Giáo án Giải tích 12 - Tiết 1 đến tiết 3

Tiết 1 – 2
Ngµy so¹n: 24/ 08/ 2008
CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
	§1. TÝnh ®¬n ®iƯu cđa hµm sè
Mơc tiªu
Về kiến thức :
Ôn lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Từ đó xây dựng và hình thành dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số nhờ công cụ đạo hàm .
Đồng thời qua đó ôn luyên kỹ năng xét dấu nhị thức bậc nhất và xét dấu tam thức bậc hai.
Về kỹ năng :
Rèn kỹ năng xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số .
Về tư duy :
Từ việc ôn lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến để xây dựng và hình thành dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số nhờ công cụ đạo hàm .
Về thái độ :
Rèn tích cách ham học hỏi và tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề .
Träng t©m: Hình thành dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số nhờ công cụ đạo hàm.
Ph­¬ng ph¸p:: Vấn đáp thông qua các hoạt động để rÌn luyƯn kû n¨ng vµ ph¸t triĨn tư duy của hs .
IV. ChuÈn bÞ:
Thực tiễn : Hs đã được học tính đơn điệu của hs và cách tính đạo hàm của hs ở lớp dưới
Phương tiện : Chuẩn bị sẵn các hình vẽ đồ thị của các hàm số .
V. C¸c b­íc lªn líp:
Bài mới :
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
1. Nhắc lại định nghĩa hµm ®ång biÕn nghÞch biÕn
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K là khoảng (a,b) hoặc đoạn ) .
Hs y = f(x) đồng biến (tăng) trên K 
nếu x1, x2 K , x1 < x2 thì 
Hs y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếux1, x2 K , x1 < x2 thì 
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K .
Nhận xét : 
f(x) đồng biến trên K
 x1, x2 K,x1x2
f(x) nghịch biến trên K 
 x1, x2 K,x1x2
Ta thÊy: NÕu f(x) cã ®¹o hµm trªn K vµ:
a) f(x) ®ång biÕn trªn K th× f’(x) 0 xK.
b) f(x) nghÞch biÕn trªn K th× f’(x) 0 xK.
* Mét sè nhËn xÐt trùc quan
Quan sát đồ thị và xét dấu đạo hàm của từng hàm số và điền vào bảng tương ứng, nêu nhận xát về dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số :
x
- 0 +
y’
+
-
 y
+ 
 0
+
x
0
y’
+
-
+
y
0
1
0
0
-1
1. Điều kiện để hàm số đơn điệu
Định lý : Cho hs y = f(x) có đạo hàm trên (a,b)
Nếu f’(x) > 0 , x(a,b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng đó .
Nếu f’(x) < 0 , x(a,b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó .
Định lý mở rộng : Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a,b). Nếu (hoặc ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên (a,b) thì hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó.
**. NÕu f’ =0 hµm sè kh«ng ®ỉi trªn (a, b) hay f lµ hµm h»ng.
2. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
Tính đạo hàm y’
Chỉ ra các điểm tại đó y’ = 0 hoặc không xđ
Lập bảng xét dấu đạo hàm y’
Kết luận về các khoảng tăng giảm của hs
3. Ví dụ 
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau
y = 
y = cosx trên 
y = 
y = 
y = 
Cho hs chỉ ra các khoảng tăng giảm của hàm số y=sinx trên đoạn [0,] ?
Giáo viên yêu cầu hs nêu định nghĩa:
Hàm số đồng biến trên khoảng (a,b) ?
Hàm số nghịch biến trên khoảng (a,b) ?
Trên cơ sở của định nghĩa, giáo viên chỉ cho học sinh thấy mối liên hệ :
f(x) đb trên K
f(x) nb trên K
Hàm số y = 
Hàm số y = sinx
Giáo viên hướng dẫn hs c/m:
f(x) có đạo hàm trên (a,b) f(x) liên tục trên (a,b)
 §iỊu ng­ỵc l¹i kh«ng ®ĩng gi¶i thÝch?
