Sáng kiến kinh nghiệm Phép biến hình

ån ñöôïc naêng löïc hoïc taäp ñoái vôiù moät soá caù nhaân hoïc sinh ñoøi hoûi ngöôøi thaày phaûi coù phöông phaùp truyeàn thuï thích hôïp vôùi hoaøn caûnh thöïc teá moãi lôùp.Qua nhieàu naêm daïy lôùp 10 ôû chöông pheùp bieán hình ,toâi thaáy hoïc sinh ña soá tieáp thu raát khoù khaên ,vieäc vaän duïng ñöôïc lyù thuyeát vaøo giaûi ñöôïc baøi taäp.Ñieàu ñoù do nhieàu lyù do:
Ñaëc tröng kieán thöùc chöông naøy khoù hôn caùc chöông khaùc.
Heä thoáng baøi taäp ôû SGK coøn naëng veà lyù thuyeát .
Baøi taäp chöa phuø hôïp vôùi töøng ñoái töôïng hoïc sinh.
Töø nhaän ñònh treân vaán ñeà ñaët ra cho giaùo vieân laø choïn heä thoáng baøi taäp cho phuø hôïp ñoái töôïng.
Laøm sao hoïc sinh bieát vaän duïng lyù thuyeát ñeå giaûi ñöôïc baøi taäp töø ví duï ôû SGK, baøi taäp töông töï töø deå ñeán khoù daàn.
II Phaïm vi thöïc hieän :
 Ñoái vôùi hoïc sinh töø yeáu ,trung bình ñeán khaù ôû caùc lôùp 10 cuûa tröôøng THPTBC töø naêm 2000 ñeán nay.
 III Phaïm vi ñeà taøi :
Tìm toøi choïn loïc moät soá baøi taäp thuoäc chöông pheùp bieán hình.
IV Höôùng phaùt trieån :
 Hoaøn thieän veà heä thoáng baøi taäp ña daïng hôn; theâm noäi dung pheùp quay , pheùp ñoàng daïng.
B .NOÄI DUNG
 I– PHEÙP TÒNH TIEÁN
 Toùm taét lyù thuyeát
 laø vectô coá ñònh. M’ laø aûnh cuûa M qua pheùp = 
I.1.TOAÙN QUYÕ TÍCH
 ¿ Chæ ra ñöôïc moät vec tô coá ñònh ,xeùt pheùp ñieåm M caàn tìm quyõ tích laø aûnh cuûa ñieåm N.
Bieát ñieåm N chaïy treân ñöôøng (L ) thì M seõ chaïy treân ñöôøng (C ) laø aûnh cuûa (L ) qua pheùp .Quyõ tích cuaû M laø (C ) . 
 Baøi toaùn1:
 Cho ñöôøng troøn taâm O baùn kính R vaø moät ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn ñoù.Cho moät ñoaïn thaúng AB co ùA,B khoâng naèm treân ñöôøng troøn ñoù.Tìm quyõ tích caùc ñieåm M’ laøñænh coøn laïi cuûa hình bình haønh ABMM’ khi ñieåm M chaïy treân ñöôøng troøn. 
 Höôùng giaûi:
Töù giaùc ABMM’ laø hình bình haønh coù ñænh M thuoäc ñöôøng troøn taâmO cho tröôùc Töø 
 M’ laø aûnh cuûa ñieåm M qua pheùp .
 M chaïy treân ñöôøng troøn (O,R) M’ chaïy treân ñöôøng troøn (O’,R).
 O’ ñöôïc xaùc ñònh bôûi .
 Quyõ tích caùc ñieåm M’ laø ñöôøng troøn aûnh cuûa ñöôøng troøn (O,R) qua pheùp .
 Baøi toaùn2:Cho hình thang ABCD coù hai ñaùy laø AB vaø CD . Cho bieát Avaø B coá ñònh ;AD = a, DC = b. ( a ,b laø haèng soá döông) . Tìm quyõ tích cuaû D vaø C .
 A coá ñònh , AD = a laø haèng soá döông neân quyõ tích cuûa D laø ñöôøng troøn (C ) taâm A baùn kính a.
