Sáng kiến kinh nghiệm: Một số dạng bất phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp

gi¶i. 
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
1) 
2x 1 4 x 1 2 4 3x x       (1) 
2) 22x 1 9 16x 4x 9 2x 5       (2) 
3) x + 
2 210 x x. 10 x 7    (3) 
4) x  2 25 x x. 5 x 1    (4) 
Gi¶i: 
1) §iÒu kiÖn: 1 ≤ x ≤ 4 
 §Æt: t = 1 x 4 x;   5 t 10  
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 19 
  
2
2t 1 x 4 x     
 2t 1 x 4 x 2 1 x. 4 x        
 2 22 4 3x x t 5     
(1)
2 2
t 3
t 1 t 5 t t 6 0
t 2;

            lo¹i
VËy: 21 x 4 x 3 1 x 4 x 2 4 3x x 9            
2 2
2
2 4 3x x 4 4 3x x 4
x 3x 0 0 x 3;
       
     
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ 
S = (0 ; 3). 
2) §iÒu kiÖn: 
1 9
x
2 2
  
 §Æt: t = 2x 1 9 2x;   10 t 10   
2t 2x 1 9 2x 2 2x 1. 9 2x        
2 2
2
2
t 10 2 9 16x 4x
10 t
9 16x 4x
2
    

   
2(2)
2 2
t 010 t
t 5 2t 10 t 10 t 2t 0
t 22

            
VËy: 
    

   
2x 1 9 2x 0 (I)
2x 1 9 2x 2 (II)
+) Gi¶i (I): 2x 1 9 2x 2x 1 9 2x 4x 8 x 2           
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: 
1
x 2
2
   
+) Gi¶i (II): 
 
2
2x 1 9 2x
2x 1 9 2x 4
   

   
2
2x 1 9 2x
10 2 9 16x 4x 4
  

   
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 20 
2
4x 8
2 9 16x 4x 6


  
2
x 2
9 16x 4x 9


  
2
x 2
4x 16x 0


 
x 2
x 4
x 0


 
 
 x 4  
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: 4 < x ≤ 
9
2
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ 
S = 
1 9
; 2 4 ;
2 2
   
      
. 
3) §iÒu kiÖn: 10 x 10   
 §Æt: t = x + 210 x 
 
2
2 2
2 2 2 2
2
2
t x 10 x
t x 10 x 2x 10 x
t 10
x. 10 x
2
   
     

  
2(3)
2 2t 10t 7 t 2t 10 14 t 2t 24 0 6 t 4
2

               
VËy: 
22
22
10 x 4 xx 10 x 4
10 x (x 6); x 10 ; 10x 10 x 6
      
 
             
®óng
2 210 x (4 x)    (Hai vÕ kh«ng ©m, do: 10 x 10   ) 
2 2 2
x 3
10 x 16 8x x 2x 8x 6 0
x 1

           
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ 
S =  10 ;1 3 ; 10    . 
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô t th×: 10 t 5   
4) §iÒu kiÖn: 5 x 5   
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 21 
 §Æt: t = 2x 5 x  
  
2
2 2t x 5 x    
 2 2 2 2t x 5 x 2x 5 x      
2
2 5 tx. 5 x
2

   
2(4)
2 25 tt 1 2t 5 t 2 t 2t 3 0 1 t 3
2

               
VËy: 
2
2
x 5 x 3
x 5 x 1
   

   
2
2
5 x x 3; ; 5
5 x x 1
         

   
®óng x 5
 2
2 2 2 2
x 1 0 x 1
5 x x 1
5 x (x 1) 5 x x 2x 1
    
      
       
2
x 1
x 1
x 1x 1
2x 2x 4 0
x 2
 
  
    
     
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (4) lµ 
S = 1 ; 5 . 
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho Èn phô t th×: 10 t 5   . 
Bµi to¸n 2. Cho ph-¬ng tr×nh 
2x 2 m 7 x 14 5x x       (*) 
a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (*) víi m = 3 
b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm 
c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng    x 2 ; 7 . 
Gi¶i: 
§iÒu kiÖn: 2 x 7  
 §Æt: t = x 2 7 x   ; 3 ≤ t ≤ 3 
  
2
2t x 2 7 x     
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 22 
 2t x 2 7 x 2 x 2. 7 x        
    214 5x x 
29 t
2