VÝ dơ ®Þnh lý:
Hµm sè: y= f(x) =x2+ 2x-4 NghÞch biÕn trªn (-; -1) ®ång biÕn trªn (0; +) 
Hµm sè: y = x3- 3x2+ 2
** Từ định lý, cho hs phát biểu quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
Hướng dẫn hs làm ví dụ a) và gọi hs lên bảng làm các ví dụ còn lại . 
Củng cố : Gi¸o viªn nhÊn m¹nh định lý điều kiện để hàm số đơn điệu. Từ đó khắc sâu phương pháp tìm khoảng đơn điệu của hàm số.
Làm bài tập trong sgk, sbt. Giíi thiƯu §Þnh lý Lagar¨ng.
2. Định lý lagrange 
 1 : Hs nêu được : 
Có thể vẽ những tiếp tuyến song song với dây cung AB.
Ta có : A (a,f(a)) B (b,f (b)). Giả sử tiếp tuyến tại C(c,f(c)) song song với AB
Hệ số góc của cát tuyến AB là : 
Vì tiếp tuyến tại C song song với AB nên ta có : f’(c) = 
ĐL : Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trên (a,b) thì tồn tại một điểm sao cho f(b) – f(a) = f’(c)(b-a)
 Hay 
Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số y=f(x) thoả mãn các gt của ĐL Lagrange thì trên đồ thị tồn tại điểm C, tại đó tiếp tuyến song song với dây cung AB.
Hệ quả : Nếu f’(x) = 0,x (a,b) thì f(x) là hàm hằng trên khoảng đó .
C/m
f(x) có đạo hàm trên (a,b) f(x) liên tục /(a,b). Xét điểm cố định x0(a,b),x(a,b) ta có :
Trên các đoạn [x0,x] hoặc [x,x0] gt của định lý Lagrange được thoả mãn c( x0,x) hoặc c(x,x0) sao cho f(x) - f(x0) = f’(c)(x-x0) = 0
 f(x) - f(x0) = 0 f(x) = f(x0) = const 
Cho hs xem hình vẽ trong sgk và trả lời câu hỏi : 
Có thể vẽ những tiếp tuyến song song với dây cung AB được không?
Nếu có hãy tính hệ số góc của các tiếp tuyến đó theo các toạ độ của A, B ?
A
f(a)
O
f(c)
f(b)
b
a
B
Nhắc lại công thức tính đạo hàm của hàm hằng ? (C)’= 0
Ngược lại, một hs có đạo hàm bằng 0 thì nó có phải là hàm hằng không?
Gv nêu hệ quả và hướng dẫn học sinh chứng minh dựa vào định lý Lagrange.
Tiết 3
	BÀI TẬP
	SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I. Mơc tiªu
1) Về kiến thức :
Qua tiết dạy giáo viên luyện tâp cho học sinh giải các dạng toán :
Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số , tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Chứng minh hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên một khoảng cho trước.
2) Về kỹ năng :
Rèn kỹ năng xét dấu và vận dụng dấu hiệu đủ của tính đơn điệu xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số .
Về tư duy :
Từ việc ôn lại định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến để xây dựng và hình thành dấu hiệu nhận biết tính đơn điệu của hàm số nhờ công cụ đạo hàm .
Về thái độ :
Rèn ý thức tự giác học tập và tinh thần trách nhiệm.
II. Träng t©m : Kỹ năng xét dấu và vận dụng dấu hiệu đủ của tính đơn điệu xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ph­¬ng ph¸p: Mở vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của hs .
ChuÈn bÞ:
1) Thực tiễn : Hs đã được học tính đơn điệu của hs và cách tính đạo hàm của hs ở lớp dưới
2) Phương tiện : Chuẩn bị sẵn các hình vẽ đồ thị của các hàm số .
C¸c b­íc lªn líp :
1) Bài cũ : Xét tính đơn điệu của hàm số .
2) Bài mới :
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
Bài 1 : Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số :
y = 
y = 
y = 
y = 
Bài 2 : Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
y = 
y = 
y = 
y = 
y = 
y = x + sinx
Bài 3 : Chứng minh rằng hàm số y = nghịch biến trên các khoảng (-;-1) và (-1;+)
Bài 4 : Chứng minh rằng hàm số y = đồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên (1,2)
Bài 5 : Chứng minh các bất đẳng thức sau :
cosx > (x > 0)
tgx > 
sinx + tgx > 2x 
Yêu cầu học sinh lên bảng giải
Giáo viên giải (a) và (b) còn (c) và (d) yêu cầu học sinh lên bảng giải
Lưu ý học sinh có thể rút gọn sau khi đã đặt điều kiện .
