Sáng kiến kinh nghiệm Thể tích khối đa diện

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
 Giải toán tính thể tích các khối chóp trong hình học không gian là một nội dung được đưa vào trong chương trình Toán 12 và theo cấu trúc đề thi của cục khảo thí thì sẽ có mặt trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Các bài tập về thể loạinày đối với học sinh theo chương trình phân ban qua năm đầu thực hiện tôi thấy đa số học sinh khó tiếp thu.Lý thuyết về phần này được trình bày khá rỏ ràng và đầy đủ, học sinh cũng đã được làm quen từ lớp 8.
 Tính toán yếu tố không gian được đưa vào trong chương trình toán 12 đóng góp vai trò quan trọng trong việc giải một số bài toán.Nội dung đó được đưa vào chương trình Toán ở bậc trung học nhằm không chỉ trang bị công cụ giải toán mà còn là tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy luận mới,biết nhìn sự vật hiện tượng xung quanh theo quan điểm biến đổi và gắn thực tế.
 Với quan điểm vận động và biến đổi, để góp phần rèn luyện cho học sinh sáng tạo trong học tập đó là dựa vào một bài toán hình học cụ the ta có thể sáng tạo ra nhiều bài toán mới khác nhau.
Việc làm này sẽ mang lại hứng thú cho học sinh.Hơn thế việc lựa chọn công cụ giải toán cho từng loại bài toán hình học là việc cần thiết giúp học sinh phát huy khả năng tưởng tượng không gian,cũng như tiết kiệm một số thao tác tính toán phức tạp.
 Với tinh thần trên tôi viết bài này nhằm hệ thống một số dạng bài tập tham khảo giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về loại này bao gồm:
 I – Tóm tắt lý thuyết
 II – Hướng dẫn giải toán– Bài tập luyện tập 
 III – Bài tập tự luyện
 Ở phần bài tập – Phân loại dạng bài tập thường gặp, cách giải.
 – Chọn lọc phân loại một số bài tập với hướng giải.
– Bài tập tương tự để luyện tập.
 Để hoàn thành bài viết ngoài tài liệu sách giáo khoa. Nội dung bài viết nhằm hệ thống và bổ sung một số bài tập cần thiết. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ bộ môn đã tận tình đóng góp ý kiến để hoàn chỉnh bài viết.Với điều kiện thời gian và kinh nghiệm có hạn, chắc bài viết còn nhiều thiếu sót, rất mong quý đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung. 
I. Mục tiêu : 
Với đối tượng là học sinh loại hình ngoài công lập, chất lượng học sinh không đồng đều, làm thế nào để ngày càng được nâng cao trình độ của học sinh
hòa nhập với mặt bằng chung.Để đảm bảo được mục đích dạy học với tất cả các đối tượng trong lớp; đồng thời phát triển được năng lực học tập đối vơi một số cá nhân học sinh đòi hỏi người thầy phải có phương pháp truyền thụ thích hợp với hoàn cảnh thực tế mỗi lớp. Qua nhiều năm dạy lớp cuối cấp ,ôn thi Đại học, tôi thấy học sinh đa số tiếp thu rất khó khăn về loại bài tập hình học không gian, việc vận dụng được lý thuyết vào giải được bài tập. Điều đó do nhiều lý do:
- Đặc trưng kiến thức chương này khó hơn các chương khác.
 - Hệ thống bài tập ở SGK còn nặng về lý thuyết .
 - Bài tập chưa phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Từ nhận định trên vấn đề đặt ra cho giáo viên là chọn hệ thống bài tập cho phù hợp đối tượng.
Làm sao học sinh biết vận dụng lý thuyết để giải được bài tập từ ví dụ ở SGK,
 bài tập tương tự từ dễ đến khó dần.
II. Phạm vi thực hiện :
Đối với học sinh từ trung bình đến khá ở các lớp 12 của trường T.H.P.T.B.C trong
 năm học 2008 - 2009.