          
2(*)
2 29 tt m 2t 2m 9 t t 2t 9 2m (**)
2
a) m = 3,            
(**)
2 2t 2t 9 6 t 2t 3 0 3 t 1 
VËy: 
 
    

       
x 2 7 x 1
x 2 7 x 3, ®óng x 2 ; 7
     x 2 1 7 x 
           x 2 1 7 x 2 7 x 2 7 x 2x 6 
    
  
                    
         


         
  

2
2 2
7 x 0 x 7
x 3
2x 6 0 x 3
x 3
2x 6 0 x 3
x 5x 2 0
4(7 x) 4(x 3) 7 x x 6x 9
x 3
x 3
x 3 5 17
x5 17
23 x5 17 5 17
x 2
2 2
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (*) lµ 
S = 
 
 
 
5 17
2 ;
2
. 
b. BÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm  bÊt ph-¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm t tho¶ 
m·n: 3  t  3. 
 Gäi f(t) = t2 + 2t  9; 3  t  3 
 B¶ng biÕn thiªn: 
t  3 1 3 + 
f(t) 
6 
 6 
  10  f(t)  6; t  [3 ; 3] 
 –10 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 23 
 Do ®ã (**) cã nghiÖm  10  2m  m ≥ 5 
KÕt luËn: m ≥ 5, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm. 
c. BÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng víi x  [2 ; 7]  bÊt ph-¬ng tr×nh 
(**) nghiÖm ®óng t  [3 ; 3]. 
 Theo kÕt qu¶ trªn, cã: 6  2m  m ≥ 3. 
KÕt luËn: m ≥ 3, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) nghiÖm ®óng x  [2 ; 7]. 
Bµi to¸n 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh 
      22x 4 16 2x 2 16 6x x m (1) 
 a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (1) víi m = 2. 
 b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. 
 c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng x  [2 ; 8]. 
Gi¶i: 
 §iÒu kiÖn: 2  x  8 
 §Æt: t = 2x 4 16 2x;   2 5 t 2 10  
  t2 =    
2
2x 4 16 2x 
  t2 = 2x 4 16 2x 2 2x 4 . 16 2x      
  
2
2 t 202 16 6x x
2

   

           
2(1)
2 2t 20t m 2t t 20 2m t 2t 20 2m (2)
2
a) m = 2,           
(2)
2 2t 2t 20 4 t 2t 24 0 4 t 6 
VËy: 
    

       
2x 4 16 2x 6
2x 4 16 2x 4; ®óng x [ 2 ; 8]
  2x 4 16 2x 6     2x 4 16 2x 2 2x 4 . 16 2x 36       
        2 24 16 6x x 16 16 6x x 16 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 24 
  

    
2
x 6
x 6x 0
x 0
 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn, cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ 
S = [2 ; 0]  [6 ; 8]. 
b) BÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm  bÊt ph-¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm t tho¶ 
m·n: 2 5 t 2 10  
 Gäi f(t) = t2  2t  20; 2 5 t 2 10  
 B¶ng biÕn thiªn: 
t  1 2 5 2 10 + 
f (t) 
 20 4 10 
4 5 
     4 5 f(t) 20 4 10 ; t   
 
2 5 ; 2 10 
 Do ®ã (2) cã nghiÖm  4 5 2m m 2 5     
KÕt luËn: m  2 5 , bÊt ph-¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm. 
c. BÊt ph-¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng x  [2 ; 8]  bÊt ph-¬ng tr×nh (2) 
nghiÖm ®óng t   
 
2 5 ; 2 10 
 Theo kÕt qu¶ trªn, cã: 20  4 10  2m  m  2 10  10 
KÕt luËn: m  2 10  10, bÊt ph-¬ng tr×nh (1) nghiÖm ®óng víi mäi x thuéc 
®o¹n [2 ; 8]. 
Bµi tËp t-¬ng tù. 
Bµi 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
 1)   23 x 3 5 x 4 2 15 2x x       
 2) 
21 x x x x 1     
 3) 
2x x 2 1 x 1 x 2       
 4) 
x 1
x 1 4 x (x 4). 3
4 x

     

NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 25 
 5) 
5 2x
2x 5 2x x . 2
2x

    
 6) 

      