H­íng dÉn häc sinh xÐt tÝnh ®ång biÕn nghÞch biÕn b×nh th­êng, sau ®ã ®­a ra kÕt luËn.
Giáo viên gọi học sinh lên bảng chứng minh
Giáo viên gọi học sinh lên bảng chứng minh
H­íng dÉn: Hµm sè y= f(x) ®ång biÕn trªn [a; +) nhËn xÐt g× vỊ gi¸ trÞ cđa hµm sè ®ã?
f(x)> f(a) x >a.
§Þnh h­íng hs ®Ỉt: f(x)= cosx +- 1 vµ cm hµm ®ång biÕn trªn [0; +).
T­¬ng tù b, c.
Giáo viên gọi học sinh lên bảng chứng minh
Củng cố : Hướng dẫn học sinh giải các bài tập còn lại .
 Làm các bài tập trong sách bài tập .
Rĩt kinh nghiƯm: 
Tiết 4 - 5
Ngày soạn: 26/ 08 / 2008
Gi¸o viªn: NguyƠn §×nh Nh©m
	§1.	CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
MỤC TIÊU
Về kiến thức :
Qua bài dạy Gv giúp cho học sinh hiểu định nghĩa cực đại và cực tiểu của hàm so á. 
Đồng thời làm cho học sinh nắm vững hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số .
Về kỹ năng :
Rèn kỹ năng dùng quy tắc thứ nhất để tìm cực trị của hàm số .
Về tư duy :
Hiểu được các định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị từ đó nêu được 2 quy tắc.
Về thái độ :
Tính chuyên cần và tinh thần ham học .
TRỌNG TÂM : Định nghĩa cực đại, cực tiểu và 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số
PHƯƠNG PHÁP : Mở vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh.
CHUẨN BỊ : 
Thực tiễn : Học sinh đã biết lập bảng xét dấu của đạo hàm .
Phương tiện : 
TIẾN TRÌNH LÊN LỚP :
Bài cũ : Xét tính đơn điệu của hàm số 
Bài mới :
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
1. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI – CỰC TIỂU
Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a= -,b=+) và điểm x0(a,b) .
Nếu tồn tại số >0 sao cho f(x) < f(x0) x(x0- ; x0+) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại địa phương tại x0 .
Nếu tồn tại số >0 sao cho f(x) > f(x0) x(x0- ; x0+) và x x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu địa phương tại x0 .
Chú ý :
Cực đại, cực tiểu địa phương gọi tắt là cực đại, cực tiểu . 
x0 : điểm CĐ (điểm CT) của hàm số 
f(x0) : giá trị CĐ (giá trị CT) của hs, Kh là fCĐ (fCT) 
M0(x0;f(x0)) : điểm CĐ (CT) của đồ thị hsố 
Các điểm cực đại, cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số .
Các giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số .
2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Định lý 1 : Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (x0- ; x0+) và có đạo hàm trên khoảng đó (có thể trừ điểm)
 x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x).
 x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x).
Nói vắn tắt : Nếu khi x đi qua đạo hàm đổi dấu thì điểm là một điểm cực trị.
Quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm số 
Tính f’(x)
Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định ;
Lập bảng xét dấu của đạo hàm ;
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
VD : Tìm các điểm cực trị của hàm số
f= x(x2-3)
Giải : Hàm số xác định trên 
f’(x) = 3x2-3= 3(x2-1)
f’(x)= 0 
Ta có bảng xét dấu
x
-
-1
 1
+
f’(x)
 +
0
 -
 0
 +
f(x)
2
 -2
KL : Hsố đạt cực đại tại x= -1, fCĐ = 2 
 đạt cực tiểu tại x = 1, fCT = -2
Trên đồ thị (hình 7), điểm cực đại là A(-1;2) ; điểm cực tiểu là B(1;-2) 
Định lý 2 : cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (x0-h ; x0+h) và f’(x0) = 0 , f’’(x0) 0 thì là điểm cực trị của hàm số Hơn nữa :
Nếu thì là điểm cực tiểu
Nếu thì là điểm cực đại 
Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số 
Tính f’(x) . Giải phương trình f’(x) = 0. 
