Ôn tập Hình học 10 (nâng cao)

LÝ THUYẾT:
 VÉC TƠ
Các định nghĩa:
	* Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.
	* Ký hiệu là véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.
	* Giá của véc tơ là đường thẳng đi qua A và B.
	* Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ lớn (độ dài) của véc tơ .
	* Chiều từ gốc A đến ngọn B gọi là hướng của véc tơ .
	* Véc tơ không là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Ký hiệu: .
	* Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ có giá song song hoặc trùng nhau.
	+ ; + Tính chất: ; .
	+ ; + Tính chất: ; 
; + T.chất: 
Cho điểm O cố định và véc tơ không đổi $! điểm M sao cho .
Tổng của hai véc tơ:
1. Định nghĩa:
	Tổng của hai véc tơ là một véc tơ được xác định như sau:
	Từ một điểm A bất kỳ xác định các điểm B và C sao cho . Khi đó véc tơ được gọi là tổng của hai véc tơ .
	Ký hiệu: 
2. Tính chất:
 4. Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: 
	5. Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì:
	6. M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û 
	7. G là trọng tâm của DABC Û 
Hiệu của hai véc tơ:
1. Véc tơ đối của một véc tơ:
	* Nếu thì ta nói là véc tơ đối của , hoặc là véc tơ đối của .
	* Ký hiệu véc tơ đối của véc tơ là - . Từ đó suy ra:
	Véc tơ đối của véc tơ là véc tơ ngược hướng với véc tơ và có cùng độ dài với véc tơ .
	* Véc tơ đối của véc tơ là véc tơ .
2. Hiệu của hai véc tơ:
	* - = + (-).
	* Cho trước véc tơ thì " điểm O ta luôn có: 
Phép nhân một số với một véc tơ:
1. Định nghĩa:
	* Tích của véc tơ với số thực k là một véc tơ, ký hiệu là k và được xác định như sau:
	1) Về hướng: Nếu k ³ 0 thì kJ.
	 Nếu k £ 0 thì kE.
2) Về độ lớn: ÷ k÷ = ÷ k÷.÷ ÷.
	* Nhận xét: . 1. = .
	. (-1). = -.
2. Các tính chất của phép nhân véc tơ với một số:
	Với hai véc tơ , bất kỳ và mọi số thực k, l, ta có:
	1) k(l) = (kl) .
	2) (k + l) = k + l; (k – l) = k - l.
	3) k( + ) = k + k; k( - ) = k - k.
	4) . k = khi và chỉ khi k = o hoặc = .
	 . 1. = .1 = .
3) Quan hệ giữ hai véc tơ cùng phương:
	Định lý: 
1. Cho hai véc tơ và , ¹ thì và cùng phương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất số thực k sao cho = k
2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có một số k sao cho 
4) Phân tích một véc tơ theo hai véc tơ không cùng phương:
	Định lý: Cho hai véc tơ và không cùng phương. Với mọi véc tơ , tồn tại duy nhất cặp số thực (m, n) sao cho: = m + n
	. Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, ta có: .
	. Điểm G là trọng tâm của DABC khi và chỉ khi với điểm O bất kỳ, ta có:
Tọa độ của véc tơ và của điểm:
	1) Đối với hệ trục tọa độ hay Oxy
	1. 
	2. 
	2) Nếu A = (x; y), B = (x’; y’) thì 
	3) Nếu thì:
	1. 
	2. 
Giá trị lượng giá của một góc
1. Tỷ số lượng giác của góc a bất kỳ: (00 £ a £1800)
	 M(x; y) là điểm thuộc nửa đường tròn đơn vị, a là góc giữa Ox và OM thì:
	2. Các công thức cần nhớ:
	*. Hai góc phụ nhau: a và 900 - a 
 sina = cos(900- a); cosa = sin(900- a); tana = cot(900- a); cota = tan(900- a)
	*. Hai góc bù nhau: a và 1800 - a 
sina = sin(1800- a); cosa = - cos(1800- a); 
tana = - tan(1800- a); cota = - cot(1800- a)
	3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Góc
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
sin
0
1
0
cos
1
0
-1
tan
0
1
÷÷
-1
0
cot
÷÷
1
0
-1
÷÷
Tích vô hướng của hai véc tơ:
1. Góc giữa hai véc tơ:
	*. Định nghĩa: Cho hai véc tơ và . Từ điểm O bất kỳ ta dựng các véc tơ 
 Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai véc tơ và .