 Laáy ñieåm E sao cho vec tô coá ñònh 
 Vì 
(do höôùng cuøng höôùng vaø = b ) E coá ñònh . C laø aûnh cuûa D qua pheùp tònh tieán 
 D chaïy treân ñöôøng troøn (C ) C chaïy treân ñöôøng troøn (C /) laø aûnh cuûa ñöôøng troøn (C )
qua pheùp. Ñöôøng troøn (C /) coù taâm E
 baùn kính a.Vaäy quyõ tích cuûa C laø ñöôøng troøn (C /).
 Baøi toaùn3: Cho ñöôøng troøn ( O , R ) coá ñònh ,AB laø ñöôøng kính coá ñònh ,MN laø moät ñöôøng kính löu ñoäng. Tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi B caét AM,AN laàn löôït taïi P,Q.Tìm quyõ tích tröïc taâm tam giaùc MPQ. Tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn taïi B caét AM,AN laàn löôït taïi P,Q.Tìm quyõ tích tröïc taâm tam giaùc MPQ.
 Höôùng giaûi:
 Goïi H laø tröïc taâm tam giaùc MPQ,ta coù MH PQ , AB PQ MH // AB (1)
 Ta cuõng coù AH AM, BMAM HA // BM (2)
 Töø (1), (2) töù giaùc ABMH laø hình bình haønh.
 Ñaët vec tô = coá ñònh . ta coù . Xeùt pheùp tònh tieán :M coù aûnh laø H , M chaïy treân ñöôøng troøn (O) H chaïy treân ñöôøng troøn (O’) laø aûnh cuûa (O) qua pheùp.Vì M A, M B neân 
 H A, H D ( D laø aûnh cuûa A qua pheùp ).
 Keát kuaän : Quyõ tích cuûa H laø ñöôøng troøn (O’).
 BAØI TAÄP LUYEÄN TAÄP
 1. Cho hình bình haønh ABCD coù caïnh AB coá ñònh .Veõ tam giaùc ñeàu CDM M,A,B cuøng ôû veà 1 phía ñoái vôùi CD .Tìm quyõ tích cuûa D vaø cuûa M bieát :
 a) Ñieåm C chaïy treân ñöôøng thaúng d b) Ñieåm C chaïy treân ñöôøng troøn (O,R).
 2. Cho hình bình haønh ABCD coù A coá ñònh , Bvaø D löu ñoäng treân ñöôøng 
 troøn taâm O coá ñònh baùn kính R = OA, daâyBD = R.
 a) Chöùng minh tröïc taâm K cuûa tam giaùc BCD coá ñònh.
 b) Tìm quyõ tích tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABD.
 c) Tìm quyõ tích cuûa C.
 I.2. TOAÙN DÖÏNG HÌNH
¿ Döïng hình (H )quy veà döïng moät ñieåm M cuûa (H ).M thuoäcñöôøng (L ) 
 Ta tìm moät pheùp bieán ñieåm N thaønh ñieåm M , bieát N thuoäc ñöôøng (C ) M thuoäc (C’) laø aûnh cuûa(C ). M chính laø ñieåm chung cuûa (L ) vaø(C’).
 Baøi toaùn1: Cho hai ñöôøng thaúng d vaø d’ caét nhau vaø
d
 hai ñieåm A vaø B khoâng thuoäc hai ñöôøng thaúng ñoù,
M
sao cho AB khoâng song song vôùi d vaø d’ . 
d’
Haõy tìm ñieåm M treân d vaø ñieåm M’ treân d’ 
 sao cho töù giaùc ABMM’ laø hình bình haønh.
A
B
M’
 Höôùng giaûi:Giaû söû döïng ñöôïc hình bình haønh 
 ABMM’ thoûa maõn ñieàu kieän baøi toaùn . Töø ñoù
 = M’ laø aûnh cuûa M qua pheùp 
 M’naèm treân d’M’laø giao ñieåm cuûa d’ vaø d’’, vôùi 
 d’’ laø aûnh cuûa d qua pheùp neân M’ xaùc ñònh 
 M xaùc ñònh bôûi = .
