? 
Chú ý:
´ = ?
´ d(cosx) =?
 Þ I = 
´ du = ? 
Chú ý:
´ d(1 + x2) = ?
Þ J = 
 ´ x = u(t) đơn điệu nên tỴ(a; b] Û xỴ [a; b] ?
´ F(x): nguyên hàm của f(x) Û ? F(b), F(a)
´ F’(u(t))= ? 
Þ nguyên hàm của f(u(t))u’(t)
´ dx = ? 
´ Đổi cận: 
▲Tính: 
´ = tgt? Đổi cận?
´ tương tự: 
Trong I: ? Đặt: x/2 = tgt
Trong J: Đặt: = tgt
´ dx = ? Đổi cận?
´ tỴ[0; p/6] Þ 
▲: Tương tự: Tính I = 
´ Đặt: sint = ? (x = 2sint Þ dx = 2costdt ) Þ I = ?
´ Tổng quát: với a > 0 ?
´ Tính dx; đổi cận?
2/ Đổi biến số: 
a/ Dạng 1: 
Định lý :
	Nếu hàm số u = u(x) đơn điệu có đạo hàm liên tục trên [a; b] thoả: f(x)dx = g(u)du =[g(u)u’(x)dx] thì:
Ví dụ 1: Tính I = 
Đặt u = cosx Þ – du = sinxdx
Đổi cận:
x
0 p/2
u
1 0
I = 
Ví dụ 2: Tính J = 
Đăt: u = 1 + x2 Þ xdx = 
Đổi cận:
x
0 1
u
1 2 
J = 
b/ Dạng 2: 
Định lý :
	Nếu x = u(t) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [a; b] và u(a)= a; u(b)= b. Khi đó:
Ví dụ 1: Tính: I = 
Đặt: x = tgt với: tỴ[0; p/4] Þ dx= 
x
0 1
t
0 p/4
Ta có: I = 
Ví dụ 2: Tính: J =
Đặt: x = sint, tỴ[0; p/6]
x
0 1/2
t
0 p/6
Ta có: J = = p/6
Ví dụ 3: Tính: K = 
Đặt: x = ; tỴ [1; 2]
4/ Củng cố : Định nghĩa tích phân, tích phân từng phần, đổi biến(nhớ y = f(x) liên tục)
5/ Bài tập : SGK
Tiết 56
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : Định nghĩa, ý nghĩa hình học của tích phân . AD: I = 
3/ Bài mới :
´ Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân 
´ d(1 – x) =? Dx
´ Biến đổi tích thành tổng? 
´ Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân: 
´ 
´ Khử giá trị tuyệt đối: 
|1 – x2| = ?
´ Có thể tách D? 
´ Trên [0; 1]; | 1 – x2 | = ? Þ I = ? 
´ Tương tự trên [1; 2]
´ Tìm A, B sao cho: ?
´ sin2x = ? (hạ bậc)
´ Hạ bậc: cos22x = ?
Bài 1(tr 160)
A = = 
A = 
B = 
B = 
C = 
C = 
D = = + 
Đặt: I = ; J = 
Ta có: I = 
 J = 
Vậy: D = 1
E = . Ta có: 
Þ E = 
Þ E = 
F = 
F = 
4/ Củng cố : Công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit
5/ Bài tập :(Sgk: tr160; 161)
Tuần 4
Tiết 57 
1/ Oån định :
2/ Kiểmtra : Tính chất của tích phân, tích phân từng phần? AD: Tính I = 
3/ Bài mới :
´ u = ? Þ du?
 dv = ? Þ v ?
´ u = ? Þ du?
 dv = ? Þ v ?
´ u = ? Þ du?
 dv = ? Þ v ?
´ Tính I? u = ? Þ du?; dv = ? Þ v ?
´ u = ? Þ du?
 dv = ? Þ v ?
´ Tính I? u = ? Þ du?; dv = ? Þ v ?
´ u = ? Þ du?
 dv = ? Þ v ?
´ Tính I? u = ? Þ du?; dv = ? Þ v ?
´ Phân tích: ?
´ Tính I; J? u = ? Þ du?; dv = ? Þ v ?
Bài 2(tr 160)
A = 
Đặt: u = x + 1 Þ du = dx; dv = sinxdx Þ v = – cosx
A= 
A = 2
B = 
Đặt: u = ln(x+1) Þ u’= ; v’= 2x Þ v = x2 
B = 
B = ½
C = 
Đặt: u = cos2x Þ u’ = – 2sin 2x; v’ = ex Þ v = ex 
C = 
Coi: I = =
Vậy: C = 
D = 
Đặt: u = x2 – 2x –1 Þ u’= 2x – 2; v’= e –x Þ v = – e –x
D = 
Coi: I = 
I = = –1
E = 
Đặt: u = x2 Þ u’ = 2x; v’ = sinx Þ v = – cosx
E = 
Coi: I = . Vậy: E = p – 2
F = .Coi: 
Đặt: u = ex Þ u’= ex; v’= 
I = Þ F = 
4/ Củng cố : Công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit; tích phân từng phần, đổi biến 
5/ Bài tập : (tr 160, 161)
2 tr 9x + 7