Lý thuyết đại học môn Toán - Lý thuyết & các đề ôn

C'
 
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: 
  hV B B' BB'
3
   
với B, B’: là diện tích đáy 
 h: là đường cao 
BA
C
A'
B'
C'
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 28 
KHỐI TRÒN XOAY 
MẶT CẦU 
I. Định nghĩa: 
1. Tập hợp các điểm trong 
không gian cách điểm O cố 
định một khoảng R không đổi 
gọi là mặt cầu tâm O và bán 
kính bằng R. 
 S(O;R) M / OM R  
2. Tập hợp các điểm trong 
không gian nhìn đoạn AB cố 
định dưới một góc vuông gọi là 
mặt cầu đường kính AB. 
 0S(AB) M / AMB 90   
3. Khối cầu B(O;R) là 
tập hợp các điểm M trong 
không gian sao cho OM R 
 B(O;R) M / OM R  
II. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng: 
Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) và đặt d = OH 
 d > R: (P)  (S) =  
 d = R: (P) tiếp xúc (S) tại 
H 
Ta có H: tiếp điểm; (P) tiếp 
diện. 
 d < R: (P) cắt (S) theo 
giao tuyến là 1 đường tròn có 
tâm là H bán kính 
2 2r R d  
III. Vị trí tƣơng đối giữa mặt cầu và đƣờng thẳng: 
Cho mặt cầu S(O;R) và đƣờng thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O lên ∆ và đặt d = OH 
 d > R: ∆ và mặt cầu 
không có điểm chung 
 d = R: ∆ và mặt cầu 
có 1 điểm chung là H. ∆ gọi 
là tiếp tuyến của mặt cầu tại 
H. H là tiếp điểm của ∆ và 
mặt cầu. 
 d < R: ∆ cắt mặt cầu tại 
hai điểm phân biệt. 
O
R
O
R
A
O
B
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 29 
IV. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp khối đa diện: 
 Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp 
Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều 
nằm trên mặt cầu 
Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp 
xúc với mặt cầu 
Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm 
trên mặt cầu 
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi 
đường sinh của hình trụ 
Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy 
của hình nón 
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi 
đường sinh của hình nón 
V. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: 
 Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện. Tâm là 
điểm cách đều các đỉnh của hình đa diện, bán kính là khoảng cách từ tâm đến một trong các 
đỉnh đó. 
 Cách xác định tâm mặt cầu: 
  Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của 
mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó. 
  Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
o Xác định trục  của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại 
tiếp đa giác đáy). 
o Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên. 
o Giao điểm của (P) và  là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
VI. Xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp: 
 Mặt cầu nội tiếp hình chóp là mặt cầu ở trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả mặt bên và 
mặt đáy của hình chóp đó. Tâm là điểm cách đều tất cả các mặt bên và đáy, bán kính là 
khoảng cách từ tâm đến một trong các mặt ấy. 
 Tứ diện luôn có mặt cầu nội tiếp, các hình chóp khác có thể không có mặt cầu nội tiếp. 
 Cách xác định tâm mặt cầu: Tâm mặt cầu nội tiếp (nếu có) là giao điểm các mặt phân giác 
của các nhị diện hợp bởi các mặt bên và đáy. 
 Bán kính: 
3
tp
V
r
S
 
DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH 
 Cầu Trụ Nón 
Diện tích 2S 4 R  
xqS 2 Rh  
tp xqS S 2S  ñaùy 
xqS Rl  
tp xqS S S  ñaùy 
Thể tích 
34V R
3
  2V R h  
21V R h
3
  
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 30 
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXY 
Vấn đề 1: TỌA ĐỘ PHẲNG 
I. Định lý: 
Cho A A B BA(x , y ), B(x , y ) , 1 2a (a ,a )

1. B A B AAB (x x ; y y )  

2. 2 2B A B AAB AB (x x ) (y y )    

. 
3. 2 21 2a a a 

II. Tính chất vectơ: 
Cho 1 2a (a ,a )

, 1 2b (b ,b )

1. 
1 1
2 2
a b
a b
a b

  

 
2. 1 2ka (ka ,ka )

3. 1 1 2 2a b (a b ;a b )   
 
4. 1 1 2 2ma nb (ma nb ;ma nb )   
 
5. 1 1 2 2a.b a b a b 
 
6. a

 cùng phương 
1 2 2 1
a k.b
b
a b a b 0
 
 
 
 

7. 1 1 2 2a b a.b 0 a b a b 0     
   
8. 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
a b a ba.b
cos(a;b)
a b a a b b

 
 
 
 
  
9. 1 2AB (a ,a )

, 1 2AC (b ,b )

 ABC 1 2 2 1
1
S a b a b
2
  
III. Dạng toán thƣờng gặp: 
1. A, B, C thẳng hàng AB

cùng phương AC.

2. A, B, C lập thành tam giác AB

 không 
cùng phương AC.

3. A,B,C,D là hình bình hành AD BC. 
 
4. M trung điểm AB: A B A B
x x y y
M ;
2 2
  
 
 
5. M chia AB theo tỉ số k  1: 
A B A Bx k.x y k.yM ;
1 k 1 k
  
 
  
6. Trọng tâm 
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
G :
y y y
y
3
 


  

7. Trực tâm H: Giải hệ: 
AH.BC 0
BH.AC 0
 


 
  
8. E chân phân giác trong: 
EB AB
ACEC
 

 
 F chân phân giác ngoài: 
FB AB
ACFC


 
9. Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 
 Giải hệ: 
2 2
2 2
IA IB
IA IC
 


Vấn đề 2: ĐƢỜNG THẲNG 
I. Phƣơng trình đƣờng thẳng: 
1. Phương trình tổng quát : 




0 0
qua M(x ;y )
VTPT : n = (A;B)
  : 
0 0
A(x -x )+ B(y -y ) = 0 
  : Ax + By + C = 0 
2. Phương trình tham số : 
2




0 0
1
qua M(x ;y )
VTCP : a = (a ;a )
  : 



0 1
0 2
x = x + a t
(t R)
y = y + a t
3. Phương trình chính tắc :
2




0 0
1
qua M(x ;y )
VTCP : a = (a ;a )
  : 0 0
1 2
x -x y -y
=
a a
II. Vi trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng: 
1. )    1 1
1 2
2 2
A B
( ) (
A B
2. 1 1 11 2
2 2 2
A B C
(Δ ) / / (Δ )
A B C
   
3. 1 1 11 2
2 2 2
A B C
(Δ ) (Δ )
A B C
    
III. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một 
đƣờng thẳng: 
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 31 
 Cho hai điểm 1 1 1 2 2 2M (x ; y ), M (x ; y ) và 
đường thẳng (d): Ax + By + C = 0, ta có: 
 1M hoặc 2M nằm trên (d) 
1 1 2 2(Ax By C)(Ax By C) 0      . 
 1 2M , M nằm khác phía so với 
(d) 1 1 2 2(Ax By C)(Ax By C) 0      . 
 1 2M , M nằm cùng phía so với (d) 
1 1 2 2(Ax By C)(Ax By C) 0      . 
IV. Góc của hai đƣờng thẳng: 
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A A B B
cos
A B A B

 
 
V. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng 
thẳng: 
Cho (Δ) :Ax By C 0   và 0 0M(x ; y ) 
0 0
2 2
Ax By C
d (M, ) 
A B
 
  

VI. Chú ý: 
 Trục Ox có pttq : y 0 
 Trục Oy có pttq : x 0 
 Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy : 
 ax c 0   b 0 
 Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox : 
 by c 0   a 0 
 Đường thẳng đi qua gốc tọa độ: 
 ax by 0   c 0 
 Đường thẳng cắt Ox tại  A a;0 và Oy 
tại  B 0;b 
x y
1
a b
   a,b 0 
 Đường thẳng qua điểm  0 0M x ; y và có hệ số 
góc k là :  0 0y y k x x   
 Đường thẳng d qua điểm  0 0M x ; y và song 
song với đường thẳng : ax by c 0    có 
phương trình tổng quát là: 
    0 0a x x b y y 0    
 Đường thẳng d qua điểm  0 0M x ; y và vuông 
góc với đường thẳng : ax by c 0    có phương 
trình tổng quát là : 
    0 0b x x a y y 0    
 Cho (Δ) :Ax By C 0   
1. (d) / / (Δ) (d) :Ax By m 0    
2. (d) (Δ) (d) :Bx Ay m 0     
VII. Dạng toán thƣờng gặp: 
Dạng 1 : Tìm hình chiếu của một điểm M trên 
một đƣờng thẳng d : 
Cách 1: 
 Bƣớc 1: Gọi H là hình chiếu của M trên d suy 
ra tọa độ của H theo t 
 Bƣớc 2: Tìm tọa độ vectơ MH

 theo t , tìm 
VTCP u

 của d 
 Bƣớc 3: Giải phương trình MH

. u

 = 0 có t 
suy ra tọa độ H 
Cách 2: 
 Bƣớc 1: Viết phương trình đường thẳng qua 
d‟ qua M và vuông góc với d 
 Bƣớc 2: Giải hệ : 
d
d '



 có tọa độ điểm H 
Dạng 2 : Tìm điểm đối xứng của một điểm M 
qua một đƣờng thẳng d 
 Bƣớc 1: Tìm hình chiếu H của M trên d 
 Bƣớc 2: gọi M‟ là hình điểm đối xứng cửa M 
qua d thì H là trung điểm của đoạn MM‟ , dựa 
vào công thức tọa độ trung điểm suy ra tọa độ M‟ 
Vấn đề 3: ĐƢỜNG TRÒN 
I. Phƣơng trình đƣờng tròn: 
1. Phương trình chính tắc đường tròn (C) tâm 
I(a;b) , bán kính R: 
 (C): 2 2 2(x a) (y b) R    
2. Phương trình tổng quát đường tròn (C) tâm 
I(a;b) , bán kính R: 
 (C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 
(ĐK:a2 + b2 −c > 0) và R = 2 2a b c  
II. Phƣơng trình tiếp tuyến của đƣờng tròn: 
1. Phương trình tiếp tuyến TẠI 0 0M(x ; y ) : 
0 0
0 0
qua M(x ; y )
:
VTPT IM (x a; y b)

 
  
 
 : 0 0 0 0(x a)(x x ) (y b)(y y ) 0      
 : 0 0 0 0x.x y.y a(x x ) b(y y ) c 0       
2. Điều kiện tiếp xúc: d(I, ) R  
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 32 
III. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua 2 tiếp 
điểm: 
 Cho M MM(x ; y ) nằm ngoài đường tròn tâm 
I(a;b) bán kính R. Từ M dựng 2 tiếp tuyến tiếp 
xúc đường tròn tại 2 điểm A, B. Phương trình 
đường thẳng AB có dạng: 
      2M Mx a x a y b y b R      
IV. Phƣơng trình tiếp tuyến chung của hai 
đƣờng tròn: 
 Bƣớc 1: Xét tiếp tuyến vuông góc với 0x : 
x a R  và x a R  . Kiểm tra tiếp tuyến thỏa 
mãn điều kiện đầu bài? 
 Bƣớc 2: Xét tiếp tuyến không vuông góc với 0x 
có dạng: y kx m  . Để tìm k và m: Ta giải hệ 
lập được từ điều kiện tiếp xúc. 
 Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau: có 4 tiếp tuyến 
chung. 
 Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài: có 3 tiếp 
tuyến chung. 
 Nếu (C1) và (C2) cắt nhau: có 2 tiếp tuyến 
chung. 
 Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc trong: có 1 tiếp 
tuyến chung. 
 Nếu (C1) và (C2) lồng nhau: không có tiếp 
tuyến chung. 
Vấn đề 4: ELÍP 
I. Định nghĩa: 
 Cho
1 2 1 2
F ,F coá ñònh vaø F F = 2c (c > 0) 
1 2M (E) MF MF 2a (a c 0)      
II. Phƣơng trình chính tắc: 
2 2
2 2
x y
(E) 1 (a,b 0)
a b
   
III. Các tính chất: 
1. Tiêu điểm : 1 2F ( c;o), F (c;o) . 
2. Tiêu cự : 1 2FF 2c . 
3. Đỉnh trục lớn: 1 2A ( a;0), A (a ;0) . 
4. Đỉnh trục bé : 1 2B (0; b), B (0;b) . 
5. Độ dài trục lớn: 1 2A A 2a . 
6. Độ dài trục bé : 1 2B B 2b . 
7. Tâm sai : 
c
e 1
a
  . 
8. Bán kính qua tiêu điểm : 
1 M
2 M
MF a e.x
MF a e.x
 

 
9. Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở: 
x a
y b
 

 
10. Phương trình đường chuẩn 
2a
x
c
  
IV. Phƣơng trình tiếp tuyến của Elip: 
1. Phương trình tiếp tuyến TẠI 0 0M(x ; y ) : 
 0 0
2 2
x.x y.y
: 1 (a,b 0)
a b
    
2. Điều kiện tiếp xúc: 
 Cho: 
2 2
2 2
x y
(E) 1 (a,b 0)
a b
   và đường 
thẳng (Δ) :Ax By C 0   
(Δ) tiếp xúc (E) 2 2 2 2 2A a B b C   
Vấn đề 5: Các dạng toán tam giác 
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết 
điểm C(a;b) và hai đường thẳng cắt nhau 1 2d ,d 
không đi qua C lần lượt có phương trình tham số : 
1 1 1
1
1 1 1
x x a t
d :
y y b t
 

 
 và 
2 2 2
2
2 2 2
x x a t
d :
y y b t
 

 
Hãy tìm tọa độ các đỉnh A, B trong các trường 
hợp : 
Dạng 1: 1 2d ,d là hai đƣờng cao. 
Giả sử d1 là đường cao AM , d2 là đường cao BN 
 Viết phương trình BC: (BC có VTCP là 
VTPT của d1 đi qua C) 
 Giải hệ 
2
BC
d



 tọa độ điểm B 
Tương tự : 
 Viết phương trình AC (AC có VTCP là 
VTPT của d2 và đi qua C) 
 Giải hệ 
1
AC
d



 có tọa độ điểm A 
Dạng 2: 1 2d ,d là hai đƣờng trung tuyến. 
Giả sử d1: là trung tuyến AM ; d2 là trung tuyến 
BN 
 Md1 suy ra tọa độ M theo t1 
 M là trung điểm CB suy ra tọa độ B theo t1 
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 33 
 B d2 nên có hệ theo t1 và t2 . Giải hệ có t1 
suy ra tọa độ điểm B 
Tương tự : 
 Nd2 suy ra tọa độ N theo t2 
 N là trung điểm CA suy ra tọa độ A theo t2 
 A d1 nên có hệ theo t1 và t2 . Giải hệ có t2 
suy ra tọa độ điểm A 
Chú ý: Có thể giải theo cách khác : 
 Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ; 
 Tìm điểm đối xứng D của C qua G 
 Viết phương trình đường thẳng qua d‟1 qua D 
song song với d2 
 Viết phương trình đường thẳng qua d‟2 qua D 
song song với d1 
 Giải hệ 
1
1
d '
d



 tọa độ A ; 
 Giải hệ 
2
2
d '
d



 tọa độ B 
Dạng 3: 1 2d ,d là hai đƣờng phân giác trong 
của góc A và góc B. 
 Tìm tọa độ điểm C1 là điểm đối xứng của C 
qua d1; 1C AB 
 Tìm tọa độ điểm C2 là điểm đối xứng của C 
qua d2; 2C AB 
 Viết phương trình tham số C1C2 là phương 
trình của AB 
 Tọa độ của A là nghiệm của hệ : 
1 2
1
C C
d



 Tọa độ của B là nghiệm của hệ : 
1 2
2
C C
d



Dạng 4: 1d là đường cao, 2d là trung tuyến. 
Giả sử d1: đường cao AM; d2: trung tuyến BN 
 Viết phương trình cạnh CB (như trên) 
 Giải hệ 
2
CB
d



 tìm tọa độ điểm B 
 Dùng tính chất trung điểm N thuộc BN , N là 
trung điểm AC và A thuộc AM suy ra tọa độ 
điểm A 
Dạng 5: 1d là đƣờng cao , 2d là phân giác 
trong. 
Giả sử d1: đường cao AM; d2: phân giác trong BN 
 Viết phương trình cạnh CB 
 Giải hệ 
2
CB
d



 tọa độ điểm B 
 Tìm tọa độ điểm C2 là điểm đối xứng của C 
qua d2 ( C2 thuộc AB) 
 Viết phương trình BC2 (BA) 
 Giải hệ 
1
BA
d



tọa độ điểm A . 
Dạng 6:
1d là trung tuyến , 2d là phân giác 
trong 
Giả sử d1: đường trung tuyến AM; d2: phân giác 
trong BN 
 
2
1
M d
MA MC
A d


 
 
 tọa độ điểm B. 
 Tìm C2 là điểm đối xứng của C qua d2 
 Viết phương trình tham số BC2 (BA) 
 Giải hệ 
1
BA
d



tọa độ điểm A 
Nhận xét: 
 Học sinh chỉ cần nắm kĩ các dạng 1, 2, 3 thì 
các dạng khác đơn giản hơn. 
 Nếu bài toán có liên quan đến đường cao cần 
chú ý đến điểm hình chiếu của đỉnh đã biết 
trên đường cao hoặc VTPT của đường cao 
hoặc tìm VTCP của cạnh và viết phương trình 
tham số của cạnh tam giác 
 Nếu bài toán có liên quan đến trung tuyến cần 
lưu ý đến tính chất trung điểm . 
 Nếu bài toán có yếu tố đường phân giác trong 
cần lưu ý đến điểm đối xứng của đỉnh đã biết 
qua đường phân giác trong đó. 
 Chú ý: Đề thi đại học thường sử dụng các 
tính chất đối xứng tâm (điểm), đối xứng trục 
(đường) – liên quan đến Phép biến hình 11. Ngoài 
ra sự kết hợp giữa các tính chất của đường tròn và 
tam giác cũng là dạng toán rất thường gặp. 
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 34 
HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ 
Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ 
VECTƠ 
I. Tọa độ của véctơ: 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oyz 
1. 1 2 3 1 2 3a (a ;a ;a ) a a i a j a k    
    
2. i (1,0,0)

; j (0,1,0)

; k (0,0,1)

3. Cho 1 2 3a (a ;a ;a )

 và 1 2 3b (b ;b ;b )

 ta có : 
 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b


  
 
 
 1 1 2 2 3 3a b (a b ;a b ;a b )    
 
 1 2 3k.a (ka ;ka ;ka )

 2 2 21 2 3a a a a  

 1 1 2 2 3 3a.b a . b cos(a;b) a b a b a b   
     
II. Tọa độ điểm : 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz 
1.  M M M M M MM x ; y ;z OM x i y j z k   
   
2. Cho  A A AA x ; y ;z và  B B BB x ; y ;z ta có: 
  B A B A B AAB x x ; y y ;z z   

 2 2 2B A B A B AAB (x x ) (y y ) (z z )     
3. Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k 
 MA kMB
 
 thì ta có : 
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x ; y ; z
1 k 1 k 1 k
  
  
  
(Với k ≠ –1) 
 Đặc biệt khi M là trung điểm AB (k = – 1 ) thì 
ta có: 
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x ; y ;z
2 2 2
  
   
III. Tích có hƣớng của hai vectơ và ứng 
dụng: 
1. Nếu 1 2 3a (a ;a ;a )

 và 1 2 3b (b ;b ;b )

 thì: 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a,b ; ;
b b b b b b
 
     
 
 
2. Vectơ tích có hướng c a,b   
  
vuông góc vơi 
hai vectơ a

 và b

. 
3. a,b a b sin(a,b)   
     
. 
4. ABC
1
S [AB,AC]
2

 
. 
5. VHộpABCDA’B’C’D’ = [AB,AD].AA'
  
. 
6. VTứdiện ABCD =
1
[AB,AC].AD
6
  
. 
IV. Điều kiện khác: 
1. a

 và b

cùng phương: 
1 1
2 2
3 3
a kb
a,b 0 k R : a kb a kb
a kb

         
 
    
2. a

 và b

 vuông góc: 
1 1 2 2 3 3a.b 0 a .b a .b a .b 0     
 
3. Ba vectơ a, b, c
  
đồng phẳng  a, b .c 0  
  
4. A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện  
AB, AC, AD
  
 không đồng phẳng. 
5. G là trọng tâm của tam giác ABC: 
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
3
 


 
 

 


6. G là trọng tâm tứ diện ABCD 
GA GB GC GD 0    
    
  
A B C D
G
A B C D
G
A B C D
G
x x x X
x
4
y y y y
y
4
z z z z
z
4
  


  


  


7. G là trọng tâm của tứ diện ABCD: 
 GA GB GC GD 0   
    
. 
8. Chieàu cao AH keû töø ñænh A cuûa töù dieän 
ABCD: 
AH = 
ABCD
BCD
3V
S
LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 35 
Vấn đề 2: MẶT PHẲNG 
I. Phƣơng trình mặt phẳng: 
1. Trong không gian Oxyz phương trình dạng 
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 ≠ 0 
 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong 
đó n (A;B;C)

là một vectơ pháp tuyến của nó. 
2. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và 
nhận vectơ n (A;B;C)

làm vectơ pháp tuyến có 
dạng : 
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 
3. Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận 
1 2 3a (a ;a ;a )

 và 1 2 3b (b ;b ;b )

 làm cặp vectơ 
chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp 
tuyến: 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
n a,b ; ;
b b b b b b
 
     
 
  
. 
II. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng: 
1. Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 
và (Q):A‟x + B‟y + C‟z + D‟ = 0 
 (P) cắt (Q)  A : B : C ≠ A‟: B‟: C‟ 
 (P) // (Q)  A : A‟ = B : B‟ = C : C‟ ≠ D : 
D‟ 
 (P) ≡ (Q)  A : B : C : D = A‟: B‟: C‟: D‟ 
2. Cho hai mặt phẳng cắt nhau : 
 
 
P : Ax By Cz D 0
Q :A‟x B‟y C‟z D‟ 0
   

   
. 
 Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi 
(P) và (Q) là: 
m(Ax + By + Cz + D) + n(A‟x + B‟y + C‟z + D‟) 
= 0 (với m2 + n2 ≠ 0) 
III. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: 
 Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng 
(α): Ax + By + Cz + D = 0. 
0 0 0
0
2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
  
 
 
IV. Góc gữa hai mặt phẳng: 
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : 
 
 
P : Ax By Cz D 0
Q :A‟x B‟y C‟z D‟ 0
   

   
. Ta có: 
P Q
P Q
P Q
n .n
cos cos(n ,n )
n . n
  
 
 
  
 0 0
2 2 2 2 2 2
A.A' B.B' C.C'
0 90
A B C . A ' B' C'
 
   
   
0
P Q90 n n   
 
  hai mặt phẳng vuông góc 
nhau. 
V. Các dạng bài tập: 
Dạng 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng: 
 Tìm VTPT  n A;B;C

 và điểm đi 
qua  0 0 0 0M x ; y ;z 
 Dạng:      0 0 0A x x B y y C z z 0      
Dạng 2: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua ba 
điểm A, B, C: 
 Tính AB,AC
 
 Mp (ABC) có VTPT là n AB,AC   
 
và 
qua A 
 Kết luận. 
Dạng 3: Viết phƣơng trình mặt phẳng   đi 
qua điểm A và vuông góc BC 
Mặt phẳng    BC nên có VTPT là BC qua A 
Chú ý: 
 Trục Ox chứa  i 1;0;0

 Trục Oy chứa  j 0;1;0

 Trục Oz chứa  k 0;0;1

Dạng 4: Viết phƣơng tình mp   là mặt 
phẳng trung trực của AB. 
 Mặt phẳng    AB. Nên có VTPT là AB đi 
qua I là trung điểm của AB 
 Kết luận. 
Dạng 5: Viết phƣơng tình mặt phẳng   đi 
qua điểm  0 0 0 0M x ;y ;z và song song với mặt 
phẳng   : Ax By Cz D 0     
    / /  . Nên phương trình   có dạng: 
Ax + By + Cz + D‟= 0 
  0M D'   
 Kết luận. 
Dạng 6: Viết phƣơng trình mp (P) đi qua hai 
điểm A, B và vuông góc với mp (Q) 
 Mặt phẳng (P) có cặp VTCP là: AB

 và VTPT 
của (Q) là Qn

LÝ THUYẾT TOÁN LTĐH Cao Hoàng Nam 
Trang 36 
 Mặt phẳng (P) có VTPT là Qn AB,n   
 
và 
qua A 
 Kết luận. 
Dạng 7: Viết phƣơng trình mp   đi qua các 
điểm là hình chiếu của điểm  0 0 0M x ; y ;z 
trên các trục toạ độ. 
 Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của 
điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì M1(x0;0;0), 
M2(0;y0;0), M3(0;0;x0) 
 Phương trình mặt phẳng   là: 
0 0
x y z
1
x y z
   
Dạng 8: Viết phƣơng trình mp   đi qua 
điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) 
và (Q). 
 (P) có VTPT là Pn

 (Q) có VTPT là Qn

 Mp   có VTPT là P Qn ,n  
 
 và