	*. Ký hiệu: .
	*. Chú ý: + Nếu hoặc là véc tơ thì góc giữa hai véc tơ và là tùy ý (từ 00 đến 1800).
	 + Nếu = 900 thì ^ .
	 + = 00 Û J ; = 1800 Û E .
2. Tích vô hướng của hai véc tơ:
	*. Định nghĩa: 
	*. Công thức hình chiếu: với là hình chiếu của véc tơ trên đường thẳng chứa véc tơ 
	*. Các tính chất của tích vô hướng và các hằng đẳng thức:
3. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn:
	*. Định nghĩa: PM/(O) = 
	*. Chú ý: 
	+ M Î (O) Û PM/(O).
	+ M nằm trong đường tròn (O) Û PM/(O) < 0.
	+ M nằm ngoài đường tròn (O) Û PM/(O) > 0.
	+ M nằm ngoài đường tròn (O) và MT là tiếp tuyến (T là tiếp điểm) thì PM/(O) = 
4.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng:
	Trong hệ tọa độ cho hai véc tơ . Khi đó:
B- BÀI TẬP :
1. Cho DABC. Gọi A’ đối xứng với A qua B; B’ đối xứng với B qua C và C’ đối xứng với C qua A. CMR: DABC và DA’B’C’ có cùng trọng tâm.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD 
	 a) CMR: 
 b) Gọi G là trung điểm của IJ, CMR: 
	 c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD ; M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. CMR: ba đường thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
3. Cho DABC trọng tâm G. Gọi D, E là các điểm xác định bởi 
	 a) Tính và theo và .
	 b) CMR: ba điểm D, G, E thẳng hàng.
4. Cho DABC.
	 a) Xác định các điểm D, E thỏa mãn các đẳng thức: 
	 b) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức: .
5. Cho DABC. Gọi D là điểm xác định bởi , M là trung điểm của BD. a) Tính theo và .
	 b) AM cắt BC tại I. Tính và 
6. Cho DABC. Gọi D và E là các điểm xác định bởi Gọi K là trung điểm của DE và M là điểm xác định bởi 
	 a) Tính theo và x.
	 b) Tìm x sao cho A, K, M thẳng hàng.
7. Cho hình thang ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BC tại M và N. CMR:
	 Trong đó 
8. Cho tam giác ABC và trung tuyến CC1, đường thẳng nối A với trung điểm M của CC1 cắt cạnh BC tại P. Chứng minh rằng: .
9. Đối với hệ trục Oxy cho ba điểm A = (a1;a2), B = (b1;b2), C = (c1;c2)
a) Tính toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AC
b) Xác định toạ độ của điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
10. Cho tứ giác ABCD, trên các cạnh AB và CD lấy lần lượt các điểm M,N. Gọi P, Q là giao điểm của các đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của hai tứ giác AMND và MBCN. Chứng minh rằng không phụ thuộc vào việc chọn các điểm M, N.
11. Gọi M và N là các điểm chia đoạn thẳng AB = a theo tỷ số m và n ( m và n đều lớn hơn 1)
	 a) Tính theo a, m, n các đoạn thẳng MA, NA, NB và MN.
	 b) Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN, tính: 
12. Gọi AM là phân giác của tam giác ABC với AC = b, AB = c 
	CMR: 
13. Cho tam giác ABC, Tìm tập hợp điểm M thoả mãn:
14. Cho DABC. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác, A’ là điểm đối xứng với A qua O, D là trung điểm của BC.
a) Xét quan hệ giữa các véc tơ: và ; và 
	b) CMR: 
	c) CMR: 
	Từ đó suy ra O, G, H thẳng hàng. Tìm tỷ số mà điểm G chia đoạn thẳng OH 
	d) CMR: 
15. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H; trên BD lấy điểm K sao cho CMR: A, K, H thẳng hàng.
