Lý thuyết & Bài tập Hình học 12 nâng cao – Khối đa diện - Chương I

§1. Khái niệm về khối đa diện
Hình đa diện gồm một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện :
+ Hai đa giác hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung hoặc có một cạnh chung.
+ Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
	Mỗi hình đa diện chia không gian thành hai phần: phần bên trong và phần bên ngoài.
Hình đa diện và phần bên trong của nó gọi là khối đa diện.
Mỗi khối đa diện có thể phân chia được thành các khối tứ diện.
Bài tập áp dụng:
1. Hãy chia một khối tứ diện thành bốn khối tứ diện bởi hai mặt phẳng.
2. Hãy dùng bốn mặt phẳng để chia một khối tứ diện đã cho thành 9 khối tứ diện.
3. Hãy chia một khối lăng trụ tam giác thành ba khối tứ diện. Có bao nhiêu cách chia như vậy?
4. Hãy chia một khối hộp thành sáu khối tứ diện. Có bao nhiêu cách chia như vậy?
5. Hãy chia một khối hộp thành năm khối tứ diện. Có bao nhiêu cách chia như vậy?
6. Cho ba đường thẳng song song a, b, c nhưng không đồng phẳng. Trên a, b, c lấy lần lượt các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’ thỏa mãn điều kiện AA’ < BB’ < CC’. Hãy chia khối đa diện ABC.A’B’C’ thành một khối chóp và một khối lăng trụ.
7. Mỗi lần cưa gỗ, máy cưa có thể cưa một hay nhiều tấm gỗ theo một mặt phẳng. Người ta muốn cưa một khối gỗ hình lập phương thành 27 khối lập phương nhỏ bằng nhau. Có thể dùng ít hơn 6 lần cưa hay không ?
8. Có hay không các khối đa diện với các mặt là tam giác đều và số mặt là một số chẵn lớn hơn 2 ?
§2. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của các khối đa diện: 
1. Phép dời hình (trong không gian) là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
	Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến mặt phẳng thành mặt phẳng, . . .
	Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay là những phép dời hình.
2. Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
	Hai tứ diện bằng nhau khi và chỉ khi các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau.
3. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép dời hình biến mỗi điểm M thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM’.
Bài tập áp dụng :
1. Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.
2. Tìm tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
3. CMR: mặt phẳng trung trực của AB và mặt phẳng trung trực của CD chia tứ diện đều ABCD thành bốn tứ diện bằng nhau.
4. Cho mặt phẳng (P) và phép dời hình f có tính chất: f(M) = M Û M Î (P). Chứng tỏ rằng f là phép đối xứng qua mặt phẳng (P).
5. Cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng bằng nhau AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’, DB = D’B’, AC = A’C’. CMR: có không quá một phép dời hình biến các điểm A, B, C, D lần lượt thành các điểm A’, B’, C’, D’.
6. Chứng minh rằng phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính.
7. Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f thỏa mãn f(A) = A, f(B) = B. CMR: f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó.
8. Cho hình tứ diện ABCD và phép dời hinh f biến ABCD thành chính nó, nghĩa là f biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho M = f(M) trong các trường hợp sau:
	a) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = A.
	b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D.
	c) f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D.
9. Chứng minh rằng:
a) Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng nhau.
b) Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng bằng nhau.
§3. Phép vị tự và sự đồng dạng của các khối đa diện. Các khối đa diện đều:
1. Phép vị tự tâm O tỷ số k (k ≠ 0) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 
2. Hình H gọi là đồng dạng với hình H’ nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình H1 mà hình H1 bằng hình H’.
3. Có 5 loại khối đa diện đều: khối tứ diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.
Bài tập áp dụng:
1. Cho phép vị tự V tâm O tỷ số k ≠ 1 và phép vị tự V’ tâm O’ tỷ số k’. CMR: nếu kk’ = 1 thì hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến.
2. Cho hai đường tròn có bán kính khác nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. Hãy chỉ ra những phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
3. Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song. Hãy chỉ ra những phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
4. Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cặp cạnh tương ứng song song AB // A’B’, AC // A’C’, AD // A’D’, CB // C’B’, BD // B’D’, DC // D’C’. CMR: hai tứ diện trên đồng dạng.
5. Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, nghĩa là:
	CMR: hai tứ diện đã cho đồng dạng.
6. Khẳng định sau đây là đúng hay sai?
	Nếu khối đa diện có 20 mặt là tam giác đều thì đó là khối hai mươi mặt đều.
§4. Thể tích của khối đa diện:
Thể tích của khối hộp chữ nhật: Vh = abc (a, b, c là ba kích thước).
Thể tích của khối chóp: Vc = (Sđ – diện tích đáy, h – chiều cao).
