Kiểm tra chất lượng ôn thi đại học - Lần 1 - Môn Toán

SỞ GD – ðT NGHỆ AN 
TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU 1 
KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC - LẦN 1 - 2011 
MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút; không kể giao ñề 
Phần chung cho tất cả các thí sinh:( 7 ñiểm) 
Câu 1: (2 ñiểm): Cho hàm số y = 
1
2
+
+
x
x
1- Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số. 
2- Gọi I là giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận, ∆ là một tiếp tuyến bất kỳ của ñồ thị (C). d là 
khoảng cách từ I ñến ∆ . Tìm giá trị lớn nhất của d. 
Câu 2: ( 2 ñiểm): 1. Giải phương trình: 4cosx- 2cos2x- cos4x = 1 
 2. Giải phương trình: log228x
3 – 9log24x
2 – 36log4 2x = 0 
Câu 3: ( 1 ðiểm): Tính tích phân I = ∫
Π
+
4
0
21 cos
4sin
x
x
Câu 4: ( 1 ñiểm): Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng 2a, khoảng cách giữa AB 
và SC = a 3 . 
 Tính thể tích của khối chóp 
Câu 5: (1 ñiểm): Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c = 1 hãy chứng minh: 
ab c
ab
+
+
bc a
bc
+
+
ca b
ca
+
≤
2
3
Phần riêng: (3 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A- Theo chương trình chuẩn 
Câu 6A: ( 2 ñiểm) : 1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho tam giác ABC có phương trình các cạnh 
AB, BC lần lượt là: 5x + 2y + 7 = 0 ; x - 2y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A có phương trình là x 
+ y – 1 = 0 (d). Tìm toạ ñộ ñỉnh C của tam giác ABC. 
 2. Trong không gian Oxyz cho ñiểm A(- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2). Viết phương 
trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp (Oyz) và tiếp xúc với mp (Oxy). 
Câu 7A: (1 ñiểm): Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6. có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác 
nhau trong ñó hai chữ số 2, 3 không ñứng cạnh nhau. 
B- Theo chương trình nâng cao: 
Câu 6B: ( 2 ñiểm): 1. Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích S = 
2
3
, toạ 
ñộ các ñỉnh A (2;-3), B(3; -2) và trọng tâm G của tam giác nằm trên ñường thẳng có phương trình 
3x – y – 8 = 0. Tìm toạ ñộ ñỉnh C. 
 2. Trong không gian Oxyz cho ñiểm A (- 1; -1; 4), B( 1; -1; 2). Viết phương 
trình mặt cầu ñi qua A,B có tâm nằm trên mp ( Oyz) và tiếp xúc với mp ( Oxy) 
Câu 7B: ( 1 ñiểm): Giải hệ phương trình 




+ = −
− =
x y x y
x y
2 4
9
2 2
33
 _ Hết_ 
ðÁP ÁN VÀ BIỂU ðIỂM MÔN TOÁN 
ðỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ðẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2011 
Câu Nội dung ðiểm 
Câu1 
1.1ñ 
khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y=
2
1
+
+
x
x 
a . tập xác ñịnh D = R \ {-1} 
b . Sự biến thiên 
 y’ = 
( )21
1
+
−
x
 < 0 ∀ x ≠ -1 . hàm số nghịch biến trên mỗi 
khoảng(-∞ ; -1 ) và ( -1 ; +∞ ) 
lim 1 ;=
→+∞
y
x
 lim 1=
→−∞
y
x
 ðồ thị có tiệm cận ngang là ñường thẳng có phương 
trình y = 1 
lim ;
1
∞+=
+→−
y
x
∞−=
−→−
y
x 1
lim ñồ thị có tiệm cận ñứng là ñường thẳng x = -1 
 x -∞ -1 
+∞ 
 bảng biến thiên thiên y
, - - 
 +∞ 
 y 1 1 
 -∞ 
ðồ thị : cắt trục ox tại (-2 ; 0 ) y 
 cắt trục oy tại (0 ; 2 ) 
 nhận I ( -1 : 1 ) làm tâm ñối xứng 
 0 
x 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2 .1ñ 
Câu 2 
1 .1ñ 
2 .1ñ 
Câu 3 
1ñ 
( )21
1
+
−
=′
x
y ; Giao ñiểm của hai ñường tiệm cận là I(-1 ;1) 
 Giả sử M ( 0x ; 
1
2
0 +
+
x
xo ) ∈ ( C ) . 
Phương trình tiếp tuyến ∆ với ñồ thi hàm số tại M là : 
 =y
( )
( )
1
2
1
1
0
0
02
0
+
+
+−
+
−
x
x
xx
x
 ( ) ( )( )211 000
2
0 ++−−++⇔ xxxyxx =0 
Khoảng cách từ I ñến∆ là d =
( )40
0
11
12
++
+
x
x
=
( )
( )202
0
1
1
1
2
++
+
x
x
≤ 2 
Vậy GTLN của d bằng 2 khi 0x = 0 hoặc -2 
1 Giải phương trình 4cosx -2cos2x –cos4x = 0 
 ⇔ 4cosx -2 (2cos2x -1 ) –(1- 2 sin22x ) =1 
 ⇔ 4cosx – 4cos2x +2 -1 +8 sin2xcos2x -1 =0 
 ⇔ 4cosx ( 1-cosx + 2sin2x cosx ) =0 
 ⇔ cosx = 0 hoặc 1-cosx +2sin2xcosx = 0 
 ⇔ ππ kx +=
2
 hoặc cosx ( 2sin2x -1 ) +1=0 
 ⇔ Cos3x + cosx =2 
 ⇔ 