 Caùch döïng: Döïng d’’laø aûnh cuûa d qua pheùp, döïng M’ laø giao ñieåm cuûa d’ vaø d”.
Döïng hình bình haønh M’ABM Md töù giaùc ABMM’ laø hình bình haønh caàn döïng.
 Baøi toaùn2: Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø ñoaïn thaúng AB coá ñònh coù ñoä daøi baèng a ( a < 2R ).
 Döïng ñöôøng thaúng d song song vôùi AB caét ñöôøng troøn (O) taïi M vaø N sao cho MN = a.
Höôùng giaûi:
 –Giaû söû döïng ñöôïc ñöôøng thaúng d thoûa maõn yeâu caàu baøi toaùn.Ñaët khoâng ñoåi, Xeùt pheùp tònh tieán: 
M laø aûnh cuûa N qua pheùp, N(O,R) M(O’,R) (1)
Maëc khaùc M (O,R) (2).Töø (1)vaø (2) M laø giao ñieåm cuûa (O,R) vaø (O’,R).
–Caùch döïng d: –Döïng (O’,R) laø aûnh cuûa (O,R) qua pheùp 
 –Döïng giao ñieåm cuûa (O,R) vaø (O’,R) laøM.
 –Döïng ñöôøng thaúng d ñi qua M song song vôùi 
 AB caét (O,R) taïi ñieåm thöù hai N .
–Ta coù MN // AB vaø MN = AB = a.
Vì OO’ = a < 2R (O,R) caét(O’,R) taïi 2 ñieåm.
– Coù 2 lôøi giaûi. 
 Baøi toaùn3 :Cho hình chöõ nhaät ABCD.Treân tia ñoái cuûa tiaBC laáy ñieåm E,treân tia ñoái cuûa tia DA laáy ñieåm F .Haõy tìm treân caïnh AB ñieåm M, treân caïnh CD ñieåm N sao cho MN // BC vaø toång ñoä daøi EM + MN + NF nhoû nhaát. 
 BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN
 1. Cho hai ñöôøng troøn (O) , (O’) vaø ñoaïn thaúng MN ,Döïng ñöôøng thaúng d caét (O),(O’) laàn löôït taïi Avaø B sao cho MABN laø hình bình haønh.
 2. Cho hai caëp ñöôøng thaúng song song // ’ vaø d // d’,bieát raèng caét d ; qua ñieåm O cho tröôùc .
 Haõy döïng ñöôøng thaúng caét vaø’ taïi Avaø A’; caét d vaø d’ taïi B vaø B’ sao cho AA’ = BB’.
 3. Cho hai ñöôøng thaúng d,d’ song song vôùi nhau vaø hai ñieåm A vaøB naèm ngoaøi hai ñöôøng thaúng aáy .
 Haõy tìm ñieåm M naèm treân d vaø ñieåm M’ naèm treân d’ sao cho AM + MN +NB ngaén nhaát.
I.3. TOAÙN CHÖÙNG MINH
 Baøi toaùn 1: Cho tam giaùc ABC, döïng hình chöõ nhaät BCDE naèm ôû ngoaøi tam giaùc ABC.Hai ñöôøng thaúng qua E vuoâng goùc vôùi AC vaø qua D vuoâng goùc vôùi AB caét nhau taïi K . Chöùng minh AKBC.
 Höôùng giaûi:
 Goïi H laø tröïc taâm D ABC BH AC vaø CHAB,
 EK // BH vaø DK // CH .
 Ta coù = , xeùt pheùp tònh tieán ta coù 
 Ñöôøng thaúng BH bieán thaønh ñöôøng thaúng EK , ñöôøng thaúng CH bieán thaønh ñöôøng thaúng DKH bieán thaønh K = .
 Vì BC BC.
 Maëc khaùc AH BC A, H ,K thaúng haøng vaø AKBC . 