III. Phạm vi đề tài :
Tìm tòi chọn lọc một số bài tập thuộc nội dung tính toán yếu tố thể tích khối chóp trong hình học không gian.
IV. Hướng phát triển :
Hoàn thiện thêm về nội dung , hệ thống bài tập đa dạng hơn.
PHẦN II : NỘI DUNG
I. Tóm tắt lý thuyết 
1. 	Thể tích của khối hộp chữ nhật
	 (a, b, c là các kích thước của khối hộp chữ nhật)
2. 	Thể tích của khối lăng trụ, khối hộp
 (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
3. 	Thể tích của khối chóp
 (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
4. 	Thể tích của khối chópcụt
 (B, B’ là diện tích 2 đáy, h là chiều cao)
· Chú ý . 
1) Tỉ số thể tích
 § Tỉ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số đồng dạng (tức bằng lập phương tỉ số hai cạnh tương ứng).
 § Tỉ số thể tích của hai khối chóp có cùng diện tích mặt đáy bằng tỉ số
 hai đường cao.
2) Kết quả : Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm : A’, B’, C’ khác S thì ta có :
II. Hướng dẫn giải toán – Bài tập luyện tập 
II.1. CÁC BÀI TẬP TÍNH TOÁN THỂ TÍCH 
 r LOẠI I . Hình chóp có các cạnh bên nghiêng đều với đáy (Góc giữa các 
cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau ) 
Bài 1 : Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác cân ở A, BC = a
, các cạnh bên đều tạo với đáy một góc. Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn: Chân đường cao của hình chóp là H tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác cân ABC.
 Giải 
Gọi I là trung điểm BC ta có AI ^ BC
 ∆ABI vuông ở I nên 
 AI = BI cot = 
Gọi H là chân đường cao hình chóp thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có H thuộc AI; HA = R bán kính đường tròn ngoại tiếp nên 
 	Tam giác SAH vuông ở H SH = AH.tan = 
 = .
 r LOẠI II Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều với đáy (góc giữa các mặt 
bên và mặt đáy đều bằng nhau ) 
Bài 2: Hình chóp tam giác có các cạnh đáy lần lượt là 5,5,6 . Các mặt bên đều tạo
 với mặt đáy một góc 45 0 .Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn: Hình chóp có các góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng 
nhau thì chân đường cao trùng với tâm của đường tròn nội tiếp của đáy.
Giải 
Gọi H là chân đường cao SH mp(ABC). Ta có H cách đều các cạnh AB,BC,AC nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
I là trung điểm của BC và AB = ACÞ H Î AI . Bán kính đường tròn nội tiếp DABC là r = HI
DSHI vuông ở H : HI = = 450 ( góc giữa mặt đáy và măt bên )
 SH = 
 r LOẠI III Hình chóp là hình chóp đều 
Tức là các hình chóp có các mặt bên nghiêng đều với đáy (góc giữa các 
 mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau ) và có các cạnh bên nghiêng đều vớ
 đáy ( các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau ). 
Bài 3 : Một hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, góc giữa 
mặt bên với mặt đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp . 
Hướng dẫn: Theo định nghĩa hình chóp đều hình chiếu vuông góc của đỉnh
 S xuống mặt đáy ABC (chân đường cao ) là H thì H là tâm của đáy ABC,
H là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp của đáy.
Giải :
Gọi H là chân đường cao, M là trung điểm BC
HMBC, SM BC là góc giữa mặt 
 bên với mặt đáy 
 vuông ở H: HM 
 (kết quả từ tính chất của tam giác đều)
DABC là tam giác đều cạnh bằng a thì diện tích bằng 
Bài 4 : Cho khối chóp tam giác đều S.ABC. Tính thể tích khối chóp biết cạnh
 	đáy AB = a và cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600
 	Giải: 
Gọi M là trung điểm AB và H là chân đường cao hạ từ đỉnh S của khối chóp. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên H là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta có :
 và .
SDABC = 
	 vuông ở H:CH =.
 	 SH = CH.tan = 
 	Vậy .
