Kiểm tra kiến thức Toán học lớp 12 - Ôn thi tốt nghiệp THPT & Đại học

og 3 3x   
b) log
3
4x  
c) log
3
3x  
d) log 5 2x  
e) log
1
3
3 3
x   
g) log
1
5
4
x  
Đáp số: 
Đáp số: a) 
1
27
 b) 9 c) 
3
3 d) 5 e) 3 g) 
1
625
Câu168(QID: 607. Câu hỏi ngắn) 
Tìm x biết: 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 36 
a) log 6 6 6 6
1
2log 3 log 5 3log 2
2
x    
b) log 5 5 1 5
5
1
2log 3 log 27 3log 2
3
x    
c) log 3 1 33 3
9
1
2log 3 log 625 2log 7
2
x    
d) log
4 2
1 1 9 3
3 3
1
2log log 2log
2
x a b a  
Đáp số: 
Đáp số: a) 
72
5
 b) 192 c) 189 5 d) b 
Câu169(QID: 608. Câu hỏi ngắn) 
Biết lg5 = a. Tính: 
 lg125000 ; lg0,00625 ; 
5
1
log 1000
 ; 
Đáp số: 
Đáp số: 3 + 3a ; 4a – 5 ; 
6
a
Câu170(QID: 609. Câu hỏi ngắn) 
a) Biết log 214 a , tính log 56 32 
b) Biết log 3 5 a , tính log 75 45 
c) Biết log
5
1
6
a , tính log 1,2 30 
d) Biết log
2 3
1
5
a , tính lg40 
Đáp số: 
Đáp số: a) 
5
2a 
 b) 
2
1 2
a
a


 c) 
2
2 4
a
a


 d) 
3 6
3 2
a
a


Câu171(QID: 610. Câu hỏi ngắn) 
a) Tính log 30 8 biết log 30 3 a, log 30 5  b 
b) Tính log 54168 biết log 712  a, log 12 24  b 
c) Tính log 3
5
27
25
 biết log 5 3  a 
d) Tính log 4914 biết log 28 98  a 
e) Tính log 21 x biết log 3 x  a, log 7 x b 
Đáp số: 
Đáp số: a)  3 1 a b  b) 
 
2 1
8 5
a
a b


 c) 
3 2
1
a
a


 d) 
1
4 2
a
a


 e) 
ab
a b
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 37 
Câu172(QID: 611. Câu hỏi ngắn) 
a) Biết log 4ab a  , tính log
3
ab
a
b
b) Biết log  2 3 1a a b  , tính log 2 3
5 3 2
3a b
a b
ab 
Đáp số: 
Đáp số: a) 
17
6
 b) 
7
15
Câu173(QID: 612. Câu hỏi ngắn) 
a) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: 
 lg      2008! log 2008 lg2007 lg !n   . 
b) Tìm số tự nhiên n 2 thỏa ln      2 ! ln 1 ! 2ln 2 2ln !n n n     . 
c) Tìm số tự nhiên n 1 thỏa mãn: 
 lg1 + lg4 + lg9 ++ lg n
2 2 (lg1 + lg2 ++ lg(n 1 )) = 6. 
Đáp số: 
Đáp số: a) n = 2006 b) n = 2 c) n = 1000 
Câu174(QID: 613. Câu hỏi ngắn) 
So sánh các số sau: 
a) log 2 8 và log 2 9 
b) log 3 6

 và log 3
29
5

c) log 5
12
5
 và log 10
5
12
d) log 5
4
2 và log 2
5
1
6
Đáp số: 
Đáp số: 
a) log 2 8  log 2 9 b) log 3 6