 Baøi toaùn 2 :Cho töù giaùc loài ABCD vaø ñieåm M ôû trong töù giaùc ñoù sao cho ABMD laø hình bình haønh. Chöùng minh neáu = thì = .
 Xeùt pheùp tònh tieán vôùi tacoù D bieán thaønh 
 M , C bieán thaønh N MDCN laø hình bình haønh 
 BMCN noäi tieáp ñöôïc 
 = (1) . 
Maëc khaùc pheùp tònh tieán bieán thaønh 
 = (2) .
 Töø (1) vaø (2) = 
 Baøi toaùn 3: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O coù tröïc taâm H, goïi M laø trung ñieåm caïnh BC . Chöùng minh .
 Xeùt pheùp tònh tieán vôùi ,ta coù ñoaïn HC bieán 
 thaønh ñoaïn BK HBKC laø hình bình haønh. Vì BHAC vaø CHAB CK AC vaø BKAB töù giaùc ABKC noäi tieáp trong ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC O laø trung ñieåm AK(1).
 Maëc khaùc HBKC laø hình bình haønh 
 Mlaø trung ñieåm HK (2).
 Töø (1) vaø (2) 
 BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN : 
 1. Cho hai ñöôøng troøn (O,R) vaø (O’,R’) tieáp xuùc vôùi nhau taïi I , A vaø B laø hai ñieåm töông öùng treân ñöôøng troøn (O,R) vaø (O’,R’) sao cho = 900. Chöùng minh raèng pheùp tònh tieán theo bieán A thaønh B.
 2. Cho töù giaùc ABCD coù AB = CD.Goïi M , N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD,AC .Chöùng minh raèng caùc ñöôøng thaúng AB ,CD taïo vôùi MN nhöõng goùc baèng nhau.
I.4. BAØI TOAÙN KHAÙC
 Baøi toaùn:Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho = (a;b) vaø ñieåm M(x;y) tuøy yù.Qua pheùp bieán ñieåm M(x;y) thaønh ñieåm M’(x’;y’) .Tìm heä thöùc lieân heä giöõa toïa ñoä (x;y) vaø toïa ñoä(x’;y’).
 Höôùng giaûi: =(x’-x;y’-y) 
 M’(x’;y’) laø aûnh cuûa M(x;y) qua pheùp = 
 .
 AÙp duïng: 
 1/ Tìm toïa ñoä ñieåm M’ laø aûnh cuûa ñieåm M(2;-1) qua pheùp tònh tieán theo vectô= (2;1).
 Keát quaû M’(4;0).
 2/ Cho d laø ñoà thò haøm soá y =2x–1. Tìm aûnh d’ cuûa d qua pheùp tònh tieán theo 
 vectô = (-2;3).
 3/Cho hình bình haønh ABCD coù taâm I(1;1). Bieát A(-1;0) vaø B(0;4) .Tìm toïa ñoä cuûa C,D.
 4/ Cho (P) laø ñoà thò haøm soá y = x2 -2x -3 . Vieát phöông trình cuûa ñoà thò (P’) laø aûnh cuûa ñoà thò (P) qua pheùp tònh tieán theo vectô = (-1;4).
 II–PHEÙP VÒ TÖÏ 
 Toùm taét lyù thuyeát
 O laø ñieåm coá ñònh, k laø haèng soá khaùc 0,1. M’ laø aûnh cuûa M qua pheùp vò töï .
II .1. TOAÙN QUÕY TÍCH
¿Chæ ra ñöôïc moät ñieåm coá ñònh O,moät haèng soá k ,xeùt pheùp vò töï: ñieåm M caàn tìm laø aûnh cuûa ñieåm N. Bieát ñieåm N chaïy treân ñöôøng (L ) thì M seõ chaïy treân ñöôøng (C ) laø aûnh cuûa (L ) qua pheùp .Quyõ tích cuûa M laø ñöôøng (C ) . 
d
 Baøi toaùn1: Cho tam giaùc ABC coù caïnh BC coá ñònh ,ñieåm A löu ñoäng treân moät ñöôøng thaúng d sao cho caïnh BC khoâng caét ñöôøng thaúng d . Tìm taäp hôïp: 
 A
1. Troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.
d1
 2. Trung ñieåm I cuûa caïnh AB.
 Höôùng giaûi : 
 1. Goïi O laø trung ñieåm cuûa BC, O coá ñònh . Ta coù 
G
I
d’
 G laø aûnh cuûa A qua pheùp .