Bài 5: : Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD.Tính thể tích khối chóp biết đường cao của mặt bên hạ từ đỉnh bằng d và cạnh bên hợp với mặt đáy góc j.
 	Hướng dẫn : Vì hình chóp đều nên chân đường cao là H tâm của đáy ABCD.
 	Gọi I là trung điểm AB ta có SI = d
 	Đặt độ dài cạnh đáy AB = a Dựa vào hai tam giác vuông SHA và SHI 
để tính độ dài đường cao SH, cạnh đáy AB theo d và j 
Giải :
Xét DSHI vuông ở H : SI = d, HI = 
 SH2 = SI2 – HI2 = (1)
Xét DSAH vuông ở H : HA =, j 
 SH = HA tan = tanj (2)
Từ (1) và (2) ta có = 
 , 
 	Từ đó độ dài đường cao SH = diện tích đáy a2 = 
 r LOẠI IV : Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. 
Hướng dẫn: Chọn đường cao chính là đường cao của mặt bên, tính được độ dài đường cao. Tính được diện tích đáy từ đó tính được thể tích.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = ,mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC. 
Giải : 
Gọi H là trung điểm BC đều nên SH BC
mp(SBC) mp( ABC) nên SH mp (ABC) do đó .
SH là đường cao hình chóp S.ABC.
DABC vuông tại A 
 BC = ==a2
DSBC đều SH = BC= 
 =. 
 	Vậy thể tích khối chóp S.ABC là.
Bài 7: Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân cạnh AB = AC = a. Mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy , hai mặt bên còn lại tạo với đáy góc 45 0.
Hướng dẫn : Chọn mặt đáy là ABC, đường cao là đoạn SH vẽ từ S vuông 
góc với BC dựa vào giả thiết mp(SBC) mp(ABC).
 	Giải : 
mp(SBC) mp(ABC), vẽ SH BC, H BC
 SH mp(ABC)
Vẽ HIAB, HJAC SIAB, SJAC
 Ta có là góc giữa mặt bên SAB, mặt bên SAC với mặt đáy ABC
Từ HI = HJ H thuộc tia phân 
 giác trong của góc A của tam giác ABC()
 Do đó H là trung điểm BC. HI và vuông cân ở H nên 
SH =HI= . 
 r LOẠI V Khối chóp có cách thể tích liên quan đến khối hộp, các khối
 chóp khác.
 Bài 8: Chứng minh rằng thể tích khối tứ diện ABCD được tính theo công thức
 .
Giải : 
Xét khối hộp AMBN.PCQD có 
 Độ dài đường cao : h =
 Diện tích đáy: = 
Thể tích khối hộp V =. h = . 
 	V = .. 	
 Theo bài toán đã biết 	(Bài tập 3 trang 25 Hình học 12)
	Từ đó = 
Bài 9: Tính thể tích khối tứ diện ABCD trong đó AB = CD = b, AC = BD = c, 
AD = BC = d. 
Hướng dẫn: chọn mặt đáy là mặt AOB hay BOC hay AOC đường cao là
đoạn vuông góc vẽ từ B hay A hay C.
Giải : 
BM=BN=BA= b ,CN=CP=CA = c
 DM=DP=DA = d
Vậy , , vuông ở A
Vì nên 
Ta có 
 	Từ đó = 
Bài 10: Cho hình chóp O.ABC có OA =a, OB = b , OC = c và 
 Tính thể tích khối chóp. 
 	Giải : 
Hạ AH mp (BOC ) H mp (BOC ) và thuộc tia phân giác trong góc O của DOBC 
 V = 
 B = = ; = AH
Tính AH : Hạ HM OB , HN OC
OM = acos MH = OM tan
MH = acostan. OAH vuông ở H : AH2= AM2 – MH2 = 
 AH = Từ đó V = 
 V = 
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có AB = a , . Tính thể tích khối chóp biết . 
Hướng dẫn: Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng cách giữa hai
cạnh đối diện .
 	Giải 
Ta có DSAB = DCAB, DSAC = DSBC. 
 MNSC và MNAB
 MN là đoạn vuông góc chung của AB và SC
 Vậy 
 vuông ở M ,CM = ,BC =
 Và SB = SA = AC = BC
DNBC vuông ở N BN = Bcos = và MN =
 SC = 2CN = Từ đó 
 Hay có thể chứng minh 
Bài 12: Một hình chóp S.ABC có = 600. Mặt bên SAB là tam giác đều có cạnh bằng 1 và vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Cách 1:
Hướng dẫn : Chọn mặt đáy là mặt ABC, vì mặt bên SAB vuông góc với đáy nên chọn đường cao là đoạn vuông góc vẽ từ S đến mặt ABC.
Hay: Chọn mặt đáy là mặt SAB, vì mặt bên ABC vuông góc với đáy nên chọn đường cao là đoạn vuông góc vẽ từ C đến mặt SAB.
 	Giải : 
_
H
_
C
_
B
_
A
_
S
Gọi H là trung điểm AB thì SH AB và CH AB và CH mp(SAB)
DSHC vuông ở H nên:
 Û (1)
Trong DSBC ta có 
 	 Û (2)
Từ (2) và (3) 
Từ (1) ; 
 	Cách 2: Chọn mặt đáy là SAB, đường cao là đoạn CH vẽ từ C 
 	vuông góc với mp (SAB) H là trung điểm AB.
Hạ HK SB K SB tam giác SAB đều cạnh bằng 11 nên 	
Và HK = KB.tanB = 
CHmp(SAB) CK SB
DSKC vuông ở K ,S = 600 nên 
DSHC vuông ở H 
Bài 13 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm SA và SC, mp(DMN) cắt SB tại P. Tính thể tích khối chóp S.DMPN.
 Giải :
	 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Ta có AC // MN nên (DMN) // AC
	 suy ra MN qua trung điểm K của SO.
Trong tam giác vuông SOB, kẻ KH//OB với HÎSB, ta được: BO = 2 KH, do đó
. Suy ra HB = SH = 3PH
Þ . Ta có :
 và 
 . Đặt V = VSABCD, ta có : 
	 VS.DAB = VS.DCB = . Do đó VS.DMPN = VS.DMP + VS.DPN = . 
 Mà V = VSABCD = Vậy VS.DMPN = 
Bài 14: Một hình chóp S.ABC có = 600 . Mặt bên SAB là tam giác đều có cạnh bằng 1 và vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Hướng dẫn :
Tạo ra hình phụ có tứ diện đều có cạnh bằng 1 ,dùng công thức tỷ số thể tích.
 Giải 
 Gọi D là điểm trên cạnh SC sao cho SD = 1.Từ D vẽ đường cao DH xuống
 mặt đáy SAB ,H thuộc đường cao SI của tam giác đều SAB, H là trọng tâm DSAB. 
_
H
_
I
_
D
_
C
_
B
_
A
_
S
 DSIC có. Tứ diện ABCS đều cạnh bằng 1 đường cao DH 
 được tính bằng và thể tích bằng 
 	Ta có
Bài 15 : Cho tứ diện SABC có mặt ABC vuông ở B, AB = a, BC = a, SA vuông góc với mặt đáy, SA = 2a.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A xuống cạnh AB ,AC.Tính thể tích khối chóp A.HBCK theo a.
 	Hướng dẫn: Có nhiều cách tính trực tiếp song ta chọn cách tính 
 	 dựa vào tính tỷ số 
Ta có DSAB vuông ởA, AH là đường cao 
 DSAC vuông cân ở A ,AK là đường cao 
 	Ta có 
	vì 
 	Nên 
 	Tính được = 
	từ đó = 
Bài 16 : Trên các cạnh SA, SB của tứ diện SABC lấy các điểm M, N sao cho . Một mặt phẳng (a) đi qua MN và song song với SC chia tứ diện làm hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
 	Giải :
Cho (a) Ç AC = K, (a) Ç CB = I. 
	Vì (a) // SC nên có NI // MK // SC. 