  log 3
29
5

c) log 5
12
5
  log 10
5
12
 d) log 5
4
2  log 2
5
1
6
Câu175(QID: 614. Câu hỏi ngắn) 
So sánh các số sau: 
a) log 8 7 và log 1
8
1
7
b) log 9 7 và log 19 20 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 38 
c) log 1
4
2
7
 và log 2
7
1
4
d) log 2
3
1
3
 và log 3
2
27
7
Đáp số: 
Đáp số: 
a) log 8 7 = log 1
8
1
7
 b) log 9 7  log 19 20 
c) log 1
4
2
7
  log 2
7
1
4
 d) log 2
3
1
3
  log 3
2
27
7
Câu176(QID: 615. Câu hỏi ngắn) 
So sánh: 
a) log 3 2 và log 2 3 
b) log 4 5 và log 6 5 
c) 30,5log 9 và log 0,30,34 
d) log 0,2 0,3 và log 0,3 0,2 
Đáp số: 
Đáp số: 
a) log 3 2  log 2 3 b) log 4 5  log 6 5 
c) 30,5log 9  log 0,30,34 d) log 0,2 0,3  log 0,3 0,2 
Câu177(QID: 616. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a) log  3log 2
1
0
2
 
b) 
2 5
1 1
2
log log 
  
c) log 917 .log 1
7
9 .log 2
1
4
7
 
d) 2log 1218  log 615 log 615 .log 1218 1 
Đáp số: 
Giải: 
Câu178(QID: 617. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh : 
a) 2
2
1
sin cos 22 2x x

  
b) 
2 2sin cos2 2 2 2x x  
Đáp số: 
Giải: 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 39 
Câu179(QID: 618. Câu hỏi ngắn) 
a) Biết log 12 48 a, log 24 54  b. Chứng minh rằng: ab + 5a + b =11. 
b) Cho a, b, c dương và khác 1. Chứng minh: 
 log a b .log b c .log 1c a  và log a b  log 2c b  log a b .log c b 
khi ac = b
2
. 
Đáp số: 
Giải: 
Câu180(QID: 619. Câu hỏi ngắn) 
Cho a, b, c là các số dương khác 1. Chứng minh các đẳng thức sau đây: 
a) 
log logc cb aa b 
b) 
log log
1 log log 1 log log
a c
a a c c
b b
b c a b

   
Đáp số: 
Giải: 
Câu181(QID: 620. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh rằng nếu a, b, c, x là các số dương khác 1 thì: 
a) log  ax bx = 
log log
1 log
a a
a
b x
x


b) 
 
2
11 1 1
...
log log log 2logka aa a
k k
x x x x

   
Đáp số: 
Giải: 
Câu182(QID: 621. Câu hỏi ngắn) 
Với a, b, c và x là các số dương khác 1. Chứng minh rằng: 
a) 
log log
log log
a b
a b
x x
y y
 với a, b, x, y 0 , y 1 
b) log
log .log .log
log log .log log .log
log
a b c
a b b c c a
abc
x x x
x x x x x x
x
  
Đáp số: 
Giải: 
Câu183(QID: 622. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh rằng nếu  
log 2a bac c thì với N 0 , các số log a N , log b N , log c N là ba số hạng liên 
tiếp của một cấp số cộng. 
Đáp số: 
Giải: 
Câu184(QID: 623. Câu hỏi ngắn) 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 40 
Chứng minh rằng log log ...
n n n
n n
k
n k
 
   
 
 
 với 
n và 1n  . 
Đáp số: 
Giải: 
Câu185(QID: 624. Câu hỏi ngắn) 
a) Tính tổng 
     2 3
1 1 1
...
log ! log ! log !nn n n
   . 
b) Tính tổng vô hạn S = lg2 + lg 842 lg 2 lg 2 ...   
Đáp số: 
Giải: a) 1 b) S = 2lg2 
Câu186(QID: 625. Câu hỏi ngắn) 
a) Cho hai số dương a, b sao cho log 9 a = log 12 b = log 16 (a + b). Tính 
a
b
b) Cho ab0 và 2lg(a b) = lga + lgb +1. Tính tỉ số 
a
b 
Đáp số: 
Giải: a) 
5 1
2
a
b

 b) 6 35
a
b
 
Câu187(QID: 626. Câu hỏi ngắn) 
Tính các giới hạn sau: 
a) 
2
0
1
lim
x
x
e
x

b) 
3
0
1
lim
x
x
e
x



c) 
3 2
0
lim
x x
x
e e
x

Đáp số: 
Đáp số: a) 2. b) 
1
3
 . c) 1. 
Câu188(QID: 627. Câu hỏi ngắn) 
Tính các giới hạn sau: 
a) 
 