Gọi xi (i=1,2) là các nghiệm.
Tính f”(x).
Từ dấu f”(xi) suy ra cực trị của điểm xi theo dấu hiệu 2
VD2 : Tìm các điểm cực trị của hàm số
f(x) = 
Giải : Hàm số xác định với mọi xR
f’(x) = x3-4x = x(x2-4) 
f’(x) = 0 
f’’(x) = 3x2 – 4
Ta có f’’(-2) = 8 > 0 x = -2 là điểm CT
 f’’(2) = 8 > 0 x = 2 là điểm CT
 f’’(0) = -4 < 0 x = 0 là điểm CĐ
KL : f(x) đạt CT tại x = 2 ; fCT = f(2) = 2
 f(x) đạt CĐ tại x = 0 ; fCĐ = f(0) = 6
VD3 :Tìm các điểm cực trị của hs f(x) = sin2x
Giải : Hàm số xác định với mọi x R
f’(x) = 2sinxcosx = sin2x
f’(x) = 0 2x = k x = k (k Z)
f’’(x) = 2cos2x
f’’(k) = 2coskx = 
Kết luận:
 x= (m + ), ( m Z ) là các điểm CĐ
 x= m , (m Z) là điểm CT của hàm số.
Quan sát đồ thị của 2 hàm số trong sgk . Hãy chỉ ra điểm cao nhất, điểm thấp nhất của đồ thị hàm số so với những điểm xung quanh ?
x
O
y
x0+h
x0-h
f(x)
x
Giáo viên phát biểu và chứng minh định lý dấu hiệu đủ thứ nhất để hàm số có cực trị.
Lập bảng thể hiện tính chất của cực trị: 
x
x0-h
x0
x0+h
f’(x)
 +
 -
f(x)
CĐ
x
x0-h
x0
x0+h
f’(x)
 -
 +
f(x)
CĐ
Từ định lý 1 , Gv cho hs phát biểu quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số .
Học sinh lên bảng tìm đạo hàm và lập bảng xét dấu kết luận 
Gv minh hoạ bằng đồ thị :
Từ định lý 1 ta thấy, nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) . Nêu ví dụ để chứng tỏ điều ngược lại là không đúng ? 
(Hàm số y= đạt CT tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó)
Gv nêu định lý 2. Từ đó hs rút ra quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm số . 
Hướng dẫn hs viết bằng kí hiệu :
 x0 là điểm CT
 x0 là điểm CĐ
Học sinh lên bảng giải 
Gv minh hoạ bằng đồ thị
Học sinh lên bảng giải 
Gv minh hoạ bằng đồ thị
Củng cố : Giáo viên phân biệt và hướng dẫn cách ghi nhớ hai dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số
Dặn dò : Làm bài tập trong sgk .
Tiết 6
Ngày soạn:27/ 08/ 2008
LUYỆN TẬP TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. MỤC TIÊU
Về kiến thức : Qua tiết dạy giáo viên luyện cho học sinh giải các dạng toán sau :
Aùp dụng dấu hiệu thứ nhất tìm cực trị của hàm số . 
Aùp dụng dấu hiệu thứ hai tìm cực trị của hàm số .
Tìm tham số m để hàm số có cực trị .
Về kỹ năng :
Rèn kỹ năng tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm, dùng quy tắc thứ nhất để tìm cực trị của hàm số .
Về tư duy :
Biết áp dụng các định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị để làm bài tập .
Về thái độ :
Tính chuyên cần và tinh thần ham học .
TRỌNG TÂM : Áp dụng 2 quy tắc để tìm cực trị của hàm số .
PHƯƠNG PHÁP : Mở vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh.