C
 Do ñoù khi A chaïy treân ñöôøng thaúng d thì ñieåm G
O
B
 Chaïy treân ñöôøng thaúng d’ , ñöôøng thaúng d’ laø 
 aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp .
 2.Ta laïi coùI laø aûnh cuûa B qua pheùp neân khi A chaïy treân ñöôøng thaúng d thì I chaïy treân ñöôøng thaúng d1 ,d1 laø aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp vaø ngöôïc laïi.Vaäy quyõ tích cuûa G laø ñöôøng thaúng d’.
 Baøi toaùn2: Cho ñöôøng troøn ( O,R ) coá ñònh vaø ñoaïn BC coá ñònh vaø naèm treân ñöôøng thaúng khoâng coù ñieåm chung vôùi ñöôøng troøn, A laø ñieåm löu ñoäng treân ñöôøng troøn . Tìm quyõ tích troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.
 Höôùng giaûi: 
 Goïi I laø trung ñieåm BC , I coá ñònh .Ta coù G laø aûnh cuûa Aquapheùp . Vì A löu ñoäng treân ñöôøng troøn ( O,R ) neân G chaïy treân ñöôøng troøn (O’,) laø aûnh cuûa ñöôøng troøn ( O,R ) qua pheùp .
Ñöôøng troøn (O’,) coù taâm O’ ñöôïc xaùc ñònh bôûi 
Quyõ tích cuûa G laø ñöôøng troøn ñöôøng troøn (O’,) .
 Baøi toaùn 3: Cho ñöôøng troøn (O,R) ñöôøng kính AB coá ñònh ; MN laø moät ñöôøng kính löu ñoäng ; C laø trung ñieåm cuûa baùn kính OA.
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm Q laø giao ñieåm cuûa NC vaø BM.
 Höôùng giaûi:
A,O coá ñònh neân C coá ñònh . MN vaø AB laø hai ñöôøng kính neân 
 .Xeùt pheùp thì N coù aûnh laø Q .N chaïy treân ñöôøng troøn (O,R) Q chaïy treân 
ñöôøng troøn ( O’, 3R) laø aûnh cuûa ñöôøng troøn (O,R) .
Vaäy taäp hôïp ñieåm Q laø ñöôøng troøn (O’, 3R).
 Baøi toaùn4: Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø ñieåm P coá ñònh naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O).Moät daây cung BC thay ñoåi cuûa (O) nhöng coù ñoä daøi khoâng ñoåi baèng R.Tìm quyõ tích troïng taâm tam giaùc PBC.
 Höôùng giaûi
 Goïi I laø trung ñieåm BC ,ta coù tam giaùc OBC ñeàu OI = ,O coá ñònh I thuoäc ñöôøng troøn (O, ).
Goïi G laø troïng taâm tam giaùc PBC .Ta
coù .Vì P coá ñònh ,xeùt pheùp vò töï :
 G laø aûnh cuûa I qua pheùp . I thuoäc ñöôøng troøn(O, ) G thuoäc ñöôøng troøn (O’, ).
 Quyõ tích cuûa G laø ñöôøng troøn (O’, ).
O’ ñöôïc xaùc ñònh bôûi 
 BAØI LUYEÄN TAÄP
 1. Cho tam giaùc ABC coá ñònh , M laø ñieåm löu ñoäng treân caïnh BC sao cho M khoâng truøng B.Tìm quyõ tích troïng taâm G cuûa tam giaùc MAB.
 2. Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø moät ñieåm A coá ñònh ôû treân ñöôøng troøn , BC laø daây cung di ñoäng coù ñoä daøi khoâng ñoåi baèng R.Tìm taäp hôïp troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC.
