Sáng kiến kinh nghiệm Về các mặt tròn xoay như mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Chương 1
tổng quan về đề tài
I. Mở đầu:
Chương trình hình học lớp 11 gồm có ba chương:
- Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng.
- Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
- Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian.
Như vậy học sinh được học xong phần hình học phẳng và chuyển sang học hình học không gian từ chương 2. Nhìn chung phần hình học không gian là khá khó đối với trình độ chung của lớp 11. Phần hình học không gian nghiên cứu về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về hình học không gian, giới thiệu về quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Trong SGK đã trình bày nội dung của không gian ơclit bà chiều theo phương pháp tiên đề. Bằng suy luận giáo viên đã xây dựng các khái niệm mới và kịp cho học sinh làm quen với việc chứng minh một số định lí của hình học không gian và giải một số bài toán cơ bản của hình học không gian. Một loạt các định nghĩa mới về góc, khoảng cách,vv... yêu cầu học sinh cần hiều chắc chắn. 
Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 nhằm giúp học sinh lớp 12 tiếp thu tốt các kiến thức về khối đa diện cùng với việc tính toán thể tích các khối này, đồng thời giúp học sinh hiểu rõ về các mặt tròn xoay như mặt cầu, mặt trụ, mặt nón.
II. Mục đích của đề tài 
Để học tốt phần hình học không gian lớp 11 các em cần có phương pháp học đúng, đặc biệt khi giải toán hình học không gian. Nhằm giúp các em học sinh biết né tránh những sai sót phổ biến khi học môn này, tôi đưa ra những cách giải thiếu sót của một bài toán cụ thể và phân tích những nguyên nhân sai lầm về mặt lí luận và kĩ năng tính toán để học sinh rút kinh nghiệm.
III. Cơ sở của đề tài
Đề tài được viết dựa trên cơ sở chủ yếu sau:
- Phân tích nguyên nhân các sai lầm của học sinh.
- Kết quả học tập của học sinh lớp 11.
IV. Biện pháp thực hiện
Tiến hành giảng dạy trên các giờ bài tập hình học không gian lớp 11 chương 2, chương 3. Trong giờ yêu cầu lần lượt từng học sinh lên bảng vẽ hình và trình bày bài giải của mình cho cả lớp nghe. Sau đó, cho các bạn nhận xét, đánh giá. Cuối cùng, giáo viên đưa ra kết luận cuối cùng của bài toán.
Giờ bài tập khác giáo viên đưa ra đề bài toán, tổ chức lớp thành các nhóm cùng giải. Sau đó mỗi nhóm cử đại diện lên bảng trình bày bài giải.
Đánh giá kết quả học tập, phát hiện các sai lầm sau bài kiểm tra 1 tiết trên giấy bằng hình thức trắc nghiệm tự luận. 
Tổng hợp các lỗi thống kê các lỗi, chỉ ra sai lầm của học sinh sau mỗi tiết học và sau mỗi bài kiểm tra 1 tiết.
Chương 2
nội dung
I. Đặc điểm tình hình
	Hình học không gian là môn học có tính tư duy trừu tượng cao, đòi hỏi học sinh phải có phương pháp học tốt mới đạt kết quả cao. Qua thời gian giảng dạy môn toán 11, phần hình học không gian các em có kết quả không cao, mắc khá nhiều lỗi khi giải toán hình học không gian. Nhằm giúp các em học sinh biết né tránh những sai sót phổ biến khi học môn này, tôi đưa ra dưới đây những cách giải thiếu sót của một bài toán cụ thể và phân tích những nguyên nhân sai lầm về mặt lí luận và kĩ năng tính toán để học sinh rút kinh nghiệm.
II. Nội dung
1. Sai khi vẽ hình:
	Trong việc vẽ hình ta hay thường gặp những trường hợp hình vẽ sai do không chú ý đến các yêu cầu của giả thuyết hoặc những kết luận do trực giác tạo ra.
	Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền BC=a, góc nhọn B=a. Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc bằng nhau và bằng b. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
* Lời giải sai:
Kẻ SH ^ mp(ABC), ta có:
Mặt khác kẻ HI ^ AB, HJ ^ BC, HK ^ AC thì theo định lí ba đường vuông góc ta có : HI ^ AB, SK ^ AC, SJ ^ BC. Suy ra: 
Vấn đề còn lại là phải tính SI, SJ, SK theo a, a, b (vì các cạnh AB, BC, CA ta dẽ dàng tính được theo a, a, b).
* Phân tích: Hình vẽ trên sai do không vận dụng hết các điều đã cho trong giả thuyết. Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc tính toán.