CHUẨN BỊ : 
Thực tiễn :
Phương tiện : 
TIẾN TRÌNH LÊN LỚP :
Bài cũ : Tìm cực trị của hàm số ; y = 
Bài mới :
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
Bài 1 : Áp dụng qui tắc 1 để tìm các điểm cực trị của các hàm số sau :
y = 
y = 
y = 
y = 
y = 
y = biết rằng 
Giải : c) y = Txđ D = R\{0}
y’ = 1 - = 
y’ = 0 x2 – 1 = 0 x = 1
Ta có bảng xét dấu
x
-
-1
 0
 1
+
f’(x)
 +
0
-
-
 0
 +
f(x)
-
-2
-
+
 2
+
KL : Hsố đạt cực đại tại x= -1, fCĐ = -2 
 đạt cực tiểu tại x = 1, fCT = 2
Bài 2 : Aùp dụng dấu hiệu 2 để tìm cực trị của các hàm số sau :
y = 
y = sin2x – x
y = sin2x + cos2x
y = 
y = cosx + cos2x
Bài 3 : Chứng minh rằng hàm số y = - không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực đại tại điểm đó .
Bài 4 : Xác định m để hàm số y = đạt cực đại tại x = 2
Giải : Txđ D = R\{-m}
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi 
Ta có y’ = 
 y’’= 
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi 
m = -3
Bài 5 : Chứng minh rằng hàm số y= luôn có một cực đại và một cực tiểu .
Bài 6 : Tìm a và b để các cực trị của hàm số y= đều là những số dương và x0 = là điểm cực đại .
Giải : 
* Nếu a = 0 : y = -9x+b : Không có cực trị .
* Nếu a 0 : y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 , 
 y’ = 0 
+Với a < 0 thì x1 < x2 : ta có Bxd : 
x
-
+
f’(x)
 +
0
 -
0
 +
f(x)
CĐ
CT
 x0 = là điểm CĐ a=
 fCT là một số dương f>0 (Vì fCĐ > fCT)
 b > 
+Với a > 0 thì x1 > x2 : ta có Bxd : 
x
-
+
f’(x)
 +
0
 -
0
 +
f(x)
CĐ
CT
 x0 = là điểm CĐ a=
 fCT là một số dương f > 0 
 (Vì fCĐ > fCT)
 b > 
Gv cho hs nhắc lại quy tắc I tìm cực trị của hàm số :
Quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm số 
Tính f’(x)
Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định ;
Lập bảng xét dấu của đạo hàm ;
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Giáo viên gợi ý, gọi học sinh lên bảng và hướng dẫn học sinh giải.
Giáo viên gợi ý, gọi học sinh lên bảng và hướng dẫn học sinh giải.
Qua bài tập này, Gv lưu ý với học sinh rằng không phải lúc nào cực đại cũng lớn hơn cực tiểu .
Gv cho hs nhắc lại quy tắc II tìm cực trị của hàm số :
Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số 
Tính f’(x) . Giải phương trình f’(x)=0. 
Gọi xi (i=1,2) là các nghiệm.
Tính f”(x).
Từ dấu f”(xi) suy ra cực trị của điểm xi theo dấu hiệu 2
Hướng dẫn hs khử dấu giá trị tuyệt đối và từ đó c/m hàm số không có đạo hàm tại x = 0 
Hướng dẫn học sinh đặt điều kiện dựa vào dấu hiệu 2 : Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi 
Gọi học sinh lên bảng tính y’ và y’’ rồi giải . 
ĐS : m = -3
Hướng dẫn : Xét dấu y’
Hướng dẫn : Đây là hàm số bậc mấy? Xét 2 t/h : a = 0 và a 0
Nếu a 0 : tính y’ = 5a2x2 + 4ax – 9
y’ = 0 
So sánh x1 và x2 để lập bảng xét dấu ?
Hd : Lập hiệu x1 – x2 ?
Suy ra x1 < x2 khi a < 0 
 x1 > x2 khi a > 0
Hs lập bảng xét dấu điểm cực đại? a ? 
Tương tự trường hợp a < 0 : hs làm tiếp .
Cách 2 : Dùng dấu hiệu 2 :
Hàm số nhận x0 = là điểm cực đại và cực trị đều là những số dương 
 và 
Củng cố : Gợi ý , hướng dẫn học sinh giải các bài còn lại trong SGK và hướng dẫn học sinh cách lựa chọn dấu hiệu khi giải toán.
 Làm các bài tập cịn lại và bt sbt .