0
ln 3 1
lim
x
x
x

b) 
   
0
ln 2 1 ln 3 1
lim
x
x x
x
  
c) 
 
0
ln 2 1
lim
sin 2x
x
x

KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 41 
d) 
 2
0
ln 3 1
lim
x
x
x

Đáp số: 
Đáp số: a) 3. b) 1 . c) 
2
2
. d) 0. 
Câu189(QID: 628. Câu hỏi ngắn) 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 3
x
. 
Đáp số: 
Giải: 
+ Tập xác định:  . 
+ Chiều biến thiên: Vì cơ số a = 3 1 nên hàm số tăng trên  . 
 lim 3
x
x
  ; lim 3 0
x
x
 ; 
Đồ thị nhận Ox làm tiệm cận ngang khi x . 
Hàm số đồng bến trong toàn bộ khoảng  ;  
+ Đồ thị : tự vẽ. 
Câu190(QID: 629. Câu hỏi ngắn) 
Vẽ đồ thị các hàm số: 
a) y = 2
x
b) y =  2
x
Đáp số: 
Giải: 
a) Xét hàm số y = 2
x
+ Hàm số y = 2
x
 = 
1
2
x
 
 
 
 giảm trên tập  vì cơ số a =  
1
0;1
2
 . 
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm  1;2 ,  0;1 , 
1
1;
2
 
 
 
+ Vẽ đồ thị: tự vẽ. 
b) Xét hàm số y =  2
x
+Hàm số y =  2
x
 tăng trên tập  vì cơ số a =  2 1;  . 
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm 
1
2;
2
 
 
 
,  0;1 ,  1; 2 ,  2;2 
+ Vẽ đồ thị: tự vẽ. 
Câu191(QID: 630. Câu hỏi ngắn) 
Vẽ đồ thị các hàm số sau: 
a) y = log 1
2
x 
b) y = log
2
x 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 42 
Đáp số: 
Giải: 
a) Xét hàm số y = log 1
2
x 
+ Hàm số giảm trên  0; vì cơ số  
1
0;1
2
 . 
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm 
1
;1
2
 
 
 
,  1;0 ,  2; 1 . 
+ Đồ thị: tự vẽ. 
b) Xét hàm số y = log
2
x 
+ Hàm số tăng trên  0; vì cơ số 2 1 . 
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm 
1
; 2
2
 
 
 
,  1;0 ,  2; 1 ,  2;1 
+ Đồ thị: tự vẽ. 
Câu192(QID: 631. Câu hỏi ngắn) 
Vẽ đồ thị các hàm số sau đây trên cùng một hệ trục tọa độ: 
a) y = x
3
b) y = x 
c) y = x
2
Đáp số: 
Giải: 
a) Xét hàm số y = x
3
+ Tập xác định:  
+ 
2' 3 0y x  , x  nên đồ thị hàm số đồng biến trên toàn khoảng  . 
b) Xét hàm số y = x 
+ Tập xác định:  0; 
+ 
1
' 0
2
y
x
  ,  0;x   nên hàm số đồng biến trên khoảng  0; 
c) Xét hàm số y = x
2
+ Tập xác định: 
* 
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; và đồng biến trên khoảng  ;0 
Câu193(QID: 632. Câu hỏi ngắn) 
Vẽ đồ thị các hàm số sau: 
a) y = e
x
b) y = e
2x
c) y = 2
1x
Đáp số: 
Giải: 
a) Xét hàm số y = e
x
+ Ta vẽ đồ thị của hàm số y = e
x
 trước . 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 43 
Hàm số y = e
x
 tăng trên  , đồ thị của hàm số này đi qua các điểm  0;1 ,  1;e , 
1
1;
e
 
 
 