6 x
x 1 6 x (1 x) . 1 0
x 1
. 
Bµi 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh: 
  23 x 2 3 x m 6 x x       
 a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 7. 
 b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm. 
 c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng x  [2 ; 3]. 
 d) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. 
Bµi 3. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh: 
x 1 x x(1 x) m     
 a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 1. 
 b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm. 
 c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng x  [0 ; 1]. 
 d) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 26 
D¹ng 8 
D¹ng nµy cã c¸ch gi¶i t-¬ng tù d¹ng 7, sau ®©y lµ c¸c bµi to¸n minh ho¹. 
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
 1. 25 2x x 2 2 10 x 2x x 5        (1) 
 2. 2x 8 x x 8x x 0      (2) 
Gi¶i: 
1) §iÒu kiÖn: 2  x  
5
2
 §Æt: t 5 2x x 2    ; t > 0 
   
2
2t 5 2x x 2    
  
2t 5 2x x 2 2 5 2x. x 2       
  
2 2t 7 x 2 10 x 2x     
  
2 22 10 x 2x x t 7     

           
(1)
2 2
t 3
t t 7 5 t t 12 0
t 4 (lo¹i)
VËy:            5 2x x 2 3 5 2x x 2 2 5 2x. x 2 9 
          2 2 22 10 x 2x x 2 4(10 x 2x ) (x 2) (Hai vÕ kh«ng ©m) 
        2 2 240 4x 8x x 4x 4 9x 36 
     2x 4 2 x 2 ; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ 
S = [2 ; 2]. 
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho t th× lµm nh- sau: 
+)  
2
2 5 5t 2. x x 2 2 1 x x 2
2 2
   
           
  
    2
27 3
t t 3.
2 2
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 27 
+)           2 2
5 9 3
t 7 x 2 5 2x. x 2 7 t t
2 2 2
 
     
 
     
5 5
x x
2 2V× :
2 5 2x. x 2 0
 VËy:  
3 3
t 3.
22
. 
2) §iÒu kiÖn: x ≥ 0 
 §Æt: t x 8 x, t 0    
   
2
2t x 8 x   
  2t x 8 x 2 x. x 8     
  
2
2 t 8x x 8x
2

   

          
2(2)
2t 8t 0 t 2t 8 0 4 t 2
2
VËy: 
   

     
x 8 x 2
x 8 x 4; §óng x 0
    x 8 x 2 
   x 8 x 2     x 8 x 4 4 x 
     4 x 4 x 1 x 1 
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ 
S = (1 ; +). 
Chó ý: NÕu t×m ®iÒu kiÖn cho t th× lµm nh- sau: 
+) Do x 8 x 0   ; x ≥ 0  t > 0 
+) 
2t 8 2x 2 x(x 8) 8 2 x ( x 8 x) 8            2t 8 t 2 2 
+) VËy:  0 t 2 2 . 
C¸ch gi¶i kh¸c: 
          
(2)
x 8 x(x 8) x x 0 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 28 
     x 8 1 x x 1 x 0     
    1 x x 8 x 0    
  1 x 0        × : x 8 x 0; x 0V 
  x 1 
  x > 1 
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ 
S = (1 ; +). 
Bµi to¸n 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh: 
22 x 1 2 x 2 x x x 2 m (*)        
 a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh (*) víi m = 11. 
 b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm. 
 c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm. 
Gi¶i: 
 §iÒu kiÖn: x ≥ 2 
 §Æt: t = x 1 x 2   ; t ≥ 3 
2t x 1 x 2 2 x 1. x 2        
      2 2t 2x 1 2 x x 2 (t2  2.2 – 1  t2  3  t  3 ) 

    
2
2 t 1x x x 2
2

      
2(*)
2t 12t m t 4t 1 2m
2
 (**) 
a) m = 11,           
(**)
2 2t 4t 1 22 t 4t 21 0 7 t 3 
VËy: 
    

      
x 1 x 2 3
x 1 x 2 7; §óng x 2
     x 1 x 2 3 
 x 1 x 2 2 x 1. x 2 9            22 x x 2 10 2x 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 29 
     2x x 2 5 x  
 