Thể tích của khối lăng trụ: Vlt = Sđ.h (Sđ – diện tích đáy, h – chiều cao).
Bài tập áp dụng:
1. Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A’, B’, C’ khác S. Gọi V, V’ là thể tích của khối chóp S.ABC, S.A’B’C’. CMR:
2. CMR: nếu có phép vị tự tỷ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ thì 
3. Lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC = b, . Đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300.
	a) Tính độ dài đoạn AC’.
	b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
4. Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.
	a) Tính thể tích của khối lăng trụ.
	b) CMR: mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật.
	c) Tính diện tích xung quanh của khối lăng trụ.
5. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
	a) Biết AB = a, góc giữa mặt bên và đáy bằng j. Tính thể tích khối chóp.
	b) Biết trung đoạn là d, góc giữa mặt bên và đáy là j. Tính t.tích khối chóp.
6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
	a) Biết AB = a, SA = l, tính thể tích khối chóp.
	b) Biết SA = l, góc giữa mặt bên và đáy bằng a, tính thể tích khối chóp.
7. Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường cao và mặt bên là 300.
	a) Tính diện tích toàn phần của khối chóp cụt.
	b) Tính thể tích của khối chóp cụt.
8. Một khối chóp cụt tứ giác đều có các cạnh đáy là a và b (a > b). Tính thể tích của khối chóp cụt đó biết rằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt bằng tổng diện tích của hai đáy.
9. Một hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp. Tìm x để thể tích của khối chóp lớn nhất.
Bài tập ôn tập chương I:
1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, H là hình chiếu vuông góc của A xuông mp(BCD).
a) CMR: H là tâm đường tròn ngoại tiếp DBCD và tính AH.
	b) Gọi K là trung điểm của AH. CMR: KB, KC, KD đôi một vuông góc.
2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB = b, OC = c.
	a) Tìm điểm I cách đều bốn điểm O, A, B, C và tính khoảng cách đó theo a, b, c.
	b) CMR: O, I và trọng tâm của DABC là ba điểm thẳng hàng.
3. Cho ba nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và 
Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC = a.
a) Có nhận xét gì về DABC?
	b) Chỉ rõ vị trí hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC).
	c) Tìm điểm I cách đều 4 điểm O, A, B, C và tính khoảng cách đó.
4. Cho tam giác cân ABC có và đường cao Trên đường thẳng D vuông góc với mp(ABC) tại A lấy hai điểm I, J ở về hai phía của A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
	a) Tính các cạnh của DABC.
	b) Tính AI, AJ và CMR: các tam giac BIJ và CIJ là các tam giác vuông
	c) Tìm điểm I1 cách đều các điểm I, J, B, C và tính khoảng cách đó.
	 Tìm điểm I2 cách đều các điểm I, A, B, C và tính khoảng cách đó.
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi B’, C’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD. Chứng minh rằng:
	a) Bốn điểm A, B’, C’, D’ đồng phẳng.
	b) Tìm điểm I cách đều bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’.
6.Cho tứ diện SABC có SBC và ABC là hai tam giác đều cạnh a, 
	a) Tìm điểm I cách đều các điểm S, A, B, C và tính khoảng cách đó.
	b) Gọi O là trung điểm của BC. Kéo dài AO một đoạn OD sao cho OD = OA. Tính các cạnh của tứ diện SBCD.
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cánhB, SD sao cho 
	a) Mp(AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số 
	b) Tính thể tích hình chóp S.AMPN theo thể tích V của hình chopS.ABCD.
(ĐH Cần thơ 1998).
8. Cho hình chóp tứ giác đều. Thiết diện qua một đỉnh của đáy và vuông góc với cạnh bên đối diệncó diện tích bằng nửa diện tích đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.	 (ĐH Giao thông vận tải 1998).
9. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a.
	a) Dựng thiết diện của lăng trụ bởi mặt phẳng đi qua B’ và vuông góc với A’C.
	b) Tính diện tích của thiết diện nói trên.
10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A. Các cạnh bên của hình chóp tạo với đáy các góc đều bằng b.
	a) CMR: hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
	b) Gọi I là trung điểm của BC. CMR: mp(SAI) ^ mp(ABC).
	c) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SI . CMR: AK ^ mp(SBC).
	d) Cho biết , d(S, (ABC)) = d. Tính diện tích DABC theo d, a, b.
(ĐH Ngoại ngữ 1998).
11. Cho ba tia chung gốc Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = a, OB = b, OC = c.
	a) Tính diện tích DABC theo a, b, c.
	b) Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có 
OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC. 	 (ĐH Ngoại thương 1998).
12. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c.
	a) CMR: đoạn thẳng nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là đoạn vuông góc chung của các cặp cạnh đó.
	b) Tính thể tích của tứ diện theo a, b, c.	 (ĐH Quốc gia TP HCM 1998).
13. Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, có AB là đường vuông góc chung, AB = a. Lấy các điểm M Î Ax, N Î By với AM = x, BN = y.
	a) CMR: Các mặt của tứ diện ABMN là các tam giác vuông.
	b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của tứ diện ABMN theo a, x, y.
(ĐH Quốc gia TP HCM khối D đợt 2 năm 1998).
14. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’; H và K là các hình chiếu của A và C’ xuống xuống mặt phẳng (B’CD’). CMR: 	 (ĐH Xây dựng 1998).
15. Cho tứ diện SABCD có các góc phẳng ở đỉnh S vuông. CMR:
	b) Cho SA = a, SB + SC = k. Đặt SB = x, tính VSABC theo a, k, x. xác định SB, SC để VSABC lớn nhất.	 (ĐH Y dược TP HCM 1998).
16. Cho gình chóp tam giác S.ABC, SA ^ (ABC), SA = h, BC = a, AB = AC = b.
	a) D là một điểm trên cạnh AB. Xác định tỷ số sao cho mặt phẳng qua D, song song với SA và BC cắt hình chóp theo thiết diện là một hình vuông; 
	b) Tìm mối liên hệ giữa a, b, h để DSBC vuông. 	 (HV Ngân hàng 1998).
17. Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
	a) Tính thể tích V của hình chóp theo x, y;
	b) Với x, y nào thì V lớn nhất? 	 (ĐH An ninh 1999).
18. Trong mặt phẳng (a) cho đường tròn (T) đường kính AB = 2R, điểm C di động trên (T). Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (a) lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH ^ SB, AK ^ SC.
	a) CMR: AK (SBC), SB ^ (AHK);
	b) Tìm quỹ tích những điểm K khi C thay đổi và tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK. 	 (ĐH Cần thơ 1999).
19. Cho hình chóp S. ABC có độ dài các cạnh bên bằng l, các mặt bên lập với đáy một góc a.
	a) CMR: hình chóp là hình chóp đều;
	b) Tính theo l và a các bán kính r, R của các mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp;
	c) CMR: và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hình chóp là tứ diện đều.
(ĐH Dược Hà nội 1999).
20. Cho hình chóp đều S.ABC, đỉnh S, chiều cao h, ABC là tam giác đều cạnh a.
	a) Hãy dựng một mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với SC;
	b) Tính diện tích của thiết diện tạo thành theo a và h.
(ĐH Luật Hà nội 1999).
21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M nằm trên cạnh AB, AM = x (0 < x < a). (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa A’C’.
	a) Tính diện tích của thiết diện của hình lập phương cắt bởi mp(P);
	b) Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện. Tìm x để thể tích của một trong hai khối da diện đó gấp đôi thể tích của khối da diện kia.
(HV Ngân hàng 1999).
22. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và điểm M trên cạnh AD. Mặt phẳng A’BM cắt đường chéo AC’ tại điểm H.
	a) CMR: khi M di động trên cạnh AD thì đường thẳng MH cắt đường thẳng A’B tại một điểm cố định;
	b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tại bởi mp(A’BM) cắt hình hộp chữ nhật trong trường hợp M là trung điểm của AD;
c) Giả sử AA’ = AB và MB vuông góc với AC. CMR: mp(A’BM) vuông góc với AC’ và H là trực tâm của tam giác A’BM.
(ĐH Ngoại ngữ Hà nội 1999).
23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA ^ (ABC) và SA = a. M là điểm thay đổi trên cạnh AB, hạ SH ^ CM, đặt . 
a) Tìm tập hợp điểm H, từ đó suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC;
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAIK.
(ĐH Quốc gia TP HCM 1999).
24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a và đường cao trong đó O là trung điểm của AD.
	a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD;
b) Gọi (a) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SD. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(a). 	 (ĐH SP Quy nhơn 1999).
25. Cho hìh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh A, (BC’, (ABC)) = b. Gọi I là trung điểm của AA’. Biết rằng 
	a) CMR: DBIC vuông cân;
	b) CMR: tan2a + tan2b = 1.	 (ĐH Quốc gia Hà nội 2000).
26. Trên ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau lấy lần lượt các điểm A, B, C sao cho OA = a, OC = c. Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhậtAOBD và M là trung điểm của BC, (P) là mặt phẳng đi qua A, M và cắt mp(OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.
	a) Gọi E = OC Ç (P). Tính độ dài đoạn OE;
	b) Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mp(P);
	c) Tính d(C, (P)).	 (ĐH Sư phạm Hà nội 2000).
27. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc 600, mp(P) chứa AB và cắt SC, SD tại M, N, biết ((P), (ABCD)) = 300
	a) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính SABMN theo a;
	b) Tính VABMN theo a. 	 (ĐH Sư phạm TP HCM 2000).