=
=
1
13
xco
xsco
 ⇔ cosx =1⇔ x = k2π 
 vậy phương trình có nghiệm ππ kx +=
2
 ; x = k2π 
Giải phương trình : 02log364log98log 4
2
2
32
2 =−− xxx (1 ) 
 ðiều kiện x > o 
 (1 ) ⇔ ( ) ( ) ( ) 0log118log229log33 22
2
2 =+−+−+ xxx 
 ⇔ 027log18log9 2
2
2 =−− xx 
 ⇔ log2x = -1 hoặc log2x =3 ⇔ x = 1/2 hoặc x=8 
Tính tích phân 
 I = dx
x
x
∫ +
4
0
2cos1
4sin
π
 = 
( )
dx
xsco
xscox
∫ +
−4
0
2
2
1
122sin2
π
ñặt t =cos2x suy ra dt = -sin2xdx ; x =0 ⇒ t = 1 ; x = 
4
π ⇒ t = ½ 
0,25 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu 4 
 1ñ 
Câu 5 
 1ñ 
I = - ( )dt
t
t
∫ +
−2
1
1 1
122 = ( )[ ]
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1ln64
1
6
4
1
24
+−=





+
−=
+
−
∫∫ ttdttdtt
t
= 2 - 6ln
3
4 
 S 
 M 
 A D 
 I O J 
 B C 
 Xác ñịnh khoảng cách giữa AB và SC 
Gọi I,J lần lượt là trung ñiểm của AB,DC 
AB// DC nên AB// (SDC) ⇒ khoảng cách giữa AB và mp (SCD) là 
khoảng cách giữa AB và SC . Ta có IJ⊥CD , SJ⊥CD (v ì S.ABCD 
là hình chóp ñều ) ⇒ CD ⊥ ( SI J ) (1) 
Trong mp(SI J ) kẻ IM ⊥SJ (2 ) , từ ( 1) ⇒ IM ⊥CD (3) 
Từ (2) ,(3) ⇒ IM ⊥ (SCD ) ⇒ IM = 3a 
Gọi O là giao ñiểm của AC và BD ⇒SO là ñường cao của hình chóp 
 Thể tích của hình chóp V = Bh
3
1 ,trong ñó B =4a2 , h =SO 
Tính SO . Trong tam giác vuông IM J (vuông tại M ) có I M = 3a , 
 I J = 2a , Gọi α là góc IJM ta có sinα =
2
3
2
3
==
a
a
JI
IM
⇒ α =600 
⇒Tam giác SIJ là tam giác ñều cạnh 2a ⇒SO = 3a 
 Thể tích hình chóp V = 
3
4
3.4
3
1 32 aaa = 
Do a+b+c =1 ⇒ab +c = ab + c ( a+b+c ) ⇔ ab +c = (a + c) (b +c ) 
⇒ 





+
+
+
≤
++
=
+ cb
b
ca
a
cb
b
ca
a
cab
ab
2
1
. (1 ) 
Tương tự ta có : 






+
+
+
≤
++
=
+ ac
c
ab
b
ac
c
ab
b
abc
bc
2
1
. ( 2 ) 






+
+
+
≤
++
=
+ ba
a
bc
c
ba
a
bc
c
bca
ca
2
1
. ( 3 ) 
Từ (1) ,(2) ,(3) suy ra 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu 
6A 
1 . 1ñ 
2 . 1ñ 
Câu 
7A 
Câu6
B 
1. 1ñ 
+
+ cab
ab
abc
bc
+
+
bca
ca
+
≤ 
2
3 . Dấu bằng xảy ra khi a=b=c =
3
1 
 Toạ ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ :



=−+
=++
01
0725
yx
yx
 ⇒A (-3 ; 4 ) 
Toạ ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ :



=−−
=++
012
0725
yx
yx
 ⇒B (-1;-1) 
Gọi D là ñiểm ñối xứng của B qua ñường phân giác góc A ⇒ D thuộc 
AC , ta tính ñược toạ ñộ ñiểm D (2 ;2 ) 
Phương trình ñường thẳng AC chính là phương trình ñường thẳng ñi 
qua A (-3; 4) ; D(2 ;2) . Phương trình là : 2x +5y -14 =0 
Toạ ñộ ñiểm C là nghiệm của hệ 



=−−
=−+
012
01452
yx
yx
 ⇒ C (
3
4
;
3
11 ) 
Viết phương trình mặt cầu ñi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm 
trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy) . 
Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ ñộ I (0;b;c) 
Vì mặt cầu ñi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có 
 IA = IB = d(I , oxy ) ⇔ 1+(b+1)2 +(c-4)2=1+(b+1)2 +(c-2)2 = c2 
⇒ c = 3 ; b =-1 7± 
Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là : 
 ( ) ( ) 9371 222 =−++++ zyx hoặc ( ) ( ) 9371 222 =−+−++ zyx 
Có 5! = 120 cách chọn số có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên . 
Ta tìm các số có 5 chữ số khác nhau mà 2 ,3 ñứng cạnh nhau . 
Nếu xếp hai chữ số 2 ,3 vào hai ô liền nhau (2 ñứng trước 3) xem như 
1 ô , ba chữ số 4,5,6 vào ba ô còn lại . như thế có 4 cách chọn vị trí 
cho cặp số 2,3 ; có 3! Cách chọn vị trí cho 3 chữ số còn lại . 
Vậy có 4 .3! = 24 cách chọn số gồm 5 chữ số khác nhau mà 2,3 ñứng 
cạnh nhau ( 2 ñứng trước 3 ). 
 Nếu 3 ñứng trước 2 cũng làm tương tự ta ñược 24 cách lập . 
Các số thoả mãn yêu cầu bài toán là 120-48=72 số 
Gọi I là trung ñiểm của AB thì I (5/2 ;-5/2) ; G (x0; y0 )là trọng tâm 
tam giác ABC ; S , S1 lần lượt là diện tích tam giác ABC , GAB ta có 
 S1= 
3
1 S = 
2
1
2
3
.
3
1
= 
Ta c ó AB = 22 11 + = 2 
ðường cao GH của tam giác AGB có ñộ dài GH=
2
12 1 =
AB
S
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,5 
0,25 
0,5 
0,5 
0,25 
2. 1 ñ 
Câu 
7B 
ðường thẳng AB có phương trình x - y – 5 = 0 (d ) 
Lại có GH = d (G,d ) =
2
1
2
50 0 =
−x − y
⇔ 50 0x − y − =1 (1) 
G nằm trên ñường thẳng có phương trình 3x-y -8 =0 nên ta có 
 3x0 –y0 – 8 =0 (2) .T ừ (1),(2) suy ra ( x0, y0 ) = ( -1;-5) hoặc (2;-2) 
 3OG = OA + OB + OC = 2OI + OC ................. 
 Suy ra C(-2;-10) hoặc C(1 ;1 ) 
Viết phương trình mặt cầu ñi qua A (-1;-1;4 ) ; B (1;-1;2) có tâm nằm 
trên mp(oyz) và tiếp xúc với mp(oxy) . 
Gọi I là tâm mặt cầu , vì I thuộc (oyz) nên I có toạ ñộ I (0;b;c) 
Vì mặt cầu ñi qua A ,B và tiếp xúc với mp(oxy) nên ta có 
 IA = IB = d(I , oxy ) ⇔ 1+(b+1)2 +(c-4)2=1+(b+1)2 +(c-2)2 = c2 
⇒ c = 3 ; b =-1 ± 7 
Vậy có hai mặt cầu thoả mãn bài toán là : 
 ( ) ( )1 7 3 9222x + y+ + + z − = hoặc ( ) ( )1 7 3 9222x + y+ − + z − = 
Giải hệ 




+ = −
− =
x y x y
x y
2 4
9
2 2
33
⇔




− = − −
= +
x x y y
x y
3 3 6 12
9
2 2
33
⇒x3 – 3x2 +3x = y3 +6y2 +12y +9 ⇔ (x-1)3 = (y +2)3 ⇒x =y + 3 
Vậy hệ ñã cho ⇔



= −
=
⇔



= +
= +
2
1
3
93 3
y
x
x y
x y
hoặc 



= −
=
1
2
y
x
Mọi cách làm khác ñúng ñều cho ñiểm theo phần tương ứng 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
0,25 
0,5 
0,5