Tài liệu ôn tập học kỳ 2 và thi tốt nghiệp THPT môn Toán

 3. 2
3 2
x x
x x x x x x x    
− = ⇔ − = ⇔ − =   
   
. Đặt 
2 0
3
x
t  = > 
 
, PT trở thành : 
2
21 1 01 33 2 3 2 1 0 0
1 (
3
 loaïi)
x
t x
t t t x
t
t
  
= ⇔ = ⇔ =  
 
− = ⇔ − − = ⇔ ⇔ =

= −

3. Giải các phương trình lôgarit sau : 
a) 3 3log (5 3) log (7 5)x x+ = + , ĐK : 
3
5
x > − . PT 5 3 7 5 1x x x⇔ + = + ⇔ = − (loại) 
b) 2 2log ( 5) log ( 2) 3x x− + + = , ĐK : 5x > . 
PT 2 22
6
log ( 5)( 2) 3 3 10 8 3 18 0
3 ( loaïi)
x
x x x x x x
x
=
⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ 
= −
c) 2log( 6 7) log( 3)x x x− + = − ; ĐK : 
2 6 7 0 3 2 3 2 3 2
3 0 3
 hoaëc x x x x
x
x x
 − + > +
⇔ ⇔ > + 
− > > 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 9 
PT 2 2
5
6 7 3 7 10 0 5
2 ( loaïi)
x
x x x x x x
x
=
⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ ⇔ =
=
4. Giải các phương trình lôgarit sau : 
a) 21 1log( 5) log5 log
2 5
x x x
x
+ − = + ; ĐK : 21 1
2
x
−
> 
PT 2 2 2
2
log( 5) 0 5 1 6 0 2
3 ( loaïi)
x
x x x x x x x
x
=
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =
= −
b) 4 82log 4log log 13x x x+ + = ; ĐK : 0x > 
PT 2 2 2 2 2
1 132log 2log log 13 log 13 log 3 8
3 3
x x x x x x⇔ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Bài tập : 
1. Giải các phương trình mũ sau : a) 2 5 65 1x x− − = b) 
2 2 3
11 7
7
x x
x
− −
+ 
= 
 
 c) 17 2x x− = 
d) 4 2 12 2 5 3.5x x x x+ + ++ = + e) 4.9 12 3.16 0x x x+ − = f) 8 2.4 2 2 0x x x− + + − = 
g) 2 5 23 3 2x x+ += + h) 2 15 126.5 25 0x x+ + + = i) 27 12 2.8x x x+ = (chia cho 32 x ) 
2. Giải các phương trình lôgarit sau : 
a) 4 3log log 4 2 logx x x+ = + b) 5 33log ( 2).log 2log ( 2)x x x− = − c) log9 log9 6xx + = 
d) 12 2log (2 1).log (2 2) 2x x++ + = e) 2 51 2log 5 log ( 2)x x++ = + 
3. CMR các phương trình sau chỉ có một nghiệm 1x = : 
a) 4 5 9x x+ = b) 9 2( 2).3 2 5 0x xx x+ − + − = c) 22 ( 2) 3 2 0x x x x− + − + = 
Chủ đề 5 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
I. Bất phương trình mũ : 
1) BPT mũ cơ bản : xa b> (hoặc , , ) x x xa b a b a b≥ ≠ . 
Xét BPT xa b> : 
• Nếu 0b ≤ , tập nghiệm của BPT là ℝ 
• Nếu 0b > và : (BPT loga bxa a⇔ > ) 
+ 1:a > nghiệm của BPT là : logax b> 
+ 0 1:a< < nghiệm của BPT là : logax b< 
2) BPT mũ đơn giản : Ta biến đổi về BPT mũ cơ bản hoặc BPT đại số. 
II. Bất phương trình lôgarit : 
1) BPT lôgarit cơ bản : loga x b> (hoặc log , log , log ) a a ax b x b x b≥ ≠ . 
Xét BPT loga x b> : 
+ 1:a > log ba x b x a> ⇔ > 
+ 0 1:a ⇔ < < 
2) BPT lôgarit đơn giản : Ta biến đổi về BPT lôgarit cơ bản hoặc BPT đại số. 
Các ví dụ : 
1. Giải các BPT mũ sau : 
a) 2 23 3 2 2 2 12 4 2 2 3 2 3 2 0
2
x x x x
x
x x x x
x
− + − + ⇔  >
b) 2 1 13 3 28 28.3 3.28 3 3 1x x x x x+ −+ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 10 
c) 2 2 1 04 3.2 2 0 2 3.2 2 0
12 2
x
x x x x
x
x
x
 < <
− + > ⇔ − + > ⇔ ⇔  >> 
2. Giải các BPT lôgarit sau : 
a) 8log (4 2 ) 2 4 2 64 2 60 30x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − ⇔ ≤ − 
b) 
0,2 5 0,2 2
0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
22
log log ( 2) log 3
log log ( 2) log 3 log ( 2 ) log 3
xx
x x
x x x x
>>  
− − < ⇔ ⇔ ⇔ + − < ⇔ − < 
 2
2
3
2 3 0
x
x
x x
>
⇔ ⇔ >
− − >
c) 23 3
3
0 0
log 5log 6 0 9 27
2 log 3 9 27
x x
x x x
x x
> > 
− + ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Bài tập : 
1. Giải các BPT mũ sau : 
a) 
22 2
5 5
x x−
   
