SKKN Khai thác và phát triển từ một bài toán đơn giản để bồi dưỡng Toán 8

A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá của đất nước. Đó là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập, thích nghi tốt với cuộc sống và lao động. Vì thế, người giáo viên bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập.
Trong tất cá các môn học cấp THCS, toán học nói chung và hình học nói riêng thì hình học là một phân môn rất quan trọng trong việc rèn luyện tính lôgic, tư duy sáng tạo, giúp học sinh không những học tốt môn Toán mà còn có thể học tốt các môn học khác. Việc khai thác, phát triển một bài toán đơn giản góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao năng lực tư duy cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy:
Các giáo viên giảng dạy toán đều đánh giá cao tầm quan trọng của việc khai thác, phát triển từ một bài toán mà học sinh đã giải được. Việc khai thác giả thiết, khai thác sâu thêm kết quả của bài toán để tạo ra các bài toán khác (đơn giản hoặc phức tạp hơn) là rất quan trọng và có ích. Nó không chỉ giúp người dạy và người học nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà nó còn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá một bài toán; từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho các em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức hơn một cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú yêu thích bộ môn toán hơn. Nhưng hầu hết học sinh ( kể cả học sinh khá giỏi) sau khi giải xong một bài toán đều thoã mãn với nó mà không có ý thức khai thác, phát triển nó thành chùm bài toán liên quan nhau. Chính điều này làm hạn chế sự phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh hoạt của học sinh. 
Chúng ta biết rằng, mỗi một bài toán đều có giả thiết và kết luận của nó. Việc chứng minh kết luận đó là yêu cầu bắt buộc học sinh phải thực hiện. Song, chúng ta cần rèn cho học sinh suy nghĩ đằng sau bài tập đó còn có thể khai thác được gì, khai thác như thế nào đó mới là vấn đề cần thiết để giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo và linh hoạt. Chẳng hạn: Chúng ta khai thác thêm được bài toán mới nào từ bài toán đó, thay đổi một số giả thiết thì cho ra bài toán mới nào, hay như đảo ngược bài toán thì sao?...
Trong chương trình hình học 8, có nhiều bài toán hay và khó dành cho học sinh giỏi nhưng lại xuất phát từ bài toán đơn giản. Chỉ với sự thay đổi một vài giả thiết có thể tạo ra một hệ bài tập hay và nó giúp cho học sinh phát triển tư duy rất nhiều. Qua dạy giảng dạy nhiều năm lớp 8 tôi xin trao đổi kinh nghiệm: “Khai thác và phát triển từ một bài toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8“.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Chúng ta bắt đầu bằng bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1 ( Bài toán cơ bản):
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt tia BC tại L. Chứng minh rằng: Tam giác DIL cân. 
Hướng dẫn:
DADI, DCDL có:
AD=CD
 = =90 ( tính chất hình vuông)
 = ( cùng phụ với )
Þ DADI = DCDL ( c.g.c)
Þ DI = DL.
Vậy : DDIL cân tại D. 
Khai thác bài toán: Từ bài toán 1, nếu ta kẻ đường phân giác cắt cạnh BC tại M. 
Khi đó: = 45 
Þ DLDM = DIDM 
 Þ ML = MI
Þ P = IB + BM + MI 
 = IB + BM + ML
 = IB + BC + CL 
 = BC + BA = P ( Với P là chu vi )
Do đó ta có bài toán 2 sau đây:
Bài toán 2:
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho = 45 . 
Chứng minh rằng: Chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD.
Hướng dẫn:
Như vậy từ bài toán 1, ta cần phải tạo ra DADI = DCDL ( c.g.c) bằng cách vẽ thêm đường phụ như sau:
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI
Þ DCLD=DAID (c.g.c)
Þ DL=DI, = (1)
Mà + + = = 90 ( tính chất hình vuông)
 Þ + = 90 - = 45 (2)
Từ 1,2 suy ra: + = 45 hay = 45 
 Þ DLDM = DIDM (c.g.c) 
Þ ML = MI
Do đó: P = IB + BM + MI 
 = IB + BM + ML
 = IB + BM + CL + CM 
 = IB + BM + AI + CM 
 = (BI + AI) + (BM + MC) 
 = AB + BC= P .