	Trước hết, hình chóp đã cho có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau nên từ đó suy ra rằng HA=HB=HC, tức là chân đường cao H phải trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
	Mặt khác DABC là tam giác vuông tại A, nên H chính là trung điểm của cạnh huyền BC.
Dựa vào hình vẽ này ta có BC=a, AB= acosa, AC= asina, .
Do đó:
Do đó:
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Dựng thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD', trung điểm N của cạnh D'C' và đỉnh A. Hãy xác định góc giữa thiết diện với mặt đáy ABCD.
* Lời giải sai: Do hai mặt bên BB'A'A và CC'D'D song song với nhau nên giáo tuyến của hai mặt phẳng này với mp(AMN) cũng phải song song với nhau. Góc giữa thiết diện với mặt đáy ABCD là B'AB.
	Ta có:
. 
Vậy góc giữa thiết diện với mặt đáy là 450 .
* Phân tích: Lời giải trên đây phạm 2 sai lầm:
- Việc xác định thiết diện chưa đủ căn cứ kết luận, chưa chứng minh được rằng MN// AB'.
- Góc tạo bởi thiết diện với mặt đáy không phải là góc B'AB. Đây là trường hợp xác định góc giữa hai mặt phẳng hay góc phẳng của nhị diện. Do đó việc đầu tiên là phải xác định cho được giao tuyến của hai mặt phẳng đó. Ta phải lý luận như sau:
	Trong mp(AA'D'D), AM và A'D' phải cắt nhau tại một điểm P. Suy ra điểm P này phải là điểm chung của mp(A'B'C'D') và mp(AMN) nên nó nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng này, tức là : PN là giao tuyến của (AMN) và (A'B'C'D'). Mặt khác ta có:
	Từ đó vì ta suy ra PN đi qua B' hay NB' là giao tuyến của mp(AMN) với mp(A'B'C'D'). Vậy thiết diện là AMNB'.
Trong mp(DCC'D'), MN và CD phải cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là Q. Từ đó suy ra điểm Q là điểm chung của hai mp(AMN) và (ABCD). Vậy Q phải nằm trên giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt phẳng đáy ABCD. Nối AQ là giao tuyến của mp(AMN) và mp(ABCD) hay chính là cạnh của nhị diện hợp bởi thiết diện và mặt phẳng đáy.
Từ B' kẻ B'I ^ AQ và vì:
 B'B ^ mp(ABCD) và B'I ^ AQ nên BI ^ AQ ( Theo định lí ba đường vuông góc).
Vậy góc chính là góc phẳng của nhị diện cạnh AQ.
Ta có: 
Kẻ NN'//CC' => BN'// B'N//AQ, vậy 
Do đó ta có (1)
Gọi cạnh hình lập phương là a, ta tính được:
. 
Thay vào (1) ta có: 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a, BD=2a, đường cao SO=h của hình chóp có chân O là giao điểm của AC và BD. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D'.
1) Đường cao SO=h phải thoả mãn điều kiện gì để C' nằm trên cạnh SC. Khi đó hãy tính diện tích của thiết diện AB'C'D'.
2) Xác định h để B'C'D' là tam giác đều. Hãy kiểm nghiệm rằng khi đó mặt phẳng AB'C'D' chia hình chóp S.ABCD ra hai phần có thể tích bằng nhau.
* Lời giải sai: 1) AC' là đường cao trog tam giác cân SAC, do đó để có C' thuộc đoạn SC, ASC phải là góc nhọn. Muốn vậy phải có OC h>2a.
Tứ giác ANB'C'D' có các đường chéo AC' và B'D' vuông góc với nhau. Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:
4ah=2dt(SAC)=AC'.SC=AC'. 
Suy ra 
Mặt khác do K là trực tâm của DSAC nên:
4a2 =OA.OC=OS.OK=h.OK => SK=OS -OK= 
Do đó: B'D' =BD. 
Vậy dt(AB'C'D')= .
2) Mặt phẳng AB'C'D' cắt BC tại B1 với AB1//BD và AB1=2a. Nếu B'C'D' là tam giác đều thì B'HC' là nửa tam giác đều. Suy ra:
Khi đó SO = h= OA. Suy ra SAC là tam giác đều. Vậy C' là trung điểm SC. Hình chóp C'.ABCD có đường cao hạ từ C' bằng h. Do vậy có thể tích bằng một nửa thể tích hình chóp S.ABCD. 