 3. Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc nhau taïi A .Ñöôøng kính veõ töø A gaëp (O) ôû B vaø (O’) taïi C.Moät ñöôøng thaúng thay ñoåi ñi qua A caét (O) taïi M 
 vaø (O’) taïi N. Tìm taäp hôïp giao ñieåm I cuûa BN vaø CM.
 4.Cho ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB , Mlaø ñieåm löu ñoäng treân (O) , goïi A’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua M. Tìm quyõ tích cuûa :
 a) ñieåm A’ b) troïng taâm G cuûa tam giaùc A’AB c) trung ñieåm I cuûa 
 ñoaïn A’B.
II.2.TOAÙN DÖÏNG HÌNH
 Baøi toaùn1 : Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø ñöôøng troøn (O’,R’) caét nhau
 taïi Avaø B.Haõy döïng ñöôøng thaúng d ñi qua A caét ñöôøng troøn (O,R)
 taïi M vaø caét ñöôøng troøn (O’,R’) taïi M’ sao cho AM =2AM’.
 Giaû söû döïng ñöôïc ñöôøng thaúng d thoûa maõn baøi toaùn.Ta coù M’ (O’,R’), M’ laø aûnh cuûa M qua pheùp M’(O”,) M’ laø giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn( O’,R’) vaø ñöôøng troøn (O”,). 
 Baøi toaùn2: Cho goùc vaø ñieåm A naèm ôû trong goùc ño .Haõy döïng ñöôøng thaúng qua A, caét Ox taïi B, Oy taïi C sao cho : BC = 3AB. 
 Phaân tích
 Giaû söû döïng ñöôïc ñöôøng thaúng thoûa maõn baøi toaùn.
 Vì A ôû giöõa B vaø C ,BC = 3 AB 
 Xeùt pheùp bieán ñieåm B thaønh ñieåm C; B thuoäc Ox
 C thuoäc O’x’ (1).O’x’ laø aûnh cuûa Ox qua pheùp 
 Maëc khaùc C thuoäc Oy (2).
 Töø (1) vaø (2) C laø giao ñieåm cuûa O’x’ vaø Oy . 
 Caùch döïng
Döïng aûnh O’x’ cuûa Ox qua pheùp .
Döïng C laø giao ñieåm cuûa O’x’ vaø Oy
Ñöôøng thaúng laø ñöôøng thaúng qua B,C. 
 Baøi toaùn3: Cho ñieåm A ôû trong goùc .Döïng ñöôøng troøn qua A tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy.
y
x
 Giaû söû döïng ñöôïc ñöôøng troøn taâm I ,qua A tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy. Goïi ñöôøng troøn (J) laø ñöôøng troøn naøo ñoù tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy.Ñöôøng thaúng OA caét (J) taïi A’ vaø A” .
Xeùt pheùp vò töï (R’ : baùn kính ñöôøng troøn (J), R : baùn kính ñöôøng troøn (I) )
Pheùp vò töï naøy bieán ñöôøng troøn (I) thaønh ñöôøng troøn (J) IA // JA’
 Maëc khaùc Ivaø J thuoäc phaân giaùc trong cuûa goùc 	.
 Caùch döïng : Döïng Tia Ot laø phaân giaùc trong cuûa goùc .
 Döïng ñöôøng troøn (J) tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy.
 Döïng ñöôøng thaúng OA caét (J) taïi A’.
 Döïng ñöôøng thaúng qua A song song vôùi JA’ caét Ot taïi I
 Ñöôøng troøn (I,IA) laø ñöôøng troøn caàn döïng.
 Chöùng minh : JA’ // IA vôùi k = .
 I laø aûnh cuûa J ,A laø aûnh cuûaA’ , (I) laø aûnh cuûa (J) qua pheùp .(J) tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy neân (I) cuõng tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy.
 Bieän luaän : Ta coù OA caét ñöôøng troøn (J) taïi 2 ñieåm A’vaø A” neân ta ñöôïc hai ñieåm I1 vaø I2 laø taâm ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi Ox vaø Oy ,vaäy coù 2 lôøi giaûi.