>   
   
 b) 4 4
4 3
x
x x
<
−
 c) | 2|3 9x− < d)16 4 6 0x x− − ≤ 
2. Giải các BPT lôgarit sau : 
a) 1
3
log ( 1) 2x − ≥ b) 21
2
log ( 2 8) 4x x+ − ≥ − c) 20,2 0,2log 5log 6x x− < − d) 
44log 33log 4 1xx − ≤ 
3. Cho + =a b c , với > >0, 0a b . 
a) CMR : + 1m b) CMR : + >m m ma b c , nếu < <0 1m 
HD : Sử dụng tính chất của hàm số mũ : xy a= , khi 1a > hàm số luôn đồng biến, 0 1a< < hàm số 
luôn nghịch biến. 
a) Ta có :    + < ⇔ + <   
   
1
m m
m m m a ba b c
c c
Do : 1, 1a b
c c
 thì 
1
1
m
a a a
m
c c c
   
> ⇔ < =   
   
 và 
mb b
c c
 
< 
 
Suy ra : +   + < + = =   
   
1
m m
a b a b a b
c c c c c
 (đpcm) 
BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 
Bài 1 : Rút gọn : 
1/ 
1 1 1
2 2 2
1 1
2 2
2 2 1
.
12
a a aA
a
a a a
 
+ − + 
= −
 
− + 
 2/
3 3 32 2 2 23 3
3
3 33 2 3
2
:
a a a b a b a b abB a
a ba ab
 
− + −
= + 
−
−  
3/ 
3 3
6 6
a bC
a b
−
=
−
 4/ 
4
:
ab ab bD ab
a ba ab
− 
= − 
−+ 
Bài 2 : Giải các phương trình sau : 
1/ 54 1024x = 2/ 1 3 18
32
x−
= 3/ 
2 5 63 1
2
x x− +
 