	Gọi V1 = VSCMNIK, V = VSABC, V2 = VABMNIK. 
	Ta có : V1 = VSCKI + VSKMI + VSMNI 
	NI // MK // SC Þ và 
Þ VSCKI = V (*) 
	Ta lại có : (1) ; 
	Þ VSKAI = V (2)
	(1) và (2) Þ SSKIM = V (**)
	, Þ VSMNI =(***)
	Từ (*), (**), (***) ta có : 
 	Þ Þ .
 II.2.CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN THỂ TÍCH 
 	Bài toán về GTLN GTNN:
Bài 17: Một hình tứ diện có một cạnh = x, tất cả các cạnh khác = 1 
Tính x để khối tứ diện có thể tích đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn: Chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện bằng nhau CABM và DABM
 	Chứng minh được CDmp(ABM). Ta có 
 	Giải 
Gọi M là trung điểm của CD
ta có cân ở M : MA = MB = (đường 
cao tam giác đều có cạnh = 1) AB= x
 SDABM= 
 (N là trung điểm AB)
 Ta có 
 	Từ đó với 0 < x < 
Vì x2 ,3-x2 > 0 áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có :
 	Vậy với x = thì khối tứ diện có thể tích đạt giá trị lớn nhất.
Bài 18: Cho tứ diện ABCD các đường thẳng AM ,BM, CM,DM đi qua 	điểm M ở miền trong của tứ diện cắt các mặt BCD, CDA, DAB, ABC tại 	A1, B1, C1, D1 . Hãy xác định vị trí của điểm M sao cho biểu thức :
 	T = đạt giá trị nhỏ nhất.
 	Giải :
 	Đặt thể tích tứ diện MBCD là VMBCD = a2 
thể tích tứ diện MCDA làVMCDA = b2
thể tích tứ diện MDAB là VMDAB = c2 
thể tích tứ diện MABC là VMABC = d2 
 	Suy ra 
 	Áp dụng bđt Bunhia-copki : 
 	Từ đó T = 
T 
T = VMBCD = VMCDA = VMDAB = VMABC 
 Khi đó ta chứng minh được rằng M @ G G là trọng tâm tứ diện ABCD
 Bài toán về chứng minh hệ thức
Bài 19: Cho tứ diện ABCD gọi hA , hB , hC , hD lần lượt là độ dài đường cao 
 	tứ diện vẽ từ đỉnh A , B , C , D .M là điểm bất kì ở miền trong tứ diện , gọi
 	xA , xB, xC, xD lần lượt khoảng cách từ M đến mặt đối diên đỉnh A, B, C, D.
 	Chứng minh hệ thức 
Hướng dẫn: Tỷ số thể tích hai khối tứ diện có cùng diện tích mặt đáy bằng tỷ số độ dài hai đường cao tương ứng.
 Bài 20: Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của DABC. Một mp(a) cắt
	các đoạn SA, SB, SC, SG lần lượt tại A1, B1, C1, G1. Chứng minh : 
.
	Giải 
Ta có : 
SGAB = SGBC = SGCA =
Þ 3VS.GAB = 3 VS.GBC = 3VS.GCA = VS.ABC. Do đó :
	Û 
	Û .
 III. Bài tập tự luyện
 1. Một hình chóp tứ giác có một cạnh bằng x tất cả các cạnh còn lại đều bằng a.
 Xác định a để khối chóp có thể tích lớn nhất.
 2.Cho hình chóp O.ABC có OA =a, OB = b , OC = c và 
 Tính để thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất
 3.Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC biết :
 a) Cạnh bên SA = l , cạnh đáy AB = a.
 b) Cạnh bên SA = l , góc giữa mặt bên SBC với mặt đáy bằng a
 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy AB = a,góc giữa cạnh 
 bên SA với mặt đáy bằng a . Tính thể tích khối chóp . 
 5.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành có diện tích bằng, góc giữa hai đường chéo là 600, các cạnh bên tạo với đáy góc 450 . Tính thể tích khối chóp. 
 	 6.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = x và các cạnh còn lại đều bằng a. Tính thể tích của khối chóp VS.ABCD và tìm x để VS.ABCD lớn nhất.
 7.Cho khối chóp S.ABC mặt đáy ABC là tam giác vuông ở A cạnh BC = a, góc
 ABC bằng a, mặt SBC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc b .Tính thể tích khối chóp.
 8. Cho tứ diện OABC trên mặt ABC lấy điểm M tùy ý .Những đường thẳng đi qua M song song với OA, OB, OC lần lượt cắt các mặt OBC, OCA, OAB tại A1, B1, C1.
 Chứng minh rằng ta có hệ thức : 
 9. M là điểm bất kì ở miền trong tứ diện ABCD.Các đường thẳng MA,MB,MC,MD
 cắt các mặt đối diện tại A1, B1, C1, D1 . 
 Chứng minh hệ thức :
 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD .M là điểm cố định trên cạnh SC .Một mặt 
 phẳng thay đổi đi qua AM cắt cạnh SB tại E và SD tại F .Chứng minh 
 tỷ số luôn luôn bằng hằng số .
––– – ­ a A b ­ –––
PHẦN III : KẾT LUẬN 
 Trong quá trình dạy học: người thầy ngoài năng lực, khả năng sư phạm đã có cần phải luôn luôn tích lũy, rút ra những kinh nghiệm dù rất nhỏ. Phải tìm tòi học hỏi những kinh nghiệm từ sách báo tài liệu tham khảo và chính sau các tiết dạy.
 Qua vận dụng các kinh nghiệm đã được tích lũy trên đây vào qúa trình giảng dạy phần tính thể tích lớp 11 ( chương trình cũ ) và lớp 12 ( chương trình phân ban) thì tôi thấy được một điều: học sinh đã biết làm được các dạng toán này hơn đồng thời kết quả điểm kiểm tra có tăng lên được phần nào.
 Nội dung bài viết còn chưa đầy đủ song nó cũng đã giúp bản thân trong các tiết dạy luyện tập, ôn tập cuối năm. Bài viết phải còn tiếp tục chỉnh lý bổ sung vào hệ thống bài tập để ngày càng hoàn thiện, phong phú đa dạng hơn.Hy vọng rằng nó cũng giúp ích cho bản thân một cách thiết thực trong việc dạy học phù hợp với đối tượng học sinh và cũng góp phần nâng cao chất lượng dạy học của nhà trường .
 Dù có chuẩn bị nhưng chắc chắn rằng còn có nhiều điều chưa hợp lý, còn thiếu sót. Mong quý bạn đồng nghiệp chân thành góp ý kiến để bài viết hoàn thành có chất lượng hơn.
 Xin chân thành cảm ơn.
––– – ­ A ­ ––––
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 1. Sách giáo khoa hình học 11 -nhà xuất bản Giáo dục2002.
 2. Sách giáo khoa hình học 12 -nhà xuất bản Giáo dục2008.
 3. Sách bài tập hình học 12 - nhà xuất bản Giáo dục2008
 4. Sách giáo viên hình học 12- nhà xuất bản Giáo dục2008. 
 5. Câu trúc đề thi tốt nghiệp phổ thông 2009- nhà xuất bản Giáo dục
 6. Giải toán hình học - nhà xuất bản Giáo dục -Nguyễn Mộng Hy chủ biên.
––– – ­ A ­ ––––
	Pleiku, 18 tháng 03 năm 2009
	 người viết
	 Lê Trọng T ín
MỤC LỤC
 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 1.
 Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 3 
 Hướng dẫn giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 4 
 Các bài tập tính toán thể tích . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 7 –12
 Các bài tập về giá trị lớn nhất nhỏ nhất . . . . . . . . . . .Trang 13 – 14
 Các bài tập về chứng minh hệ thức . . . . . . . . . . . . .Trang 15 
 Các bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 15-16
 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 17
 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 17
 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Trang 18
––– – ­ A ­ ––––