II.3. TOAÙN CHÖÙNG MINH
¿Ñöôøng thaúng d ñi qua 2 ñieåm M,N töông öùng cua pheùp vò töï thì seõ ñi qua taâm vò töï.
 ( chöùng minh moät ñöôøng thaúng ñi qua moät ñieåm coá ñònh).
¿Bieát ñöôøng thaúng d bieán thaønh ñöôøng thaúng d’ qua pheùp vò töï.Neáu d ñi qua ñieåm coá ñònh A hay tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C ) coá ñònh thì d’seõ ñi qua ñiâeåm coá ñònh A’ hay tieáp xuùc vôùi ñöôøng troøn (C ’ ) coá ñònh.Vôùi A’laø aûnh cuûa A, (C ’ ) laø aûnh cuûa (C ).
 Baøi toaùn1: Cho ñöôøng troøn(O,R) ñöôøng kính AB .Moät ñöôøng troøn (O’,R’) tieáp xuùc trong ñöôøng troøn (O,R) vaøñoaïn AB laàn löôït taïi C vaø D,ñöôøng thaúng CD caét ñöôøng troøn (O,R) taïi I. Chöùng minh raèng OI vuoâng goùc vôùi AB. 
 	Höôùng giaûi : Do ñöôøng troøn (O) tieáp xuùc trong vôùi ñöôøng troøn (O’) taïi C. Xeùt pheùp tacoù O coù aûnh laø O’, I coù aûnh laø D OI // O’D , vì O’D AB OI AB (ñ p cm ).
 Baøi toaùn2: Cho tam giaùc ABC moät ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét caùc caïnh AB, AC laàn löôït taïi M vaø N. Chöùng minh raèng caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC vaøtam giaùc AMN tieáp xuùc nhau taïi A.
 Vì MN // BC ñaët k =.Ta coù
 vaøXeùt pheùp vò töï : B bieán thaønh M, C bieán thaønh N; tam giaùc ABC bieán thaønh
 tam giaùc AMN ñöôøng troøn (ABC) bieán thaønh ñöôøng troøn (AMN) hai ñöôøng troøn naøy tieáp xuùc nhau taïi A.
 ( Vì A laø ñieåmchung, A laø taâm vò töï cuûa 2 ñöôøng troøn).
 Baøi toaùn3: Cho tam giaùc ABC ,goïi I,J,M laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, AC, IJ.Ñöôøng troøn (O) ngoaïi tieáp tam giaùc AIJ caét ñöôøng thaúng AO taïi A’.Goïi M’ laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A’ xuoáng BC. Chöùng minh 3 ñieåm A,M,M’ thaúng haøng.
 Höôùng giaûi Goïi M1 laø trung ñieåm .Xeùt pheùp : A’laø aûnh cuûa O, A laø aûnh cuûa I, C laø aûnh cuûa J M1 laø aûnh cuûa M. Pheùp vò töï baûo toaøn goùc neân: OM IJ A’M1 BC M1 M”.Nhöng vì A,M,M1 thaúng haøng A,M,M’ thaúng haøng. 
Baøi toaùn 4: Cho hai ñöôøng troøn (O,R) vaø (O’,R’) vôùi R > R’ .Moät ñöôøng troøn löu ñoäng ( O’’,R’’) luoân luoân tieáp xuùc ngoaøi vôùi hai ñöôøng troøn treân taïi M vaø N .Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. 
 Goïi giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng MN vôùi ñöôøng thaúng OO’ vaø ñöôøng troøn (O) laø A vaø N’ 
 (N’ khaùc M).
 (vì D OMN’ caân ôû O )
 ( ñoái ñænh )
 ( vì D O’’MN caân ôû O’’ )
 ( ñoái ñænh ).
 Töø ñoù ON’ // O’N laø aûnh cuûa 
 Trong pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn (O,R) thaønh ñöôøng troøn (O’,R’) .
Vì ON’ // O’N .Ñieàu naøy chöùng toû A laø ñieåm coá ñònh . A chính laø taâm vò töï döông cuûa pheùp vò töï treân.Vaäy ñöôøng thaúng MN luoân luoân ñi qua ñieåm coá ñònh.
Baøi toaùn5: Cho tam giaùc ABC vôùi troïng taâm H,tröïc taâm G, taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp O .
 Chöùng minh ba ñieåm G,H,O thaúng haøng (ñöôøng thaúng ñi qua ba ñieåm ñoù ñöôïc goïi laø ñöôøng thaúng Ô-le cuûa tam giaùc ABC). 
Höôùng giaûi:
 Goïi A’, B’,C’ laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc
caïnh BC,AC,AB.Ta co OA’BC ù,OB’AC , OC’AB O laø tröïc taâm tam giaùc A’B’C’.
Xeùt pheùp DA’B’C’ coù aûnh laø D ABC.Vì pheùp vò töï bieán goùc vuoâng thaønh goùc vuoâng neân tröïc taâm O cuûa D A’B’C’ bieán thaønh tröïc taâmH cuûa D ABC ta coù 
 ba ñieåm G,H,O thaúng haøng.
 Baøi toaùn6: Cho ñöôøng troøn (O) vôùi ba daây cung MA,MB,MC .Chöùng minh raèng caùc giao ñieåm khaùc M cuûa caùc ñöôøng troøn ñöôøng kính laø MA,MB,MC laáy töøng ñoâi moät laø 3 ñieåm thaúng haøng.
 Höôùng giaûi: Goïi A1, B1 ,C1 laàn löôït laø trung ñieåm cuûa
 MA,MB, MC vaø ,,laø giao ñieåm (M) cuûa ñöôøng troøn (MB), (MC) cuûa ñöôøng troøn (MA),(MC) cuûa ñöôøng troøn (MA),(MB).Ta coù laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M quaB1C1 ; laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua A1C1 ; laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua A1C1 .
 Goïi 1, 1, 1 laø trung ñieåm cuûa M,M,M thì
 M B1C1 ; M A1C1 ; M A1C1.
 Neáu Xeùt pheùp vò töï :M,A,B,C coù aûnh laø M,A1,B1,C1
 vì M,A,B,C thuoäc ñöôøng troøn (O) M,A1,B1,C1thuoäc
 thuoäc ñöôøng troøn (O’).Vôùi ñöôøng troøn (O’) tacoù 
 3 ñ ieåm1, 1, 1 naèm treân moät ñöôøng thaúng 
 (ñöôøng thaúng Simson).
 Xeùt pheùp vò töï : 3 ñieåm1, 1, 1 coù aûnh laàn löôït laø,,do ñoù ,, naèm treân moät ñöôøng thaúng.
 BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN
 1. Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc ngoaøi taïi A,MM’ laø ñöôøng kính löu ñoäng cuûa ñöôøng troøn (O).AM’ caét ñöôøng troøn (O’) taïi N. Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN ñi qua 1 ñieåm coá ñònh.
 2. Cho ñöôøng thaúng D vaø ñöôøng troøn (O) . Moät ñöôøng troøn (I) löu ñoäng tieáp xuùc vôùi D vaø ñöôøng troøn (O) taïi M vaø N .Chöùng minh ñöôøng thaúng MN luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
 3. Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc ngoaøi taïi A. Moät goùc vuoâng quay xung quanh A, Tia Ax caét ñöôøng troøn (O) taïi M;tia Ay caét ñöôøng troøn(O’) taïi M’.
 a) Chöùng minh MM’ ñi qua moät ñieåm coá ñònh.
 b) MM’ caét ñöôøng troøn (O) taïi N vaø ñöôøng troøn (O’) taïi N’.Chöùng minh = 900 .
 4. Cho ñöôøng troøn (O,R) ngoaïi tieáp tam giaùc ABC coù tröïc taâm H..Chöùng minh raèng 3 trung ñieåm cuûa caùc caïnh, 3 chaân ñöôøng cao, 3 trung ñieåm cuûa caùc ñoaïn HA,HB,HC thì naèm treân moät ñöôø