    
2 2
5 x 0
x x 2 x 10x 25

 

x 5
9x 27

  

x 5
x 3
x 3
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, ta cã tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (*) lµ 
S = [2 ; 3]. 
b) BÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm  bÊt ph-¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm t tho¶ 
m·n: t ≥ 3 
 Gäi f(t) = t2 + 4t + 1; t ≥ 3 
 B¶ng biÕn thiªn: 
 t  2 + 
 f(t) 
  f(t) ≥ 4 + 4 3 ; t ≥ 3 
Do ®ã (**) cã nghiÖm t ≥ 3  4 + 4 3 ≤ 2m  m ≥ 2 + 2 3 
KÕt luËn: m ≥ 2 + 2 3 , bÊt ph-¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm. 
c) Theo phÇn trªn, bÊt ph-¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm khi m < 2 + 2 3 . 
Bµi tËp t-¬ng tù. 
Bµi 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh: 
 1) 
2x 3 5 2x x 4 2 15 x 2x        
 2) 
22x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3       
 3) 
2x 1 1 2x 2 1 x 2x x 4        
 4) 
2x 2 7 3x 14 x 3x      + x > 5 
 5) 3 7 3x x  2x 7x 3x   
 6) 
2x 2 x 1 x x x 2 1        . 
3 
4 + 4 3 
+ 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 30 
Bµi 2. Cho bÊt ph-¬ng tr×nh: 
     26 2x x 2 6x 2x m x 
 a) Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh víi m = 6. 
 b) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm. 
 c) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh nghiÖm ®óng x  [0 ; 3]. 
 d) T×m m ®Ó bÊt ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm. 
Chó ý: 
 t = 6 2x x  ; 0 ≤ x ≤ 3 
+) t2 =   
2
6 2x x = 6  x + 2 6 2x. x 6 3 3     t2 ≥ 3 
+) t2 =        
2
2. 3 x x (2 1)(3 x x) 9  t2 ≤ 9 
+) VËy: 3 ≤ t ≤ 3. 
D¹ng 9 
Mét sè ph-¬ng ph¸p kh¸c ®Ó gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh chøa c¨n thøc bËc hai 
thÓ hiÖn trong c¸c bµi to¸n d-íi ®©y. Do thêi gian h¹n hÑp, nªn c¸c bµi to¸n 
d-íi ®©y t«i chØ giíi thiÖu mét c¸ch gi¶i mµ t«i cho lµ dÔ hiÓu nhÊt. 
Bµi to¸n 1. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
 1) 2 2
1
x x x 1
4
    (1) 
 2) 

     
x 3
x 2 x 1 x 2 x 1
2
 (2) 
3) x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2        (3) 
4) x2  2 + x 2 (4) 
Bµi to¸n 2. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
 1) 
24 x 4
2
x
 
 (1) 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 31 
 2) 
2x 4 4
2
x
 
 (2) 
 3) 2 2(x x 6). x 1 0    (3) 
 4) 2 2(x 3x 4). x x 2 0     (4) 
 5) 2 2(x 3x 4). x x 2 0     (5) 
6) 2 2x 9 (x 3). x 1    (6) 
7) 
2
2
x 4
x 2
x 1

 

 (7) 
8) 3x 5 x 3 2x 8     (8) 
9) 4 2x 1 4. x 3 x 4     (9) 
10) 2 x 1 x 2 x 2     (10) 
11) x 2 1 x 2x 1     (11) 
12) 
2 2x 4x 12 x x 6 x 2       (12) 
Bµi to¸n 3. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
1) 
 
2
2
x
2x 3
x 1 1
 
 
 (1) 
2)     2 22 x 1 x 2x 1 (2) 
3) 
2 2x 2x 8 2x 4x 1 11      (3) 
4) 
2 2x x 1 x x 1 2      (4) 
5) 
22(x 16) 7 x
x 3
x 3 x 3
 
  
 
 (5) 
6) 
2 23 x x 2 x x 1      (6) 
7) 
x 2 x 1
6 5
x 1 x 2
 
 
 
 (7) 
8) 
2x x 2 2 x 2 2 x 1       (8) 
9) 
4x 3 2 x
2
x
  
 (9) 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 32 
10) 
x 1 6 3x 1
2x 1 3 x
  