= 
 
 4/ 
3 7 7 39 7
49 3
x x− −
   
=   
   
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 11 
5/ 1 1 17 .4
28
x x− −
= 6/ 22 2 20x x++ = 7/ 3.9 2.9 5 0x x−− + = 8/ 14 2 24 0x x++ − = 
Bài 3 : Tính 
1/ 5 27
1log .log 9
25
A = 2/ 32 log 2log 34 9B = + 3/ 9 8log 2 log 2727 4C = + 4/ 
3 8 6log 6.log 9.log 2D = 
Bài 4 : Thực hiện phép biến đổi : 
1/ Cho 25 2log 7 , log 5 a b= = . Tính 5
49log
8
 theo ,a b 
2/ Cho 2 2log 5 , log 3 a b= = . Tính 3log 135 theo ,a b 
Bài 5 : Tính đạo hàm các hàm số sau : 
1/ 2( 2 2) xy x x e= − + 2/ 2( 2) xy x e−= + 3/ cos2x xy e= 4/ 3
1
x
y
x
=
+
5/ 2ln(2 3)y x x= + + 6/ 2(2 1) ln(3 )y x x x= − + 7/ ln(2 1)
2 1
xy
x
+
=
+
 8/ 2ln( 1 )y x x= + + 
Bài 6 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số) : 
1/ 5.3 3.2 7.2 4.3x x x x+ = − 2/ 1 2 1 1 25 5 5 3 3 3x x x x x x− − + − −+ + = + + 
Bài 7 : Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa) : 
1/ 5 33 5
x x
= 2/ 5 23 2x x−= 3/ 1 3( 2) ( 2)x xx x− −+ = + 4/ ( ) ( )2 5 4 42 23 3x x xx x− + ++ = + 
Bài 8 : Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ) : 
1/ 9 5.3 6 0x x− + = 2/ 22.2 15.2 8 0x x+ − = 3/ 1 25 5 124x x+ −− = 
4/ 2 2 23 2.3 27 0x x− −− − = 5/ ( ) ( )7 4 3 2 3 6x x+ + + = 6/ 2 2sin cos9 9 6x x+ = 
Bài 9 : Giải các phương trình mũ sau (đưa về tích số) : 
1/ 25.2 10 5 25x x x− + = 2/ 12.3 3.15 5.5 20x x x+ − = 
Bài 10 : Giải các phương trình logarit sau (đưa về cùng cơ số) : 
1/ 3log (2 1) 2x − = − 2/ 2 2log ( 2) log ( 2) 2x x+ − − = 3/ 22 2
5log log ( 25) 0
5
x
x
x
−
+ − =
+
4/ 2log (9 2 ) 3x x− = − 5/ 13log (3 26) 2x x+ − = − 6/ 4 2 4log ( 3) log 1 2 log 8x x+ − − = − 
Bài 11 : Giải các phương trình logarit sau (đặt ẩn phụ) : 
 1/ 2
2 2
6 4 3
log 2 logx x
+ = 2/ 2 12 2log (2 1).log (2 2) 2x x++ + = 3/ 
3 9
3
4(2 log ).log 3 1
1 logx
x
x
− − =
−
Bài 12 : Giải các bất phương trình sau : 
1/ 3 62 1x− > 2/ 5log (3 1) 1x − < 3/ 20,5log ( 5 6) 1x x− + ≥ − 4/ 3
1 2log 0x
x
− ≤ 
5/ 12 2 3 0x x− ++ − < 6/ 20,5 0,5log log 2 0x x+ − ≤ 7/ 21 3
3
log ( 6 5) 2 log (2 ) 0x x x− + + − ≥ 
Chủ đề 6 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
I- Nguyên hàm : 
1. Phương pháp đổi biến số : [ ( )]. ( ) [ ( )]f u x u x dx F u x C′ = +∫ 
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần : udv uv vdu= −∫ ∫ 
II- Tích phân : ( ) ( ) ( ) ( )= = −∫
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 12 
1. Phương pháp đổi biến số : [ ]b
a
f x dx f t t dt( ) ( ) ( )
β
α
ϕ ϕ′=∫ ∫ VÀ [ ( )]. ( ) ( )
u(a)a
b u(b)
f u x u x dx f u du′ =∫ ∫ 
2. Phương pháp tích phân từng phần : 
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫ 
III. Diện tích hình phẳng : 
1. Giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành : 
b
a
S f x dx( )= ∫ 
2. Giới hạn bởi hai đường cong : 
b
a
S f x f x dx1 2( ) ( )= −∫ 
Nếu trên [α; β] biểu thức f1(x) – f2(x) không đổi dấu thì: f x f x dx f x f x dx1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
β β
α α
 − = − ∫ ∫ 
IV. Thể tích khối tròn xoay : 
b
a
V f x dx2( )pi= ∫ 
BÀI TẬP : 
NGUYÊN HÀM 
1- Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 
a) 2( ) 3
2
x
f x x= + b) 
1
3( )f x x= c) 2( ) cosf x x= d) 2( ) 10 xf x = e) 
3 2
2
3 3 1
( )
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
2- Tìm : 
a) 3( )x x dx+∫ b) 2
x x x
dx
x
+
∫ c) 
1 cos4
2
x
dx
+
∫ d) 24sin xdx∫ e) 
2
2 1
3 2
x
dx
x x
+
+ +∫
3- Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của : 
a) 
2
3
9
( )
1
x
f x
x
=
−
 b) 1( )
5 4
f x
x
=
+
 c) 24( ) 1f x x x= − d) 
2
1
( )
(1 )
f x
x x
=
+
4- Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của : 
a) ( ) sin
2
x
f x x= b) 2( ) cosf x x x= c) e( ) xf x x= d) 3( ) ln(2 )f x x x= 
Bài tập tổng hợp : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : 
1- a) 2( ) 3 7 3f x x x= − b) ( ) cos(3 4)f x x= + c) 2
1
( )
cos (3 2)
f x
x
=
+
 d) 
5( ) sin cos
3 3
x x
f x = 
2- a) 
53
2( ) 1
18
x
f x x
 
= − 
 
 b) 2
1 1 1
( ) sin cosf x
x x x
= c) e3( ) xf x x= d) e 3 9( ) xf x −= 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 13 
3- a) 2( ) cos2f x x x= b) ( ) lnf x x x= c) 4( ) sin cosf x x x= d) 
2( ) cos( )f x x x= 
4- Tìm : 
a) 
2ln x
dx
x∫
 b) 2
sin2
4 cos
x
dx
x−∫
 c) 2( sin )cosx x xdx+∫ d) 2ln( )x x dx−∫ 
e) 2 2 ( 0)
dx
a
x a
≠
−
∫ f) 2
cos
cos 1 sin
dx xdx
x x
 
= 
− 
∫ ∫ g) sin
dx
x∫
 h) 2 sin3xe xdx∫ 
TÍCH PHÂN 
1- Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số : 
1
2 2
0
1x x dx−∫ (x=sint) 
2
5
1
(1 )x x dx−∫ 
1
0
( 1)xe dx+∫ 
1
1
( )x xe e dx−
−
−∫ 
1
2
1
2 1
1
x dx
x x
−
+
+ +
∫ 
1
0
1 x dx+∫ 
1
3 4 3
0
(1 )x x dx+∫ 
1
2 2
0
5
( 4)
x dx
x +∫
6
0
(1 cos3 )sin 3x xdx
pi
−∫ 
3
2
0
4
1
x dx
x +
∫ 
2- Tích phân từng phần : 
1
ln
e
x xdx∫ ( ln , )u x dv xdx= = 
2
0
cos 2x xdx
pi
∫ 
ln 2
2
0
xxe dx−∫ 
2
4
cos ln(sin )x x dx
pi
pi
∫ 
3 3
2
0 1
x dx
x +
∫ 
1
cosxe xdx
pi
∫ 
2
0
sin cosx x xdx
pi
∫ 
2
0
2 sinx xdx
pi
∫ 
3- Tính các tích phân sau : 
dx
x x
1
2
0 5 6− +
∫ x x dx
2 2
2
0
1+∫ x xdx
4
0
sin2 .cos
pi
∫ 
x
x
e
dx
e
1
01+
∫ 
1
0
x
x dx
e∫
2
3ln
e
e
dx
x x∫
5
1 2
2 1x x dx−∫ 
2
2
0
( cos )sinx x xdx
pi
+∫ 
4
2
3
2
4 5
x dx
x x
−
− −
∫ 
4- Tính : 
1
0
(2 1) xx e dx+∫ 
3
1
2 lnx xdx∫ 
0
(1 cos )x x dx
pi
+∫ 
1
0
(2 )xx xe dx+∫ 
5- Tính các tích phân: 
 dx
x x
2
1
2
1
( 1)+∫
 x x dx
2
2
0
( 1)+∫ 
2
0
(2 )sinx xdx
pi
−∫ x xdx
2
2
sin3 .cos5
pi
pi
−
∫ 
x dx
1
2
0
1−∫ 
x
x
e x
dx
xe
1
0
(1 )
1
+
+
∫ 
a
dx
a x
2
2 20
1
−
∫ x xdx
2
0
( 1)sin
pi
+∫ 
e
x xdx2
1
ln∫ 
ln 2 2
0 1
x
x
e dx
e +∫
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 14 
6. Tính: 
3
0 1+
∫
x dx
x
64
3
1
1+
∫
xdx
x
2
2 3
0
∫
x
x e dx 
0
1 sin 2
pi
+∫ xdx 
2
2
0
cos2 sin
pi
∫ x xdx 
2
2
0
1
2 3− −∫ dxx x
2
0
( sin )
pi
+∫ x x dx 2
1
ln d(2 ln )
e
x
x
x x+∫
1 2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e dx
e
+ +
+∫
1
32 ln
e
x xdx
x
 
− 
 
∫ 
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
1- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : 
a) 4 20; 1; 0; 5 3 3x x y y x x= = = = + + b) 2 1; 3y x x y= + + = c) 24 ; 0y x x y= − = 
d) ln ; 0; y x y x e= = = e) 3 , 1; 8x y y x= = = f) 
; ; 0; cos
2
x x y y xpi pi= − = = = 
2- Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 2 2y x x= − + , tiếp tuyến với nó tại điểm (3;5)M và 
trục Oy 
3- Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau : 
a) 2 2y x x= − và 2y x= − + b) 4 2
4
xy
x
−
=
−
 và hai trục tọa độ. 
4- Tính hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 
a) 3 2 1= + +y x x và 3 4 2= + −y x x b) 2 , 0, 3y x x x= = = và trục Ox 
THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY 
1- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây 
khi nó quay xung quanh trục Ox : 
a) 20; 2y y x x= = − b) sin ; 0; 0;
4
y x y x x pi= = = = c) 
2 ; 0; 0; 1
x
y xe y x x= = = = 
2- Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình elip (E) : 
2 2
2 2 1
x y
a b
+ = , khi nó quay xung 
quanh trục Ox. 
3- Tính thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng xác định bởi : 
a) 2 32 , y x y x= = quanh trục Ox b) 2 2 , 0y x x y= − + = quanh trục Ox 
4- Xét hình phẳng giới hạn bởi y x y x22 1 , 2(1 )= − = − 
a) Tính diện tích hình phẳng. 
b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục Ox. 
Chủ đề 7 : SỐ PHỨC 
1- Tìm các số thực x, y thoả : 
a) iyxiyx )5()1()12()23( −−+=++− b) iyix )31(53)21( −+=−− 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 15 
c) ixyyxixyyx )12()32()2()2( ++++−=−++ 
2- Đặt dưới dạng iyx .+ các số phức sau : 
a) 2)21)(1)(2( iiiz ++−+= b) ( )331 iz += c) 
i
i
z
+
−
=
1
1
 d) 
i
i
z
−
−
=
3
31
e) 
ii
z
−
+
+
=
1
1
1
1
 f) 
2012
3
1 3
i
z
i
 
−
=   + 
 g) 
iaa
ai
z )1(2
1
2
−+
+
= h) 23253 2)( iiiz +−+= 
3- Tính môđun của các số phức 
a) 
31
4
i
z
+
= b) 
26
1
i
z
+
= c) ( )4
3
31
)1(
i
i
z
+
+
= 
4- Tìm số phức z thoả điều kiện 10=z và phần thực bằng hai lần phần ảo 
5- Tìm các số phức sao cho 
a) iz 432 +−= b) iz 1252 +−= c) izz 43+=+
d) ( ) ( ) 0124 222 =−+++ zzzz
6- Giải các phương trình sau : 
a) iizi 37)54()23( +=++− b) ziizi )2()52()31( +=+−+ c) 
ii
i
z 25)32(
34
−=−+
−
7- Giải các phương trình sau : 
a) 012 =++ zz b) 022 =+− zz c) 016910 24 =++ zz d) zz =2 
8- Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn điều kiền : 
a) 1=z b) 21 ≤< z c) 1≤z d) 3 4 2z i− + = e) 2 | 3 |z z i− = + f) 11 <−− iz 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 16 
PHẦN HÌNH HỌC 
Chủ đề 1 : THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
• Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : 1
3
V Bh= 
• Thể tích V của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là : V Bh= 
• Thể tích của khối hộp bằng tích diện tích đáy với chiều cao của nó. 
• Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó. 
• Chú ý : 
a) Tỷ số thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỷ số đồng dạng. 
b) Ta thường áp dụng kết quả sau : Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần 
lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đó : 
. ' ' '
.
' ' 'S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
= ⋅ ⋅ 
Ví dụ : 
1) Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, 
các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích khối chóp đó. 
Giải : 
Kẻ SH⊥(ABC). H là trọng tâm của ∆ABC. 
3
2
aCI = , 2 3
3 3
aCH CI= = 
 0 0 360 .tan 60 3
3
aSCI SH CH a= ⇒ = = ⋅ = 
Thể tích khối chóp là : 
31 1 3 3
3 2 2 12
a aV a a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mp(P) qua A và vuông góc SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại 
B’, C’, D’. Biết rằng : ' 2, 
3
SBAB a
SB
= = . 
a- Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD. 
b- Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ 
Giải : 
a) Gọi SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Mp(P) cắt hình 
chóp theo thiết diện là tứ giác AB’C’D’. 
Ta có : BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC, do đó BD // (P), từ đó suy ra (P) 
cắt (SBD) theo giao tuyến B’D’ // BD 
Kẻ HE // AC’, khi đó : EC’= EC và ' ' ' 2
3
SC SH SB
SE SH SB
= = = 
Suy ra : ' 2 ' 1 ' 11 1
3 3 3
SC SE SC EC
SE SE SE
−
− = − ⇔ = ⇔ = 
Do đó : 2 2' 3 ' 2 ' '
3 3
SC SE EC EC CC= = ⋅ = = 
Vậy C’ là trung điểm của SC và SC⊥(AB’C’D’) 
Ta có : . ' ' . ' ' '
. .
2 2 4 2 2 1 2
, 
3 3 9 3 3 2 9
S AB D S B C D
S ABD S BCD
V V
V V
= ⋅ = = ⋅ ⋅ = 
.
. ' ' ' . ' ' . ' ' ' .
4 2 1
9 9 2 3
S ABCD
S AB C D S AB C S B C D S ABCD
VV V V V = + = + = 
 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 17 
b) Theo câu a), AC’vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của ∆SAC nên AS = SC, suy ra 
∆SAC đều. Từ đó ta có : 
3 3
3
. . ' ' '
3 6 1 6 6 6
2 2 3 2 6 18S ABCD S AB C D
AC a a aSH V a V= = ⇒ = ⋅ = ⇒ = 
Bài tập : 
1) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính tỷ số thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện 
ACB’D’. 
2) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đt qua C và vuông góc với mp(ABC) lấy 
điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính 
CDEFV theo a. 
3) Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a, BC=6a và các mặt bên tạo với đáy 
một góc 600. Hãy tính thể tích khối chóp đó. 
4) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. SA vuông góc với đáy. Biết 
AB=a, BC=2a, SA=a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp S.AEF 
theo a. 
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, 
SA=c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB và SD sao cho AB’⊥ SB, AD’⊥ SD. Mp(AB’D’) 
cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’. 
6) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. 
Mp(CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện đó. 
7) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy. Biết  0120BAC = , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (TN 2009) 
8) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
theo a. (TN 2010) 
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = 
3a . