Lý thuyết và bài tập Hình học 12 - Chương III

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tọa độ vectơ: Cho . Ta có
  	  cùng phương 
2. Tọa độ điểm: Cho 
  M là trung điểm của AB 
  G là trọng tâm tam giác ABC
3. Tích có hướng của hai vectơ: 
Tích có hướng của hai vec tơ và là một vectơ, k/h: 
- Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: đồng phẳng 
- cùng phương 
- Diện tích hình bình hành ABCD	: 
- Diện tích tam giác ABC	: 
- Thể tích tứ diện ABCD	: 
- Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'	: 
B. Các ví dụ và bài tập
1. Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2)
a. Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
b. Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
c. Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3. Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2. Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với .
	a. Chứng minh AB vuông góc với CD
	b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD
3. Cho tứ diện S.ABC có A(1 ; 2 ; -1), B(5 ; 0; 3), C(7 ; 2 ; 2), SA vuông góc với (ABC) và S thuộc mp(Oyz).
	a. Tìm tọa độ S.	b. Tìm tọa độ giao điểm E của (ABC) và Ox.
4.. Cho 4 điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(0 ; 2 ; -1) và D(1 ; 4 ; 0). Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của nó.
5.. Cho 2 điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; 0 ; 1) và 2 điểm di động M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0) 
	a) Tìm quan hệ giữa m, n để OA MN
	b) Tính thể tích của hình chóp B.OMAN
	c) M, N di động sao cho m.n = 1. Tính m, n để VB.OMAN nhỏ nhất
6.. Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2)
	a. Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng
	b. Cho E(1 ; 3 ; 3). Chứng minh EA(ABC). Tính thể tích tứ diện E.ABC
	c. Tính khoảng cách từ B đến (ACE)
7.. Cho 4 điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; 3 ; -2), C(-1 ; 2 ; 3) và D(0 ; m ; p). Xác định m và p để 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành
8. Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2)
	a. Chứng minh OAB là tam giác vuông cân
	b. Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông
	c. Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.
9. Cho hai điểm A(1 ; 2; ;2) và B(8 ; 1; 4).
	a. Tính góc 
	b. Xác định chân đường phân giác trong đỉnh O của tam giác OAB
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ
1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng:
	* là VTPT của mp() nếu: 
	* Hai vectơ không cùng phương được gọi là cặp vectơ chỉ phương của () nếu chúng song song hoặc nằm trên (). Khí đó: là vectơ pháp tuyến của ()
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 )
	+ Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: 
	+ Mặt phẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) và có một VTPT là thì có pt:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
	+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là:
 (phương trình theo đọan chắn)
	+ MpOxy: z = 0	+ Mp(Oyz): x = 0	+ Mp(Ozx): y = 0
3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng):: 
Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là
m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời = 0)
B. Các ví dụ và bài tập
Bài 1: 	Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0
Bài 2:	Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
	a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2)
	b) Mặt trung trực của AB
	c) Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0
Bài 3: 	Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5)
	a) Viết phương trình mp(ABC)
	b) Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): x + y + z = 0
	c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5)
Bài 4
Trong không gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O)
Bài 5: 
	Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): x - y + 2z - 3 = 0 và (T): 2x - y - 3z = 0
Bài 6
	Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua E(3 ; 4 ; 1) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng:(R): 19x - 6y - 4z + 27 = 0 và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = 0
Bài 7
Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0,
	(Q): 3x - 2y + z - 3= 0 và vuông góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + 5 = 0
Bài 8. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0
	a) Viết phương trình của mặt phẳng () qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox.
	b) Viết phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng .	
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ
1) Các dạng phương trình đường thẳng:
-Phương trình tham số: , với là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
-Phương trình chính tắc: .