16. Cho DABC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm được xác định bởi . CMR: 
a) DABC và DA’B’C’ có cùng trọng tâm.
	b) với M là điểm bất kỳ.
17. Cho DABC và M là điểm bất kỳ:
a) CMR: véc tơ: là không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
	b) Tìm điểm I sao cho: .
	c) CMR: đường thẳng MN xác định bởi đi qua một điểm cố định.
	d) Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 
	e) CMR: với 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn hệ thức sau đây thì A, B, C thẳng hàng. 
18. Cho 6 điểm bất kỳ A, B, C, D, E, F. CMR: 
19. Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, DB, AC. CMR:
20. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G . Gọi A1, B1, C1, D1 lần lượt là trọng tâm của DBCD, DCDA, DDAB, DABC. CMR:
	a) G là trọng tâm của tứ giác A1B1C1D1. 
	b) A, G, A1 thẳng hàng và tính: 
21. Cho DABC có AB = 3, AC = 4, I Î AD là phân giác trong của tam giác sao cho: , M là trung điểm của AC.
	a) Tính 
	b) Tính và 
	c) Tính và . Từ đó suy ra B, I, M thẳng hàng.
22. Cho DABC và điểm M tùy ý.
	a) CMR: không phụ thuộc vị trí điểm M.
	b) Xác định điểm I sao cho: 
	c) Đường thẳng FQ thay đổi thỏa mãn: . CMR:
PQ luôn đi qua một điểm cố định.
	d) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
23. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng D. Tìm trên D điểm M sao cho:
	 có giá trị nhỏ nhất.
	 có giá trị nhỏ nhất.
	 có giá trị nhỏ nhất.
24. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 1), B(2; 4), C(1; 3).
a) CMR: A, B, C thẳng hàng.
 b) Xác định tọa độ điểm E sao cho DABE nhận M(1; 2) là trọng tâm và tính SDABE. Xác định tọa độ điểm D sao cho 4 điểm A, B, C, D lập thành một hàng điểm điều hòa.
25. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5).
a) CMR A, B, C không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
	b) Xác định tọa độ điểm I sao cho: 
	c) Tìm tập hợp điểm M sao cho: 
26. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-1; 4), B(-4; 0), C(2; -2).
	a) CMR: $ DABC.
	b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
	c) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp DABC.
	d) Tính chu vi và tọa độ trọng tâm G của DABC.
	e) Tính độ dài trung tuyến BI của DABC.
	f) Đường thẳng AC cắt Ox, Oy tại M, N. Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB theo tỷ số nào?
	g) Phân giác trong của góc ABC cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
	h) Tìm điểm P Î Ox sao cho (PA + PC) nhỏ nhất?
27. Cho O là tâm và M là điểm tùy ý thuộc miền trong của tam giác đều ABC. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC tại C1, B1; kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB, BC tại C2, A2; kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC, BC tại B2, A1. Gọi D, E, F là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB. CMR: 	a) Các tam giác: MA1A2, MB1B2, MC1C2 đều.
	b) 
c) 
28. Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của DABC có các cạnh a, b, c. CMR: 
	a) 
	b) H, G, O thẳng hàng và HO = 3.GO.
	c) I là tâmđường tròn nội tiếp DABC.
	d) DABC đều.
29. Cho không cùng phương với 
	a) CMR: không cùng phương với 
	b) Tìm x sao cho: cùng phương với 
	c) Tìm x sao cho: cùng phương với 
30. Cho DABC vuông tại A, M là điểmm thay đổi trong tam giác và D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. Tìm tập hợp những điểm M sao cho: 	
31. Cho DABC. Lấy điểm A1 thuộc đoạn BC thỏa mãn ; C1 thuộc đoạn AC sao cho . Tính tỷ số: và .
32. Cho DABC vuông tại C, H là hình chiếu của C trên AB. Lấy các điểm M Î AB, N Î AC sao cho BM = BC, CN = CH. CMR: MN ^ AC.
33. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J, K là các điểm xác định bởi:
. CMR: điều kiện cần và đủ để I, J, K thẳng hàng là: .
34. Sử dụng phương pháp tọa độ, chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpski biến dạng: Cho hai bộ số thực (a1, a2, a3, . . ., an) và (b1, b2, b3, . . ., bn). CMR:
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi có duy nhất số thực t thỏa ai = t.bi " 
35. Chứng minh định ;lý Mênêlauýt:
Cho DABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A’, B’, C’ thẳng hàng là: 
36. Chứng minh định lý Xêva:
Cho DABC và cá điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc BC, CA, AB. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hay song song là: 
37. Chứng minh các hằng đẳng thức:
	 a) cos2a( cos4a + sin2a.cos2a + sin2a + tg2a) = 1
	 b) 1 - (sin6a + cos6a) = 3sin2a cos2a
38. a) Rút gọn biểu thức: 
	 b) Tính giá trị của A biết 
39. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 
 (Các giá trị của a và c thỏa mãn để biểu thức có nghĩa).
40. Chứng minh các biểu thức sau:
41. CMR các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x.
	A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x)
	B = cos6x + 2sin4x.cos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x
	C = (tgx + cotgx)2 - (cotgx - tgx)2
	D = ;	E = 
42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 2), B(6; 4), C(4; 2)
	a) CMR: $ DABC. Tính cosB, tính SDABC ?
	b) Tìm điểm M Î Ox sao cho DMAB vuông.
	c) Tìm tọa độ trực tâm H của DABC.
d) Tìm điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình thang vuông tại E và A.
43. Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng d. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với d tại H cắt đường tròn tại A, B. Đường thẳng d1 đi qua H cắt đường tròn (C) tại M, N. Các đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng d tại M’, N’. CMR:
	a) 
	b) Đường tròn ngoại tiếp DAM’N’ đi qua một điểm cố định khác điểm A khi d1 di động.
44. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, C vẽ đường tròn (O) bất kỳ. Từ B hạ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn tại M, M’.
	a) Tìm tập hợp trung điểm I của MM’khi đường tròn (O) thay đổi (vẫn đi qua A, C).
	b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua O. CMR: và tìm tập hợp các điểm M, M’.
45. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Qua A, B vẽ đường tròn (O) bất kỳ. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CM’ với (O).
	a) Tìm tập hợp M, M’ khi (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B.
	b) Gọi H là trung điểm của MM’. CMR: và đường thẳng MM’ đi qua một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB.
	c) Tìm tập hợp những điểm H.
46. Cho đường tròn (O; R) và dây CD có trung điểm H. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt SO, OH tại E, F.
	a) CMR: .
	b) CMR: .
	c) Khi S di động trên tia đối của tia DC, CMR: đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
47. Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A vẽ các tiếp tuyến MP, MP’ với đường tròn. Dây PP’ cắt OM tại M’ và cắt OA tại B.
	a) CMR: OA.OB = OM.OM’ = R2.
	b) Khi M di động trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn nội tiếp DMPP’ di chuyển trên đường nào?
48. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin4x - sin2x + cos2x.
49. Cho DABC. Tìm {M}÷ .	
50. Cho DABC có góc A nhọn. ở miền ngoài DABC vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm BC. CMR: AI ^ DE.
51. Cho DABC nội tiếp (O), trung tuyến CC’ cắt (O) tại điểm thứ hai D. 
CMR: CA2 + CB2 = 2CC’.CD.
52. Cho DABC nội tiếp (O). Một đường tròn (O’) thay đổi, đi qua A và trung 
điểm M của BC cắt BC tại điểm thứ hai E, và cắt (O) tại điểm thứ hai F. Gọi F1 là giao điểm của AF và BC. CMR: a) 
	 b)