*Phân tích: Rõ ràng trong câu 2 của bài ra và trong lời giải đó có sự nhầm lẫn do trực giác mang lại. Thật vậy, hình chóp đỉnh C' đáy ABCD khi C' là trung điểm của SC thì có thể tích bằng một nửa thể tích của hình chóp S.ABCD nhưng hình chóp C'.ABCD không thể trùng với một trong hai phần của hình chóp S.ABCD do mp (AB'C'D') chia ra được. ở đây do trực giác ta tưởng rằng hình chóp C'ABCD là phần của hình chóp S.ABCD do thiết diện AB'C'D' cắt ra(!!). Ta dễ nhận ra rằng, thiết diện AB'C'D' chia hình chóp thành hai phần:
	- Một phần là hình chóp đỉnh S, đáy AB'C'D'.
	- Một phần là hình đa diện AB'C'D'.ABCD ( hình này không phải là hình chóp, vì nó có tới hai mặt là tứ giác, đồng thời không thể lẫn với hình chóp đỉnh C', đáy ABCD được).
	Do vậy, phần kiểm chứng trong câu 2 là sai, lời giải chỉ đúng với việc chứng minh rằng thể tích hình chóp đỉnh C' đáy ABCD có thể tích bằng nửa thể tích hình chóp S.ABCD, trong những điều kiện đã cho.
	Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong việc vẽ một số hình quen thuộc. Để sửa chữa một số thiếu sót này ta cần làm quen với một số cách vẽ những hình không gian thường gặp trong các đề toán. Cụ thể như sau:
Hình chóp tam giác đều	
Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp có một mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy	
Hình chóp có hai mặt bên kề nhau (SAC) và (SAB) vuông góc với đáy. SA là đường cao.
2. Sai sót khi biểu thị các khái niệm hìh học
	Trong các bài toán hình học không gian ta thường gặp các khái niệm:
	- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng;
	- Góc giữa hai mặt phẳng;
- Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng vv...
Nếu ta không nắm chắc các khái niệm này thì khi biểu thị nó trên hình vẽ ta dễ mắc sai lầm và dẫn đến những kết quả không đúng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, đường chéo BC' của mặt bên (BCC'B') hợp với mặt bên (BAA'B') một góc a. Tính thể tích lăng trụ.
* Lời giải sai: Nối BA'. Góc giữa đường chéo BC' với mặt bên (BAA'B') là góc . Vậy ta có: .
Xét DABC ta có:
. Vì cân.
Từ đó suy ra: 
Vậy CC'2=BC'2-BC2= 
Suy ra : CC'= 
Vậy ;
Đáp số: .
* Phân tích: Sai lầm chính của lời giải trên đây là việc xác định góc giữa đường thẳng BC' với mặt phẳng (BAA'B') . Lẽ ra theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữa đường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng và việc đầu tiên là phải xác định hình chiếu của BC' trên mặt phẳng (BAA'B'). Để xác định hình chiếu của BC' trên mặt phẳng (BAA'B') ta xác định hình chiếu của điểm C' lên mặt phẳng (BAA'B'). Ta để ý đến trung điểm I của cạnh A'B'. Lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên BB' ^ mp(A'B'C') => BB' ^ IC' (1). 
Tam giác A'B'C' là tam giác đều nên A'B' ^ IC' (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra : IC'^ mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B'). Vậy , từ đó ta có:
Suy ra: 
Thay vào ta được: .
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy ABC là một tam giác vuông tại A, có AB=a, góc B=a. Mặt phẳng đí qua cạnh BC và đỉnh A' của đáy trên hợp với mặt đáy ABC một góc j . Tính thể tích lăng trụ.
* Lời giải sai: Góc A'BA là góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng đáy (ABC). Do đó: .
Ta tính được 
Vậy 
.
* Phân tích: Rõ ràng lời giải này hoàn toàn sai vì góc A'BA không phải là góc giữa mặt phẳng (A'BC) và mặt phẳng đáy (ABC), vì góc này theo định nghĩa phải là góc của nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng đó. Do vậy ta phải xác định cho đúng góc phẳng đó.
Muốn vậy, từ A ta kẻ AI ^ BC . Vì AA' ^ mp(ABC) => A'I ^ BC ( Định lý ba đường vuông góc).
Vậy góc A'IA là góc phẳng của nhị diện hợp bởi mp(A'BC) với mặt phẳng đáy. Do đó: .
Từ đây ta có: AC=tana; AI= asina; AA'=AI.tanj=asina.tanj.
Vậy: 
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là những hình thoi có một góc bằng 600 và cạnh đều bằng a.
1) Tính thể tích hình hộp;
2) Tính độ dài đường vuông góc chung của BB' và A'C'.
* Lời giải sai: 
1) Kẻ A'H ^ mp(ABCD), dễ thấy rằng các tam giác AA'D và BAD đều nên tứ diện A'ABD là tứ diện đều, do đó H trùng với tâm của tam giác đều ABD.
Vậy .
2) Gọi J là trung điểm của đường chéo A'C' ta có: 
B'J ^ A'C' và BJ ^ A'C' => A'C' ^ mp(BB'J).
Do vậy, từ trong mặt phẳng (BB'J) ta có thể kẻ đường thẳng JI ^ BB' thì JI chính là đường vuông góc chung của BB' và A'C'. Ta tính thể tích của tứ diện B.A'B'C' theo JI.
Mặt khác ta có chiều cao của tứ diện B.A'B'C' cũng có độ lớn bằng đoạn A'H, tức là bằng , do đó ta tính được thể tích của nó là :
So sánh (1) và (2) ta có: .
* Phân tích: Lời giải trên phạm những sai lầm sau:
1. Từ giả thiết hai tam giác A'AD và BAD đều đi đến kết luận hình A'ABD là tứ diện đều là không chặt chẽ. Cần phải chứng minh thêm tam giác A'BD cũng là tam giác đều cạnh a.
2. Cách xác định thể tích V theo cách hai là sai. Ta thấy BJ không thể vuông góc với A'C' vì BA' và BC' không thể bằng nhau được.
3. Việc xác định đường vuông góc chung IJ của BB' và A'C' là sai. Thật vậy, nếu có IJ ^BB' thì ta chứng minh được ngay A'C' ^ (JB'I). Từ đây ta lại suy ra BJ ^ A'C'. 
Để giải đúng câu này, trước hết ta phải xác định đường vuông góc chung của A'C' và BB'.
Ta chứng minh được nếu kẻ A'H ^ (ABCD) thì H nằm trên AC và ta có:
A'H ^ OB, AC ^ OB => OB^ (AA'C'C) => OB ^ AA'. Mà AA' //BB' nên OB ^ BB'.
Dễ thấy B'J//OB. Do vậy B'J ^BB'.
Mặt khác: B'J ^ A'C'. Vậy B'J chính là đường vuông góc chung của A'C' và BB'. Từ đây, ta tính được: 
Qua lời giải bài toán này ta rút ra một kinh nghiệm giải những bài toán tính toán các yếu tố (độ dài đường vông góc chung, độ lớn góc nhị diện vv...). Ngay cả khi đầu bài chỉ yêu cầu ta tính mà không bắt buộc ta phải xác định các yếu tố đó thì trên thực tế ta vẫn cứ xác định chúng trên hình vẽ vì như vậy việc tính toán sẽ dễ dàng hơn và nhiều khi chính cách xác định cũng giúp ta đường lối để tính các yếu tố đó.
Chương 3
kết quả thực nghiệm
I. Kết quả thực nghiệm
1) Bảng thống kê các sai lầm của học sinh lớp 11 qua giờ bài tập
TSHS
Sai về hình vẽ
Sai về biểu thị các khái niệm hình học
10
4(40%)
3(30%)
62
40(64,5%)
35(56,5%)
2) Bảng thống kê các sai lầm của học sinh lớp 11 qua bài kiểm tra 1 tiết
TSHS
Sai về hình vẽ
Sai về biểu thị các khái niệm hình học
62
42(67,7%)
30(48,4%)
II. Kết luận
Trên đây là một vài sai sót phổ biến mà các học sinh thường gặp khi giải những bài toán về hình học không gian. Các ví dụ trên chỉ là một vài lỗi tiêu biểu, mong rằng các em sẽ tránh được và cải tiến phương pháp học toán của mình nhất là bộ môn hình học không gian.
Vì thời gian ngắn chưa có nhiều ví dụ , rất mong các thầy cô dạy toán góp ý và xây dựng phương pháp học hình học không gian cho học sinh.
Xin trân thành cảm ơn.
Việt trì, ngày 24 tháng 12 năm 2008
Giáo viên
Trần Quốc Trọng
tài liệu tham khảo
[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) và các tác giả, SGV/SGK Hình học lớp 11, NXB Giáo dục, 2007.
[2] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học toán, NXB Giáo dục, 2000.
[3] Lê Duy Ninh, Dạy học suy luận và chứng minh, Đại học sư phạm
 Hà Nội II, 1999.
[4] Nguyễn Hải Châu và các tác giả, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình SGK lớp 11, 2007.
[5] Báo toán học và tuổi trẻ/ Tạp trí THPT, Khoa học tự nhiên.
nhận xét của hội đồng khoa học