2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:
3) Cách viết phương trình đường thẳng:
	Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường thẳng.	 PTTS
CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG 
STT
Baøi toaùn
D1
a2
a 1
D2
D
M
M1
M2
Hình veõ
Caùch giaûi
1
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua ñieåm M vaø caét 2 ñöôøng thaúng D1, D2
B1: - Goïi M1 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t) Î D1 
 - M2 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t’) Î D2 
B2: vaø cuøng phöông => t => M1
B3: Vieát phương trình MM1 chính laø phöông trình ñöôøng thaúng D 
2
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D song song vôùi d vaø caét caû D1 vaø D2
D1
a2
a 1
D2
D
d
B1: - Goïi M1 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t) Î D1 
 - M2 (toaï ñoä coù chöùa tham soá t’) Î D2 
B2: vaø cuøng phöông => t, t’ => M1, M2
B3: Vieát phương trình M1M2 chính laø phöông trình ñöôøng thaúng D
3
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua ñieåm M vuoâng goùc vaø caét ñöôøng thaúng d
M
d
b ra 
a ra 
N
Å
Å
Phöông phaùp 1
B1: Goïi N (toaï ñoä coù chöùa tham soá t) d
B2: MN d = 0 => t => M
Phöông trình D chính laø phương trình MN
Phöông phaùp 2
B1: Vieát ptrình maët phaúng(a ) qua M vaø vuoâng goùc d
B2: Tìm H = (a ) d
B3: phöông trình D laø phöông trình ñöôøng MH
4
D1
M
M2
D2
D
a1
a2
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D ñi qua ñieåm M vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng D1 vaø caét ñthaúng D2
B1: Vieát phöông trình maët phaúng(a ) qua M vaø vuoâng goùc D1
B2: Tìm N = (a ) (D2)
B3: phöông trình D laø phöông trình ñöôøng MN
5
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng D naèm trong maët phaúng a vaø caét caû 2 ñöôøng thaúng D1, D2
M1 
D1 
a 
D2 
M2 
B1: Tìm M1 = D1 (a )
B2: Tìm M2 = D2 (a )
B3: D laø ñöôøng thaúng M1M2
7
Vieát pt ñöôøng thaúng D naèm trong mp(a ), qua giao ñieåm A cuûa d vaø a , vuoâng goùc d
D 
a 
b 
A
d 
B1: Tìm ñieåm A = D (a )
B2: D 
B. Các ví dụ và bài tập
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng 
Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0
	a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P)
	b) Tìm giao điểm của d với trục Oz.
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d': 
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d: và vgóc với mp(Q): 2x - y - z = 0
Bài 5:	Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng: 
Bài 6: Lập phương trình đường thẳng d:
	a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d1: và d2: 
	b) d vuông góc với (P): x - y - z - 3 = 0 và cắt hai đường thẳng: 
	d1: và d2: 
	c) d là hình chiếu của xuống măt phẳng: (P): x - y - z + 4 = 0	
Bài 7: Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 8: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0
Bài 9: Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng: 
 và song song với đường thẳng: d': 
Bài 10: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
Bài 11: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng: 
Bài 12: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
	a) Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với 
	b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4). Tìm tọa độ điểm H sao cho độ dài MH nhỏ nhất.
Bài 13: Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; -; 0) và đường thẳng d: 
	a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d.
	b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
A. Tóm tắt lý thuyết
1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
	Cho 2 đường thẳng:	 (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0), có VTCP = ( a; b; c) 
	và 	(d’) qua M’0(x’0 ;y’0 ;z’0), có VTCP = ( a’; b’; c’) 
(d) và (d’) đồng phẳng 	Û 
(d) và (d’) cắt nhau 	Û và a:b:c ¹ a’:b’:c’
(d) // (d’) 	Û a:b:c = a’:b’:c’¹ (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
(d) º (d’) 	Û a:b:c = a’:b’:c’ = (x’0 – x0 ):(y’0 – y0) :(z’0 – z0)
(d) và (d’) chéo nhau 	Û 
2. Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng :
	Cho đường thẳng (d) qua M0(x0 ;y0 ;z0) , có VTCP = ( a; b; c).
	và mặt phẳng (a ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT 
(d) cắt (a ) Û Û Aa +Bb +Cc ¹ 0
Û 
(d) Ì (a ) Û Û 
	Một số lưu ý:
	1) Khi (d) cắt (a ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (a ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d) và (a )
2) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (a)
	- Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm M và (D)^ (a)
	- Tìm giao điểm của (D) với (a) đó là điểm cần tìm.
3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (a)
	- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (a) .
	- M’ đối xứng với M qua (a) Û H là trung điểm đoạn MM’.
4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d).
	- Viết phương trình mặt phẳng (a) qua M và (a) ^ (d).
	- Tìm giao điểm của (a) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm.