. 
+ Hàm số y = e
x
 có tập xác định  , đồ thị hàm số y = e
x
 được suy ra từ đồ thị hàm số y = e
x
bằng cách giữ lại phần ứng với x  0 và lấy đối xứng phần đó qua trục tung. 
b) Hàm số y = e
2x
 là hàm số mũ có tập xác định  . 
+ 
2' 2 0xy e   , x  nên hàm số giảm trên  . 
+ Ta vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = e
2x
, từ đó suy ra đồ thị hàm số y = e
2x
 bằng cách lấy đối 
xứng qua trục hoành. 
c) Hàm số y = 2
1x
 là hàm số mũ có tập xác định  . 
+ Hàm số tăng trên  
+ Đồ thị hàm số y = 2
1x
 được suy ra từ đồ thị hàm số y = 2
x
 bằng cách tịnh tiến qua trái theo 
phương song song với trục hoành 2 đơn vị. 
Câu194(QID: 633. Câu hỏi ngắn) 
Cho hàm số y = 2
x
. 
a) Vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 
b) Tìm x để đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 4. 
c) Tìm x để đồ thị hàm số nằm phía dưới đường thẳng y = 
1
2
. 
d) Bằng đồ thị hãy giải bất phương trình 
1 3
1
2 2
x
x
 
   
 
. 
Đáp số: 
Giải: 
a) Học sinh tự vẽ. 
b) x 2  . 
c) x 1 . 
d) 2 0x   . 
Câu195(QID: 634. Câu hỏi ngắn) 
Cho hàm số y = log 1
3
x có đồ thị ( C ). 
a) Vẽ đồ thị ( C ), từ đó suy ra đồ thị hàm số y = log 1
3
(x + 1). 
b) Bằng đồ thị hãy giải bất phương trình log 1
3
(x + 1) x
1
3
 . 
Đáp số: 
Giải: 
a) Đồ thị hàm số y = log 1
3
(x + 1) được suy ra từ đồ thị ( C ) của hàm số y = log 1
3
x bằng cách tịnh 
tiến ( C ) qua trái 1 đơn vị. 
b) x  
2
; 1;
3
 
     
 
. 
Câu196(QID: 635. Câu hỏi ngắn) 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 44 
Vẽ đồ thị các hàm số sau: 
a) y = log 2 x . 
b) y = 3log x . 
c) y = log 1
3
(x2). 
Đáp số: 
Giải: 
a) Vì y = log 2 x là hàm số chẵn và khi x  0 2 2log logy x x   do đó đồ thị hàm số y = 
log 2 x gồm hai phần: 
+ Phần 1: đồ thị của hàm số y = log 2 x trên khoảng  0; 
+ Phần 2: lấy đối xứng phần 1 qua Oy. 
b) Ta có y = 3log x = 3log x khi 3log 0x  ( A ) 
 y = 3log x = 3log x khi 3log 0x  ( B ) 
Do đó đồ thị của hàm số y = 3log x gồm hai phần: 
+ Phần ( A ): Phần đồ thị của hàm số y = log 3 x nằm trên trục hoành  1x  
+ Phần ( B ) : Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị của hàm số y = log 3 x nằm phía dưới trục hoành 
 0 1x  
c) Hàm số y = log 1
3
(x2) xác định khi x 2 . 
Ta vẽ đồ thị hàm số y = log 1
3
x rồi tịnh tiến đồ thị đó sang phải 2 đơn vị tức là tịnh tiến theo 
 2;0OI 

 ta được đồ thị ( C ) của hàm số y = log 1
3
(x2). Do đó ( C ) nhận đường thẳng x = 2 làm 
đường tiệm cận. 
Câu197(QID: 636. Câu hỏi ngắn) 
Cho số thực a 0 và a 1 . Chứng minh rằng: 
a) Đồ thị các hàm số y = log a x và y = log 1
a
x đối xứng nhau qua trục hoành. 
b) Đồ thị hàm số y = a
1x
 nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng. 
Đáp số: 
Giải: 
a)Lấy M(x 0 ;y 0 ) nằm trên đồ thị hàm số y = log a x. Khi đó y 0 log a x 0 . 
Gọi M‟ là điểm đối xứng của M qua trục hoành. Như thế M‟(x 0 ;y 0 ). 
Ta có log 1
a
x 0 = log a x 0 =y 0 . Do đó điểm M‟(x 0 ;y 0 ) nằm trên đồ thị hàm số 
y =  log a x hay y = log 1
a
x. 
Ngược lại, nếu lấy M trên đồ thị hàm số y = log 1
a
x và gọi M‟ là điểm đối xứng của nó qua trục 
hoành, hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được rằng M‟ nằm trên đồ thị hàm số y = log a x. 
Vậy đồ thị các hàm số y = log a x và y = log 1
a
x đối xứng nhau qua Ox. 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 45 
b)Gọi M(x 0 ;y 0 ) là điểm nằm trên đồ thị hàm số y = a
1x
. Khi đó y 0 = a
0 1x  . 
Gọi M‟ là điểm đối xứng của M qua đường thẳng x = 1 suy ra M‟(x 0 2 ; y 0 ). 
Ta có a
 0 2 1x   a 0
1x 
 a 0
1x 
 y 0 
Suy ra M‟ nằm trên đồ thị hàm số y = a
1x
. Vậy đồ thị hàm số y = a
1x
 nhận x = 1 làm trục đối 
xứng. 
Câu198(QID: 637. Câu hỏi ngắn) 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) y = e
22x x
b) y = xe
1
3
x x
c) y = 
2
2
x x
x x
e e
e e


. 
d) y = 2
x
.e
osxc
e) y = 
2
3
1
x
x x 
. 
g) y = cos .x e
cot x
Đáp số: 
Đáp số: 
a) y‟ = (2 + 2x)e
22x x
. 
b) y‟ = 
1
31
2 3
x xx x
e
 
   
 
. 
c) y‟ = 
 
3
2
2x
2
e
x
x
e
e


. 
d) y‟ =  cos2 ln 2 sinx xe x . 
e) y‟ = 
   
 
2
2
2
3 .ln 3. 1 2 1 3
1
x xx x x
x x
   
 
g) y‟ = 
cot
2
cos
sin
sin
xxx e
x
 
  
 
Câu199(QID: 638. Câu hỏi ngắn) 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) y = ln(2x
2
+ x + 3) 
b) y = log 2 ( cos x ) 
c) y = (2x 1 )ln(3x
2 x) 
d) y = log 1
2
(x
3 cos x ) 
e) y = 
 ln 2 1
2 1
x
x


. 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 46 
g) y = e
x
.ln( cos x ); 
Đáp số: 
Đáp số: 
a) y‟ =
2
4 1
2 3
x
x x

 
b) y‟ = 
t anx
ln 2
 
c) y‟ =  
2
2
2
12 4 1
2ln 3
3
x x
x x
x x
 
 

. 
d) y‟ = 
 
2
3
3 sinx
osx ln 2
x
x c



e) y‟ = 
 
 
2 ln 2 1
2 1 2 1
x
x x
 
 
. 
g) y‟ = e
x
ln( cos x )e
x tan x . 
Câu200(QID: 639. Câu hỏi ngắn) 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 
a) y =  
3
22 1x x  
b) y = 
3 3 23x x x  
c) y = 
3 2sin . cos 2x x 
d) y = 5
1 2
1 2
x
x


e) y =   
2
ln 1x  
g) y = 
23 2 3xe  
Đáp số: 
Đáp số: 
a) y‟ =    
3 1
23 2 1 4 1x x x

   
b) y‟ = 
 
2
2
3 23
3 6 1
3 3
x x
x x x
 
 
. 
c) y‟ = 
 
3 2
2
23
2sin 4 sin
cos cos 2
3 cos 2
x x
x x
x
 . 
d) y‟ = 
 
4
2
5
4
1 2
5 1 2
1 2
x
x
x
 
  
 
e) y‟ = 
 
2 1
2. ln 1
1
x
x

  

g) y‟ = 
 
2
2
2 3
5
2 36
2
3
x
x
xe
e


. 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 47 
Câu201(QID: 640. Câu hỏi ngắn) 
Tìm đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây: 
a) y = e
2 3x x 
, tính y
 3
b) y = ln(3x + 2), tính y
 4
c) y =  2 1x x  e 2x , tính y” 
d) y = x ln(3x + 1), tính y” 
Đáp số: 
Đáp số: 
a) y
 3
 =  8 12x  e   
2 3 22 3 4 12 7x x x x x       e
2 3x x 
. 
b) y
 4
 = 
 
4
81
3 2x


. 
c) y” =  24 12 2x x  e 2x . 
d) y” = 
 
2
3 3
3 1 3 1x x

 
Câu202(QID: 641. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh rằng: 
a) Hàm số y = 
1
1 lnx x 
 thỏa mãn hệ thức  ' ln 1xy y y x  . 
b) Hàm số 
2
2 21 1 ln 1
2 2
x
y x x x x      thỏa mãn hệ thức: 
 2 ' ln 'y xy y  
c) Hàm số   2 1 2008xy x e   thỏa mãn hệ thức: 
  22
2
' 1
1
xxyy e x
x
  

. 
Đáp số: 
Giải: 
a)Với x 0 và 1 ln 0x x   , ta có: 
y‟ = 
 
     
2 2 2
1
11 ln ' 1
1 ln 1 ln 1 ln
x x xx
x x x x x x x
  
    
     
Do đó 
 
2
1
'
1 ln
x
xy
x x

 
 
Và  
1 ln
ln 1 1
1 ln 1 ln
x
y y x
x x x x
 
   
    
 
2
1 1 1
.
1 ln 1 ln 1 ln
x x
x x x x x x
  
  
     
. 
Từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh. 
b)Với mọi x , ta có: 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 48 
y‟ = 
'
2
2
2 2
1
1 1 2
1 . .
2 2 2 1 1
x x
x
x x x
x x x
 
  
 
   
  
2 2 2
2 2
1
1 1
2 2 1 1
x
x x x
x
x x x

 
   
  
2 2 2
2 2
1 1
2 2 1 1
x x x x
x
x x
  
   
 
. 
c) y‟ =    
  
 
2
2 2
2
1 2008
2 2008 1 2 . 1
1
x
x x x
x e
x e e x x e x
x
 
     

  22
2
1
1
xxy e x
x
  

. 
Câu203(QID: 642. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh rằng: 
a) Hàm số f  x = e ax có f    n x  a n e ax ; 
b) Hàm số f  
   
1
1 1 !
n
n
n
x
x

 
 . 
Đáp số: 
Giải: 
a) Ta có: f‟  x  ae ax , vậy khẳng định đúng với n = 1. 
Giả sử khẳng định đúng với n = k, nghĩa là f
   k x  a k e ax . 
Khi đó f
 1k  x  (f  k (x))‟ = (a  k e ax )‟ = a k .a.e ax = a 1k e ax . 
Vậy khẳng định đúng với n = k + 1 và do đó đúng với mọi n. 
b) Với x 0 , ta có f‟  
 
1 1
11
x
x x


  . 
Như thế khẳng định đúng với n = 1. Giả sử khẳng định đúng với n = k, nghĩa là ta có 
 f
   
   
1
1 1 !
k
k
k
k
x
x

 
 
Khi đó: 
 f
   
         
'
1 1 1 1
1
2 1
1 1 ! 1 . 1 ! . 1 !
k k kk
k
k k k
k k k x k
x
x x x
   


     
    
 
 
Như thế khẳng định đúng với n = k + 1 và do đó đúng với mọi n. 
Câu204(QID: 643. Câu hỏi ngắn) 
Chứng minh rằng nếu f  
1
ln
1
x
x


 thì f
     0 1 !n n 
Đáp số: 
Giải: 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 49 
Với x 1 , ta có f      
1
ln 1 ln 1x x x

     , do đó: 
 f‟  
 
   
11 ' 1
1 1
1 1
x
x x
x x

      
 
, 
 f‟‟  
 
       
2 2 2
2
1
1 1 2 1 ! 1
1
x x x
x
 
      

, 
 f‟‟‟          
3 3 3
2 1 1 3 1 ! 1x x x
 
       , 
Bằng quy nạp ta chứng minh được 
 f
         1 1 ! 1
n nn
x n x

    hay f
   
   
 
1 1 !
1
n
n
n
n
x
x
 
 

. 
Vậy f
     0 1 !n n  . 
Câu205(QID: 644. Câu hỏi ngắn) 
Tính các giới hạn sau: 
a) 
4
0
1
lim
3
x
x
e
x



b) 
2
3
0
1
lim
x
x
e
x



Đáp số: 
Đáp số: a) 
4
3
 b) 
2
3
 
Câu206(QID: 645. Câu hỏi ngắn) 
 Tính các giới hạn sau: 
a) 
 
0
ln 3 1
lim
2x
x
x

b) 
   
0
ln 3 1 ln 1
lim
x
x x
x


  
c) 
 
0
ln 4 1
lim
sin
2
x
x
x

KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 50 
d) 
 
2
0
ln 2 1
lim
x
x
x

Đáp số: 
Đáp số: a) 
3
2
 b) 3  c) 8 d)  
Câu207(QID: 646. Câu hỏi ngắn) 
Tính các giới hạn sau đây: 
a) 
3
20
1
lim
1
x
xx
e
e


b) 
0
lim
sin 2
x x
x
e e
x



c)  
0
lim ln 3 ln
x
x x x

    
d) 
 
0
ln 3 1
lim
sin 2 sinx
x
x x

 
Đáp số: 
Đáp số: a) 
3
2
 b) 1 c) 0 d) 3 
Câu208(QID: 647. Câu hỏi ngắn) 
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó? 
a) y = 
2
4
x
e 
 
 
b) y = 
2
2 3
x
 
   
c) y = 
1
3
5 1
x
x  
 
 
d) y = log
3
x 
e) y = log 1

x 
g) y = log
2
3
x. 
Đáp số: 
Đáp số: a) đồng biến b) nghịch biến c) nghịch biến 
 d) đồng biến e) nghịch biến g) nghịch biến 
Câu209(QID: 648. Câu hỏi ngắn) 
Vẽ đồ thị các hàm số sau: 
a) y = 2
x
b) y = 
1
3
x
 
 
 
KIỂM TRA KIẾN THỨC TOÁN HỌC LỚP 12 - ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC. 
 51 
c) y =    
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 22 1 2 1x x x x       
       
Đáp số: 
Đáp số: 
a) Học sinh tự vẽ. 
b) Học sinh tự vẽ. 
c) y =    
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 22 1 2 1x x x x       
      
= 
22 1x  . Học sinh tự vẽ. 
Câu210(QID: 649. Câu hỏi ngắn) 
Vẽ đồ thị các hàm số : 
a) y = e
2x
b) y = 2
x
c) y = log 2 x 
d) y = 2
1x
e) y = 3log x 
g) y = log 2 2x  
Đáp số: 
Đáp số: 
Câu211(QID: 650. Câu hỏi ngắn) 
Bằng đồ thị, hãy giải các bất phương trình sau đây: 
a) 
1
3
2
x
x
 
   
 
b) 4 3 1
x x  
c) 34log 3 5x x  
d)  1
2
6 16
log 1
7 7
x x   
Đáp số: 
Đáp số: 
Câu212(QID: 651. Câu hỏi ngắn) 
a) Chứng minh rằng hàm số y = 
4 4
3
x x 
 nghịch biến trên  . 
b) Chứng minh rằng hàm số y = log  1
3
1x  đồng biến trên tập xác định của nó. 
Đáp số: 
Giải: 
a) 
 ln 4 4 4
' 0
3
x x
y
 
  nên hàm số y = 
4 4
3
x x 
 nghịch biến trên  . 
b)