  
 (10) 
11) 
x 2 5 x
1
x 7
  


 (11) 
12) 
21 1 4x
3
x
 
 (12) 
Bµi to¸n 4. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
1)    2 24x 1 . x 1 2 x 1 2x 1      (1) 
2) 2 2(x 1). x 2x 3 x 1     (2) 
3)  2 2x 4x 3 3x 2 . x 2x 3      (3) 
Bµi to¸n 5. Gi¶i c¸c bÊt ph-¬ng tr×nh sau: 
 1) 
2x 2x 5 x 1 2     (1) 
 2) 
3 2 22x x 4x 4 x x 2      (2) 
 3) 2x 2 4 x x 6x 11      (3) 
 4) 
2
2
2
x 6x 15
x 6x 18
x 6x 11
 
  
 
 (4) 
 5)   x 3 4 x x 3 5 x      (5) 
Gi¶i: 
Bµi to¸n 1. 
1) 
 
        
 
2
(1)
2 21 1x x 1 x x 1
2 2
+) Tr-êng hîp 1:    
1 1
x 0 x
2 2

(1)
          2 2 2
1 1
x x 1 x x 0 2x 2x 1 0
2 2
1 3 1 3
x
2 2
 
   
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 33 
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: 
1 1 3
x
2 2

  
+) Tr-êng hîp 2:    
1 1
x 0 x
2 2

(1)
           2 2 2
1 3
x x 1 x x 0 2x 2x 3 0
2 2
1 7 1 7
x
2 2
 
   
 KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: 

 
1 7 1
x
2 2
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ 
  
  
 
1 7 1 3
S ;
2 2
. 
2) 
(2)
   

         
x 3
x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1
2
          
2 2 x 3
x 1 1 x 1 1
2
         
 
2 x 1 1 x 1 1 x 3 
       2 x 1 2 2 x 1 1 x 3 
      2 x 1 2 x 1 1 x 1 
+) Tr-êng hîp 1:       x 1 1 x 1 1 x 2 

(2)
         2 x 1 2 x 1 2 x 1 4 x 1 x 3 
      
2
16 x 1 x 3 (Hai vÕ kh«ng ©m) 
    216x 16 x 6x 9 
       
22x 10x 25 0 x 5 0 
    x 5 0 x 5; tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
+) Tr-êng hîp 2: 
x 1 0
x 1 1
 

 

x 1
x 2



NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 34 

(2)
       2 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: x =1 
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (2) lµ 
 S 1 ; 5 . 
3) 
(3)
       x 1 1 x 1 1 x 1 2 (T-¬ng tù 2) 
     
      
       
x 1 1 1 x 1 2
x 1 1 1
x 1 1 1 x 1 0
   
     
x 1 4 x 5
x 1 0 x 1
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ 
     S 5 ; 1 . 
4) §iÒu kiÖn: x  2 

(4)
                   
   
2 2
2 1 1 1 1x x x 2 x 2 x x 2
4 4 2 2

      
  
        

1 1
x x 2
x 2 x (I)2 2
1 1 x 2 x 1 (II)x x 2
2 2
+) 
(I)

   
     
        
2 2
x 0
x 0 x 0
x 2x 2
x 2 x x x 2 0
x 1
+) 
(II)
2
x 2 0
x 1 0
x 2 x 2x 1
 

  
    
2
x 2
x 1
x x 1 0
 

  
   
 
2 x 1
1 5
x
2
1 5
x
2
   

   

   

1 5
2 x
2
 
    
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (4) lµ 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 35 
S = 
  
   
 
1 5
2 ; [2 ; )
2
. 
Bµi to¸n 2. 
1) §iÒu kiÖn: 
x 2
x 2

  

(1)
24 x 4 2x
0
x
  
 
2x 4 2x 4
0
x
  
  
+) Tr-êng hîp 1: x 2  

(1)
    2x 4 2x 4 0 2x 4 4 2x    ; ®óng   x 2 
+) Tr-êng hîp 2: x 2 
    
(1)
2x 4 2x 4 0 
2x 4 2x 4    
2 2x 4 4x 16x 16     (Hai vÕ kh«ng ©m, do x 2 ) 
23x 16x 20 0    
10
x
3
x 2




KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã: 
10
x
3
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (1) lµ 
S =        
 
10
; 2 ;
3
. 
2) §iÒu kiÖn: 
x 2
x 2

  
  
