Một só bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian

MỘT SÓ BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Ngô Bá Giang
Giáo viên THPT YÊN PHONG 2
Xã Yên Trung - huyện Yên Phong - tỉnh Bắc Ninh
 	Bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian là dạng bài toán thường gặp trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Cao đẳng và Đại học. TS YP2 giới thiệu với bạn đọc một số dạng của bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian nhằm giúp người học có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán.
Bài toán 1: Cho hai đường thẳng chéo nhauvà điểm A. Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với .
HD: lần lượt là véc tơ chỉ phương của . Do d vuông góc nên d có một véc tơ chỉ phương là .
Ví dụ:( ĐH 2006D) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng : d1: ; d2: .
Tìm điểm A/ đối xứng với A qua (d1). 
 Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với d1,d2.
Lời Giải: d1 có một véc tơ chỉ phương và phương trình tham số là .
 Gọi thì . Điểm I là hình chiếu vuông góc của A trên d1 . Nên I(0;-1;2).
Điểm A/ đối xứng với A qua d1 I là trung điểm của A/ (-1;-4;1).
2. lần lượt là véc tơ chỉ phương của .. Do d vuông góc nên d có một véc tơ chỉ phương là , Vậy đường thẳng d cần tìm đi qua A(1;2;3) có phương trình chính tắc là d: .
Chú ý: Nếu song song thì .Ta viết phương trình mặt phẳng (P) chứa thì d là đường thẳng qua A và vuông góc (P).
Bài toán 2: Cho điểm A,mp(P), đường thẳng dsao cho:.Viết phương trình đường thẳng đi qua A song song (P) và vuông góc d.
HD: lần lượt là véc tơ chỉ phương củavà véc tơ pháp tuyến của (P). 
Nếu thì là véc tơ chỉ phương của từ đó viết được phương trình của .
Nếu tức là khi đó ta lập (Q) qua A và chứa d. Đường thẳng cần tìm đi qua A và vuông góc với (Q).
Ví dụ: (CĐ Điện lực TP HCM 2006).Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;-2), mặt phẳng (P):x-y-z-1=0, đường thẳng d: . Lập phương trình chính tắc của đường thẳng qua A, song song với (P) và vuông góc với d.
Lời giải: lần lượt là véc tơ chỉ phương của và véc tơ pháp tuyến của (P) có . Vậyđi qua A song song (P) và vuông góc d sẽ nhận làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là: 
Bài toán 3: Cho đường thẳng d,mp(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trên (P), cắt và vuông góc d.
HD: Tìm ; lần lượt là véc tơ chỉ phương của d và véc tơ pháp tuyến của (P). . Đường thẳng đi qua A, có một véc tơ chỉ phương .
Ví dụ: (ĐH 2009D)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz 
cho mặt phẳng (P):x+2y-3z+4=0, đường thẳng thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng thuộc (P), cắt và vuông góc với d.
Lời giải: Tọa độ giao điểm A của (P) và d là nghiệm của hệ: 
Nên A(-3;1;1). lần lượt là véc tơ chỉ phương của d và véc tơ pháp tuyến của (P). . Đường thẳng cần tìm đi qua A, có một véc tơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là: .
Bài toán 4:(CĐ KT Cao Thắng 2007). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (P):y+2z=0.
d1:; d2 : . Viết phương trình đường thẳng thuộc (P) và cắt cả d1, d2.
Lời giải:
 Thay vào phương trình của (P) được t=0. Vậy giao điểm của d1và (P) là A(1;0;0). Thay vào phương trình của (P) được. Vậy giao điểm của d2 và (P) là B(4;-2;1)
. Đường thẳng cần tìm đi qua A nhận làm véc tơ chỉ phương có phương trình là: .
Bài toán 5:(ĐH Sài Gòn 2007D). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d1: 
d2: . Chứng minh rằng d1và d2: chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1,d2. 
Lời giải: 
 lần lượt là véc tơ chỉ phương của , nên d1và d2: chéo nhau.
d2 có phương trình dạng chính tắc là. Gọi ,
. Ta có . Điểm A,B thuộc đường vuông góc chung của d1và d2: . nên ,. Đường vuông góc chung của d1và d2 đi qua A và có một véc tơ pháp tuyến nên phương trình là: 
Bài toán 6: (ĐH 2004B).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với d.
HD: 	Cách 1: Lập phương trình mp(P) đi qua A và vuông góc d. Tìm B là giao điểm của (P) và d. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB
Cách 2: d có 1 véc tơ chỉ phương là , 
 Đương thẳng cần tìm đi qua A,B.
Bài toán 7: (ĐH Thủy Lợi 1997A).Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3;-2;-4), song song với mặt phẳng (P): 3x-2y-3z-7=0, đồng thời cắt đường thẳng d: .
HD :Cách 1:	Bước 1:Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P).
 	Bước 2: Tìm . Đường thẳng cần tìm là đường thẳng AB.
 Cách 2: Giả sử (là véc tơ pháp tuyến của (P)).Do song song với (P) nên. Vậy đi qua A,B.	,	
Bài toán 8: (ĐH 2007A).Trong hệ tọa độ Oxyz cho d1: , d2: .
 Chứng minh rằng d1;d2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng cắt d1;d2 . đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P):7x+y-4z=0.
HD:Chứng minh chéo nhau như bài toán 5.
Cách 1: 	Bước 1:Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P).
 	Bước 2: Tìm . Đường thẳng cần tìm đi qua B và vuông góc với (P).
Cách 2: Giả sử cắt lần lượt tại M(2s;1-s;-2+s), N(-1+2t;1+t;3) . Do vuông góc với (P) nêncùng phương . Vậy đi qua M,N.
Một số bài toán tự luyện:
Bài toán 9: (CĐ GTVT III -2007) .Trong không gian Oxyz cho (P): 2x-y+2z-3=0 và hai đường thẳng 
(d1): ,(d2): .
Chứng tỏ d1 song song (P), d2 cắt (P).
 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1;d2
Viết phương trình đường thẳngsong song (P), cắt d1;d2 lần lượt M và N: MN=3.
Bài toán 10: (CĐSP TPHCM 2006) Trong không gian Oxyz cho (P):x- 4y- 2z=0, 
d1: ;d2: . Chứng tỏ d1;d2 chéo nhau. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) cắt d1và vuông góc với d2.
Bài toán 11: (CĐ Kinh Tế HCM 2007A) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(2;1;-3), 
mặt phẳng (P): đường thẳng (d): . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song (P) và vuông góc d.
Bài toán 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): và đường thẳng d : . Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vuông góc của d trên (P).
Bài toán 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d1: ;d2 : 
và A(0;1;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 đồng thời cắt d2 
Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ; . Viết phương trình đường thẳng song song với , đồng thời cắt d2;d3
Bài toán 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(1;-1;1), ;
 . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M đồng thời cắt .