Lượng giác luyện thi Đại học

Bài 1 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I Các thưc cơ bản và các hệ quả
sin2x+cos2x = 1 4) 1+tan2x = 
x = 5) 1+cot2x =
cotx = 6) x.cotx = 1
II . công thức cộng trừ
sin(a+b) = sina.cosb+cosa.sinb 
sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb
3) cos(a+b) = cosa. cosb – sina.ainb 
4) cos(a-b) = cosa. cosb + sina.ainb
III công thức nhân đôi :
 1) sin2a = 2sina.cosa
 2) cos2a = cos2a-sin2a = 1 – 2sin2a = 2cos2a – 1 
 3) tana= 
IV. Công thức nhân ba :
 sin3a= 3sina-4in3a	
 cos3a = 4cos3a-3cosa 
V . Công thức hạ bậc :
sin3x = 	
cos3a = 
VI. Công thức biểu diễn sinx,cosx,tanx qua t = tan
sinx = 	2)cosx = 3) tanx = 
VII. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cosa + cosb = 2cos . cos	
 cosa - cosb = -2sin . sin
 3)sina + sinb = 2sin . cos	
4)sina - cosb = 2cos .sin
5)tana + tanb = 	
6) tana - tanb = 
 VIII . Công thức biến đổi tích thành tổng 
cosa.cosb = 
sina.sinb = - 
 sina.cosb = 
IX. Công thức liên hệ của các cung góc liên quan đặc biệt
 1.Góc đối :
 2.Góc bù : 
 3.Góc phụ : 
 4.Góc hơn kém :
 X. Công thức bổ sung :
cos+sin = cos() =sin()
cos-sin = cos() =sin()
 1+sin2x =(sinx+cosx)2
 XI.Định lý hàm số cosin :
 a2 =b2+c2-2bc.cosA Suy ra : cosA =
 b2 =a2+c2-2ac.cosB 
 c2 =a2+b2-2ab.cosC
 XII. Định lý hàm số sin:
 === 2R Suy ra :
XIII.Công thức tính diện tích tam giác:
 P= :nửa chu vi tam giác
1)S =a.ha =b.hb =c.hc	
 2) S =a.b.sinC =b.c.sinA =c.a.sinB
3) S = 	4) S =p.r	5) S = 
Bài 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 I.Phương trình lượng giác cơ bản:
 1/Phương trình lượng giác cơ bản: là phương trình sau khi biến đổi và rút gọn có dạng
 sinx = m	 cosx = m 	 
 tanx = m 	 cotx = m
Lưu ý: Phương trình sinx = m , cosx = m chỉ có nghiệm khi
 1/Công thức nghiệm
 1) cosU = cosV ( kZ) 
 2) sinU = sinV 
 3) tanU =tanV U = V +k 	 
 4) cotU =cotV U = V +k
 2/ Công thức nghiệm đặc biệt:
 	1) sinU = 1 U = + k2 
 2) sinU = -1 U = - + k2
 3) cosU = 1 U = k2	 
 4) cosU = -1 U = +k2
 5) sinU = 0 U = k	
 6) cosU = 0 U = + k
 3/ Bài tập :
tan5x.tanx =1
2cos3x+sinx+cosx = 0 (ĐH Huế 99-D)
sin2x+sin2(2x)+sin2(3x) = ( ĐH Huế 98-A)
3-4cos2x = sinx(2sinx+1) (ĐH Cần thơ 98-D)
1+3cosx+cos2x =cos3x+2sinx.sin2x (ĐH Đà Nẵng 98-B)
(1-tanx)(1+sin2x) = 1+tanx 	(ĐHTCKTHN 97)
tanx + cotx =2(sin2x+cos2x) 	(ĐHCTVT 98)
sin3x.cos3x+cos3x.sin3x = sin3(4x) (ĐH NT99-A)
cos4x+sin4x = cos4x 	 	(ĐH Huế 99-RT)
 cos7x + sin2(2x) = cos2(2x) 	(ĐH Hàng hải 98)
 sin6x+cos6x = 2(sin8x+cos8x) (ĐHQGHN99-B)
sinx+sin2x+sin3x = cosx+cos2x+cos3x 	(ĐHNT99)
 cos3x+sin3x= 2(cos5x+sin5x) 	(ĐHQGHN 98-B)
(ĐH BKHN2000-A)
sin3x+cos3x+sin3x.cotx+cos3x.tanx =
 (ĐH kiển trúc HN2000)
1+sinx+cos3x = cosx+sin2x+cos2x (ĐHNT 2000-A)
(2sinx+1)(3cos4x + 2sinx-4) + 4cos2x = 3
 	 (ĐH Hàng hải 2000)
 - 2cosx = 2 
sin2x(cotx+tan2x) = 4cos2x (ĐH Mỏ địa chất 2000)
 cos3x+sin3x = cos2x 	 (ĐH Ykhoa HN 2000)
21) cos3x-sin3x = sinx-cosx (ĐH Đà Nẵng 99)
22) sin4x+cos4(x+) = (ĐH Hàng hải 95)
23) sin(2x+) – 3cos(2x -) = 1+2sinx
24) sin22x- cos28x = sin()
25)+ = 
26) tan2x-tan3x-tan5x = tan2x.tan3x.tan5x
27) 2tanx+cotx =
28) 3sinx + 2cosx = 2+3tanx
29) Tìm x thuộc đoạn [0,14] nghiệm đúng phương trình
 cos3x-4cos2x+3cosx-4 = 0 ( KD-2002)
30) sin23x-cos24x = sin25x-cos26x (KB-2002)
31) sin2(.tan2x-cos2 = 0 (KD-2003)
32) (2cosx-1)(2sinx+cosx) = sin2x – sinx (KD-2004) 
33) cos23x.cos2x –cos2x = 0 (KA-2005)
34) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 0 (KB-2005)
35) (KA-2006)
36) cotx+sinx(1+tanx.tan) = 4 (KB-2006)
37) cos3x+ cos2x– cosx– 1 = 0 (KD–2006)
38) (1+sin2x)sinx + (1 + cos2x).sinx = 1 +sin2x 
 (KA -2007)
39) (KD -2007)
40) (KB -2007)
Bài 3
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
 1/ Dạng
Bậc 2
asin2x + bsinx + c = 0
acos2x + bcosx + c = 0
atan2x + btanx + c = 0
acot2x + bcotx + c = 0
Bậc 3
 asin3x +bsin2x + csinx + d = 0 
 acos3x +bcos2x + ccosx + d = 0 
 atan3x +btan2x + ctanx + d = 0 
 acot3x +bcot2x + c.cotx + d = 0 
2/Phương pháp giải
 Đặt ẩn phụ t = sinx, t =cosx ,t = tanx, t =cotx
3/ Bài tập
2+cos2x = -5sinx
sin3x+2cos2x-2 = 0 	 (ĐH Đà Nẵng 97)
2+cosx = 2tan 	 (Học viện ngân hàng98)
cosx = cos2() (ĐH hàng hải97)
tan2x + sin2x = cotx (ĐH Thương mại 99)
2 + 3tanx – sin2x = 0 (ĐH Thủy lợi 99)
=1 (ĐH Mỏ địa chất 97)
3cos4x – 2cos2(3x) = 1 (ĐH Đà nẵng 98)
2sin3x + cos2x = sinx (ĐH Huế 98)
10)4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) (ĐH Luật99)
11)3(tanx + cotx) = 2(2+sin2x) (ĐH Cần Thơ 99-D)
12)cho phương trình :sin4x + cos4x - sin2(2x) + m = 0 
a.Giải phương trình khi m= 2 
b.tìm m để phương trình có nghiệm 
 (Trường Hàng không VN 97 
 13) 3cos6(2x) + sin4(2x) + cos4x = 0 (ĐH CT 99)
 14) cos4x + 6sinx.cosx –1 = 0 ( ĐH QG TP.HCM 98)
 15) 1 + 3tanx = 2sin2x (ĐH QGHN 2000-D)
 16) 4cos3x + 3 sin2x = 8cosx (ĐH SPHN 2000 B+D)
 17) sinsinx - cossin2x + 1 = 2cos2() 
	 (ĐHSP TP.HCM 2000)
 18)
 (ĐH luật HN 2000)
 19) sin4x = tanx (ĐH Y khoa HN 2000) 
 20) sin3x + sin2x = 5sinx (ĐH Y Hải phòng 2000) 
 22) 2cos2x – 8cosx + 7 = (ĐH NNgữ HN 2000)
 23) (ĐH Thủy lợi 2000)
 24) Tìm ngiệm thuộc khoảng (0,2) của phương trình
 5(sinx + = cos2x + 3 (KA-2002)
 25) cotx – tanx + 4sin2x = (KB-2003)
 26)sin4x + cos4x + cos( ).sin(3x - ) - = 0 
 (KD-2005)
Bài 4 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 
asinx + bcosx + c = 0
 *Phương pháp giải :chia hai vế cho ta được 
 sinx+ cosx = 
 sinxcos
 sin(x + ) = đây là phương trình cơ bản
 * Lưu ý :phương trình có nghiệm khi
	 0 a2+b2c2
 * Bài tập :
 1)sin2x + cos2x = ( ĐH Huế 99)
 2) Cho phương trình : mcos2x + sin2x = 2
 a. Tìm để phương tình có nghiệm
Giải phương trình khi m=2
 3) 3cos3x + 4sinx + = 6
 4) sin2x – 3cos2x = 3(4sinx – 1)
 5) cosx + sinx = 2cos2x
 6) Tìm thoả phương trình 
 cos7x - sin7x= – 
 7) cos7x.cos5x – sin2x = 1 – sin7x.sin5x
 8) 2cosx(sinx – 1) = cos2x 	
 9) 3sinx – cos3x = 4sin3x – 1 
 10) sin(x – ) + sin (x + ) = 2sin2006x 
 11) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8
 12) sin2x + 2cos2x = 1+ sinx – 4cosx
 13) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4
 14) 
 15) 2cos3 x + cos 2x + sinx = 0
 16) 
 17) 1+ sin32x + cos32x = sin4x
 18) tanx –3cotx = 4(sin x+cosx)
 19) 
 20)
 21) Cho phương trình 
 a) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
 b) Giải phương trình khi m = –1
BÀI 5
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP, THUẦN NHẤT BẬC HAI ,BẬC BA ĐỐI VỚI SINXVà COSX
 1/.Dạng :
 + Đẳng cấp bậc hai: 
 asin2x + bsinxcosx + c cos2x = 0
 + Đẳng cấp bậc ba: 
	 asin3x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos3x = 0
 2/.Cách giải: 
 Trường hợp: cosx = 0
 Thế cosx = 0 vào phương trình, chỉ nhận nghiệm 
 sinx = 1 hoặc sinx = -1
 Trường hợp: cosx 0 
 chia hai vế của phương trình cho hoặc , 
 rồi biến đổi về tan x , đặt t = tanx
 3/. Bài tập:
 1)sinx+cosx = (ĐH An ninh 98)
 2) sin2x – 3cos2x + 2sin2x = 2
3)sin3x + cos3x = sinx – cosx 
4) 2cos2x = sin3x (HV KT Quân sự 97)
5) sin2x(tanx + 1) = 3sinx(cosx – sinx) + 3 (ĐH NN I HN 99)
sinx – 4sin3x + cosx = 0 (ĐH Y Khoa HN 99)
sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (ĐH YD HCM 97)
cos3x – 4sin3x – 3cosx.sin2x + sinx = 0 (ĐH NT 96)
cot x – 1= (ĐHKA2003)
sin3x + cos3x + 2cosx = 0
BÀI 6 : PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
 1/.Dạng: a(sinx+cosx) + bsinx.cosx + c = 0	
 hoặc a(sinx-cosx) + bsinx.cosx + c = 0 
 2/.Cách giải:
 Đặt ẩn phụ t = sinx+cosx hoặc t = sinx – cosx 
 Điều kiện : 
 Suy ra : sinx.cosx = (hoặc sinx.cosx = 
 3/.Bài tập:
 1) (1 + cosx)(1 + sinx) =2 (ĐH An ninh 98-D)
 2) cotx – tanx = sinx –cosx (ĐH Ngoại ngữ HN 97) 
 3) = 1 (ĐH An ninh 98-A)
3tan3x – tanx + = 0 
 (Kiến trúc HN 98)
sinx+ sin2x+sin3x+sin4x = cosx+cos2x+cos3x+cos4x
sin3x+ cos3x = 1
 sin3x+ cos3x + sin2x(sinx + cosx) = 1
1 + sin3x+ cos3x = sin2x (ĐH GT VT 99)
cos2x +5 = 2(2-cosx)(sinx-cosx) (ĐH Công đoàn 97)
 Cho phương trình :sinx + cosx = m+sin2x
a.Giải khi m= -1
b.Ttìm m để phương trình có nghiệm
10) sin3x+ cos3x = sin2x + sinx + cosx 
	 ( ĐH Cảnh sát ND 2000-A)
11) sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2 (ĐH Huế 2000-D)
12) 2sinx+cotx = 2sin2x + 1 (ĐH QGHN 200-A)
13) 1 + sin3x- cos3x = sin2x
VI Phương trình lượng giác đặc biệt
 1.Phương pháp tổng bình phương
 Sử dụng 
	1) 
	2) 
	3) cos2x– cos6x +4(3sinx -4sin3x + 1) = 0
 	4) 
2. Phương pháp đánh giá
 Cách giải: Cho phương trình f(x) = g(x)
 	Nếu có số thực a sao cho thì 
	1) 2) cosx + 
	3) ln(sin2x) – 1+ sin3x = 0 ( ĐH Huế 99-A)
	4) sin3x(cosx –2sin3x) + cos3x(1+sinx –2cos3x) = 0
	 ( ĐH kiến trúc HN97)
Bài 7
HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
 	1) 
	2 
	3) 
	4) 5) 	
	6) 
	7) (ĐH SP Vinh97A+B)
	8) (ĐH hàng hải 97)
	9) (ĐH SP Vinh99B)
BÀI 8
CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI TAM GIÁC
VÀ GIẢI TAM GIÁC
 A Các kiến thức cần nhớ trong tam giác
 Từ A+ B+C =
 B . Các bài tóan biến đổi lượng giác	 
	 Cho tam giác ABC , chứng minh :
	 1) sinA + sinB + sinC = 4
 2) cosA + cosB + cosC = 1 + 4	
 3) cos2A + cos2B + cos2C = – 1 – 4cossA.cosB.cosC
	4) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
	5)
 6) 
	 (ĐH-công đoàn 97)
	7) 
	 (ĐHQGHN 98-D)
 8) Cho tam ABC có các góc nhọn
 a) CMR : tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
	 b) CMR : tanA + tanB + tanC 
 (Cao đẳng hải quan 99)
 9) Cho tam giác ABC , chứng minh
 ( ĐH-nông nghiệp HN 99)
 10) Cho tam giác ABC , chứng minh
	 (ĐHQGHN 2000-D)
 11)ChoABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi s là 
 diện tích tam giác ABC. CMR:
 cotA + cotB + cotC = 	
 C Các bài toán về nhận dang tam giác
 1)Chứng minh rằng ABC có cos2A + cos2B + cos2C = 1
thì tam giác ABC vuông 
2)Cho tam giác ABC có 
 CMR ABC vuông (ĐH ngoại ngữ 98)
3) Cho tam giác ABC có : 
 sinA + sinB + sinC = 1 – cosA + cosB + cosC
 CMR ABC vuông
4) ABC có 
 CMR ABC vuông (ĐH ngoại ngữ 2000)
5) ABC có 	
 CMR ABC vuông (ĐH công đoàn 2000)
6) ABC có 
	 CMR ABC vuông (ĐH kiến trúc HN 97)
7) ABC có 
 CMR ABC cân
8) CMR ABC có tanA + tanB = 2 thì ABC cân
9) CMR ABC đều cosA + cosB – cos(A+B) = 
10) Cho tam giác ABC không tù, thoả điều kiện 
 cos2A + 2cosB + 2cosC = 3.Tính các góc (KA-04)
BÀI 9
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
	Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	1) 
	2) 
 3)
	4) 
 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
1. y = (1 + sinx)(1 + cosx) 	 2. 
3. y = cos2x + cosx 	 4. y = – sin3x –3sin3x 
5. y = sinx + cosx – sinx.cosx + 1 
6. 	(ĐH Kiến trúc HN98) 
7. trên 	 (ĐH SP Qui Nhơn 99)
8. 	 (ĐH Thái Nguyên 2000)