 
2(2) x 4 4 2x
0
x
+) Tr-êng hîp 1:  x 2 
    
(2)
2x 4 4 2x 0  2x 4 2 x 2    ; kh«ng cã nghiÖm  x 2 
+) Tr-êng hîp 2: x 2 
    
(2)
2x 4 4 2x 0 
2x 4 2x 4    
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 36 
2 2x 4 4x 16x 16     (Hai vÕ kh«ng ©m, do x 2 ) 
23x 16x 20 0    
10
x 2
3
    ; kh«ng tho¶ m·n x 2 
+) KÕt luËn: bÊt ph-¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm. 
3) 
  

   
   
2
(3)
2
2
x 1 0
x 1 0
x x 6 0
 

 
     
 
 
   
x 1
x 1
x 1
x 2
x 3
 
 

  
x 1
x 2
x 3
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (3) lµ 
S =           ; 3 2 ; 1 ;1 . 
4) 
   

    
   
2
(4)
2
2
x x 2 0
x x 2 0
x 3x 4 0
  
  
  
      


  
x 1
x 2
x 2
x 1
x 1
x 4
  
 
 
  
x 1
x 2
x 2
x 4
x 1
x 2
x 4
 
 

  
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (4) lµ 
S =           ; 4 2 ; 1 . 
5) 
(5)    

  
2
2
x x 2 0
x 3x 4 0
 
    
 

  
x 2
x 1
x 1
x 4

   
x 2
x 4
KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (5) lµ 
S =       ; 4 2 ; . 
6) §iÒu kiÖn: 
x 1
x 1

  

(6)
        2x 3 x 3 x 3 x 1     2x 3 x 1 x 3 x 3 0       
         
 
2x 3 x 1 x 3 0 
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 37 
+) Tr-êng hîp 1: 
x 1
1 x 3
 
  

(6)
    2x 1 x 3 0 2x 1 x 3    
 

  

   
2
2 2
x 3 0
x 1 0
x 1 x 6x 9
 


    
  
x 3
x 1
x 1
6x 10
 
  

  

  

x 1
x 1
x 3
5
x
3
x 1
5
x 1
3


   

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn, cã: 

   

 
5
x 1
3
1 x 3
+) Tr-êng hîp 2: x = 3, thay vµo (6) tho¶ m·n. 
+) Tr-êng hîp 3: x > 3 

(6)
    2x 1 x 3 0    2x 1 x 3 
    2 2x 1 x 6x 9 (Hai vÕ kh«ng ©m, do x > 3) 
  6x 10 
5
x
3
   ; kh«ng tho¶ m·n x > 3 
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (6) lµ 
S =      
 
5
; 1 1 ; 3
3
. 
7) §iÒu kiÖn: 

  
x 1
x 1

(7)
        2x 2 x 2 x 2 x 1           2x 2 x 1 x 2 x 2 0 
       2x 2 x 1 x 2 0 
+) Tr-êng hîp 1: 
   
 
2 x 1
x 1

(7)
   2x 1 x 2 0 2x 1 x 2    
NguyÔn Quèc Hoµn – THPT NguyÔn Gia ThiÒu 
 H 38 
 
  

 
   
   
2
22
x 1 0
x 2 0
x 2 0
x 1 x 2
  
     
  

 

   
2 2
x 1
x 1
x 2
x 2
x 1 x 4x 4
 

 
 

 
x 1
x 2
4x 5
1 x 2
 

 
  
 
 
x 1
x 2
5
x
4
1 x 2
 
 

  
x 1
x 2
1 x 2
x 1
x 1
 
  
KÕt hîp ®iÒu kiÖn, cã:     2 x 1 ; x 1 
+) Tr-êng hîp 2: x 2 , thay vµo (7) tho¶ m·n. 
+) Tr-êng hîp 3: x 2 

(7)
   2x 1 x 2 0 2x 1 2 x    ; kh«ng cã nghiÖm tho¶ m·n x 2  
+) KÕt luËn: tËp nghiÖm bÊt ph-¬ng tr×nh (7) lµ 
S =       2 ; 1 1 ; . 
8) §iÒu kiÖn: x 3 

(8)
           3x 5 x 3 2x 8 3x 5 x 3 
  2x 8 2x 8 3x 5 x 3       
1 3x 5 x 3     (  2x 8 0 , do x 3 ) 
1 3x 5 x 3 2 3x 5. x 3        
2 3x 5. x 3 4x 1      ; kh«ng cã nghiÖm tho¶ m·n x 3