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài toán thành nhiều ý như sau:
“Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho = 45 . 
a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh rằng: DCLD =DAID. 
b, Chứng minh rằng: ML = MI.
c, Chứng minh rằng: Chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD.”
Khai thác bài toán: Đặt câu hỏi ngược lại với bài toán 2, nếu chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD thì số đo = 45 hay không?
Ta có tiếp bài toán 3 sau đây:
Bài toán 3:
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD. Chứng minh rằng: = 45. 
Hướng dẫn:
Vẫn từ bài toán 1, ta cần phải tạo ra DADI = DCDL ( c.g.c) bằng cách vẽ thêm đường phụ như sau:
Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI
Þ DCLD=DAID (c.g.c)
Þ DL=DI, = (1)
Ta có:P = P
Û IB + BM + MI = AB + BC
Û IB + BM + MI = BI + AI + BM + MC
Û MI = AI + MC (2)
Từ 1,2 suy ra: MI = CL + MC = ML
Þ DLDM = DIDM (c.c.c) 
Þ = hay + = 
Þ + = 
Mà + + = = 90 ( tính chất hình vuông)
 Þ = 45. 
Vậy : = 45 
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể chia bài toán thành nhiều ý như sau:
“Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD. 
a, Trên tia đối của tia CB, lấy điểm L sao cho CL=AI. Chứng minh rằng: DCLD=DAID. 
b, Chứng minh rằng: DLDM = DIDM 
c, Chứng minh rằng: = 45.” 
Khai thác bài toán: Trong bài toán 3, chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD. Nên chu vi DIBM bằng 2a ( với a là độ dài cạnh hình vuông ABCD cho trước) không đổi nhưng diện tích DIBM thì luôn thay đổi do độ dài cạnh MI phụ thuộc vào vị trí điểm di động I trên cạnh AB kéo theo diện tích DDMI cũng thay đổi. Lúc này vấn đề đặt ra là diện tích DDMI lớn nhất là bao nhiêu khi điểm I ở vị trí nào trên AB?
Khai thác giả thiết này ta có bài toán cực trị hình học sau đây:
Bài toán 4:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi DIBM bằng một nữa chu vi hình vuông ABCD. Xác định vị trí của điểm M và I để diện tích DDMI đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó?
Hướng dẫn:
Theo bài toán 3, thì DCLD = DAID (c.g.c); DLDM = DIDM (c.c.c) 
 S = S - ( S + S + S )
 = S - ( S + S + S )
 = S - ( S + S ) 
 = S - ( S + S ) 
Þ 2S = S - S
 Þ S = S - S = a - S 
 Þ S £ a. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi S = 0 
Û I º B và M º C hoặc I º A và M º B.
Vậy: S đạt giá trị lớn nhất là a khi và chỉ khi I º B và M º C hoặc 
I º A và M º B.
Bài toán này chủ yếu dành cho học sinh giỏi.
Khai thác bài toán: Trở lại bài toán 1, khi điểm I thay đổi trên AB kéo theo độ dài đoạn thẳng LI cũng thay đổi. Nên trung điểm M của LI là một điểm di động nhưng khoảng cách từ M tới D và tới B thì như thế nào với nhau? DB là đoạn thẳng cố định vì sao? Vậy M di động trên đường cố định nào?
 Với sự khai thác giả thiết bài toán 1 theo hướng này cho ta bài toán chứng minh điểm di động trên một đường cố định như sau:
Bài toán 5: 
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm của IL.Chứng minh rằng: M di chuyển trên đường cố định khi I thay đổi trên AB.
Hướng dẫn:
DDIL vuông tại D(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL
 Þ MD = LI (1)
DBIL vuông tại B(gt) và M là trung điểm của cạnh huyền IL
 Þ MB = LI ( 2). Từ 1,2 suy ra: MD = MB
Þ M cách đều hai đầu đoạn thẳng BD
Mà đoạn thẳng cố định BD ( do hình vuông ABCD cố định) nên đường trung trực của BD cố định khi I thay đổi trên AB.
Vậy: M di động đường trung trực BD cố định khi I thay đổi trên AB.
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể viết bài toán thành như sau:
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt tia BC tại L. M là trung điểm của IL.Chứng minh rằng: M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BD.”
Khai thác tiếp bài toán 4: Tiếp tục khai thác sự thay đổi độ dài đoạn thẳng LI khi điểm I di động trên AB thì đoạn thẳng LI ngắn nhất là bao nhiêu khi đó I nằm ở đâu trên AB? Ta có tiếp câu b, câu c của bài 4 như sau:
b, Đặt AI = x ( 0 < x £ a). Tính LI theo a và x.
c, Tìm vị trí của điểm I trên AB để LI có độ dài ngắn nhất và tìm giá trị đó.
Hướng dẫn:
b, Ta có: DAID vuông ở A nên: DI = AD + AI = a + x 
 DDIL vuông cân tại D nên: LI = 2DI = 2a + 2x 
 c, Từ câu b, ta có: LI ³ 2a Û LI = a 
 Vậy LI có độ độ dài ngắn nhất là a đạt được khi x=0 Û I º A.
 	Khai thác bài toán: Trở lại với bài toán 1, nếu ta kéo dài DI cắt tia CB tại E thì khi I thay đổi trên AB kéo theo độ dài một số đoạn thẳng thay đổi nhưng DAID luôn đồng dạng với DBIE cũng như D vuông DEL có đường cao DC luôn không đổi khi I. Vì vậy, ta có bài toán mới tiếp theo:
Bài toán 6:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một nằm giữa A và B. Tia DI cắt CB tại E. 
a, Chứng minh rằng: IE.IA = IB.ID.
b, Chứng minh: + = .
c, Trên tia đối cả tia AB lấy điểm F sao cho AF = BE. Gọi K là giao điểm của FC và AE. Chứng minh: DK ^ EF.
Hướng dẫn:
a,
DADI, DBIE có:
 = = 90 (gt)
 = ( đối đỉnh)
 Þ DADI ∽ DBIE ( g.g) 
 Þ = 
Þ IE.IA = IB.ID 
b, (Theo bài toán 1) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DI cắt CB tại L. 
Khi đó DI = DL ( theo bài toán 1)
 Þ + = + = = (1)
Mà: DCDL ∽ DDEL ( g.g) 
Þ = 
Þ DE.DL = CD.EL 
Þ DE.DL = CD.EL (2)
Từ 1, 2 suy ra: + = = = 
c, 
Dễ dàng chứng minh được: DCDE = DCBF (c.g.c) 
Þ = mà + = 90 ( Vì DCDE vuông ở C)
Þ + = 90 nên: CF ^ DE hay FK ^ DE tại K (3)
Dễ dàng chứng minh được: DBAE = DADF (c.g.c) 
 Þ = mà + + = 180 ( E,A,K thẳng hàng)
 Hay + 90 + = 180 
Þ + = 90
Nên: + = 90. 
Do đó: AK ^ DF hay EK ^ DF tại K (4)
Từ 3,4 suy ra: K là trọng tâm của DDEF.
Vậy: DK ^ EF.
Đây chính là bài 4 trong đề thi HSG huyện Thạch Hà môn toán 8 năm học 2013 - 2014.
Để dạy cho học sinh đại trà, ta có thể yêu cầu học sinh làm câu a, câu b với cách ra đề như sau:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một nằm giữa A và B. Tia DI cắt CB tại E. 
a, Chứng minh rằng: IE.IA = IB.ID.
b, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DI cắt CB tại L. 
Chứng minh:DCDL ∽ DDEL từ đó suy ra: DE.DL = CD.EL
c, Chứng minh: + = .
Khai thác bài toán: Tiếp tục khai thác sự thay đổi của điểm I trên AB và đường thẳng qua D nhưng không vuông góc với tia BC như bài 1 mà lại vuông góc với tia BA tại L cùng với tia DI cắt tia CB tại E. Khi đó ta có bài toán hoàn toàn tương tự bài toán 5 nhưng liệu LI ngắn nhất có phải là a nữa không? Và lúc đó vị trí điểm I có trùng với A hay không? Để trả lời câu hỏi này ta đi tiếp sang bài toán 5 sau đây:
Bài toán 7:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Gọi I là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt tia BC tại L. Gọi M là trung điểm của LI. 
a, Chứng minh rằng: M di động trên đường thẳng cố định khi I thay đổi trên AB.
b, Đặt AI = x ( 0 < x £ a). Tính LI theo a và x.
c, Tìm vị trí của điểm I trên AB để LI có độ dài ngắn nhất và tìm giá trị đó.
Hướng dẫn:
a, Câu a hoàn toàn giải như bài toán 4.
b, Ta có: DAID vuông ở A nên: DI = AD + AI = a + x(3)
Nhưng DDIL vuông tại D nhưng không cân do đó ta sử dụng hai tam giác đồng dạng để lập tỉ số đoạn thẳng tính DI như sau :
 DDIL t DAID (g.g)
 Þ = Þ DI = AI.IL = x.LI (4) 
Từ 3,4 suy ra: a + x = x.LI Þ LI = = + x ³ 2 = 2a 
( do ( - ) ³ 0, với mọi x > 0, a > 0 )
Vậy LI có độ dài ngắn nhất là 2a, đạt được khi = x Û x = a 
Û I º B.
C. KẾT LUẬN.
Trên đây là một số cách khai thác và phát triển từ một giả thiết I là điểm di động trên cạnh AB của hình vuông cho trước trong bài toán cơ bản 1 kết hợp với sự thay đổi một số giả thiết khác, hay đảo ngược bài toán, cũng có khi khai thác thêm các giả thiết của bài toán gốc để tạo ra chùm bài toán liên quan với nhiều dạng toán nhằm mục đích rèn kĩ năng giải toán cũng như kĩ năng khai thác phát triển bài toán cho học sinh nói chung và học sinh giỏi toán 8 nói riêng đáp ứng mục tiêu chính là phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho người học.
Và sau khi cho học sinh được thực hành theo kinh nghiệm này, tôi nhận thấy ban đầu các em còn bỡ ngỡ nhưng càng về sau các em hứng thú và say mê hơn, đa số các em đã tập được thói quen khi làm xong một bài toán thì luôn hướng bản thân suy nghĩ bài toán đó theo hướng:
Tìm thêm những kết luận khác từ các giả thiết đó.
Tìm ra những bài toán họ hàng của nó .
Tìm ra những bài toán hay và khó hơn bằng cách thử thay đổi một số giả thiết.
Dưới đây là kết quả khảo sát của bản thân tôi trước và sau khi áp dụng kinh nghiệm đối với học sinh lớp 8 mà tôi được dạy đại trà cũng như bồi dưỡng:
Kĩ năng
 Trước khi áp dụng
 Sau khi áp dụng
Khai thác bài toán một cách linh hoạt, sáng tạo
30%
60%
Đây là một kinh nghiệm nhỏ mà trong quá trình dạy học tôi đúc rút được tuy nhiên vẫn còn hạn chế, thiếu sót cần bổ sung. Tôi rất mọng nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp.
D. KIẾN NGHỊ.
- Hàng năm trường, huyện thường tổ chức viết sáng kiến kinh nghiệm. Nên sau khi chấm đề nghị ban tổ chức đánh giá và triển khai kinh nghiệm hay có ích cho việc dạy học đến đồng nghiệp các đơn vị để chất lượng dạy học ngày càng được nâng lên.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!