5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) .
	- Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).
	- M’ đối xứng với M qua (d) Û H là trung điểm đoạn MM’.
B. Bài tập
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm :
	a) d: và d’ 	b) d: và d’:
	c) d: và d’: 
Bài 2 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng:
	a) d: và (a) : 4x + 2y – 8z +2 = 0
	b) d: và (a) : 2x + y – z –3 = 0
	c) d: (a) : 3x + 5y – z – 2 = 0 
Bài 3. Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :.
	a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d).	b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d).
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (a) : x + 2y – z + 4 = 0.
a) Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng .
b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (a).
Bài 5. Cho mặt phẳng (a) : 2x + y + x – 2 = 0 và đường thẳng (d) :.
	a) Chứng minh (d) cắt (a)	b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (a). 
Bài 6. Cho (d) : , (a) : x +3y – 2z – 5 = 0. Định m để:
a). (d) cắt (a)	b). (d) // (a)	c). (d) ^ (a).
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
- Khoảng cách từ M(x0; y0; z0) đến mp (a): Ax + By + Cz = 0 là: 
- Khoảng cách từ điểm M1 đến đt đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là: 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và ', trong dó: 
	 đi qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương , ' đi qua điểm M0' và có vectơ chỉ phương 
Bài 1. Tính khoảng cách từ các điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng
(a) : 2x –2y + z – 5 = 0
Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng D: 
Bài 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :
(D1): và (D2):
Bài 4. Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (a): x+ y + 2z – 4 = 0 .
Tính góc giữa d và (a)
Bài 5. Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0 
Bài 6. Cho đường thẳng (d): và mặt phẳng (a) : 2x – y – 2z +1 = 0.
Tìm các điểm M Î (d) sao cho khoảng cách từ M đến (a) bằng 3
Bài 7. Cho hai đường thẳng (d1): và (d2): 
Tìm hai điểm M, N lần lượt trên (d1) và (d2) sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU - ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ
1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R:
	- Phương trình: x2 + y2+ z2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 +C2 - D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính 
2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn:
	Cho mặt cầu với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.
	+ d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung
	+ d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S)
	+ d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính 
	Phương trình đường tròn trong không gian:
	với d = 
B. Các ví dụ và bài tập
Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C):
Bài 2: Cho (S): x2 + y2 + z2 -2mx + 2my -4mz + 5m2 + 2m + 3 = 0
	a) Định m để (S) là mặt cầu. Tìm tập hợp tâm I của (S)
	b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + 3 = 0 làm tiếp diện
	c) Định m để (S) cắt d: tại hai điểm A, B sao cho 
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz)
và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0.
Một số bài toan hình học, đại số giải bằng hình giải tích
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = (2 - a)2 + (1 - b)2 + (1 - c)2. Biết rằng a, b, c thỏa điều kiện: 
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C với AB = 2a, chiều cao từ C bằng 1; chiều cao hình lăng trụ bằng b.
	a. Tính khoảng cách giữa B'C và AC' theo a và b.
	b. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa B'C và AC' lớn nhất.
Bài 3: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện: 
Tìm GTLN, GTNN của: u = x2 + y2 + z2
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ
Bài 1. (D-2007)
	Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng (d): 
Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB)
Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho: MA2 + MB2 nhỏ nhất
Bài 2. (B-2007)
	Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mp (P): 2x – y + 2z – 14 = 0
Viết phương trình mp (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3
Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất
Bài 3. (A-2007)
	Cho hai đường thẳng và 
Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2.
Bài 4. (A-2008)
	Cho A(2;5;3) và đường thẳng d: 
Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d
Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất
Bài 5. (B-2005)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C1(0;0;4)
Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC1B1)
Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt A1C1 tại N. Tính độ dài MN
Bài 6. (D-2010)
	Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 =0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R ) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng các htu72 O đến (R) bằng 2.
	Nâng cao: Cho hai đường thẳng và . Xác định tọa độ điểm M thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng 1
Bài 7. (A-2010)
	Chuẩn: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của và (P), M là điểm thuộc . Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 
	Nâng cao: Cho A(0;0;-2) và đường thẳng . Tính khoảng cách từ A đến . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Bài 8. (B-2010)
	Chuẩn: Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z +1 = 0. Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng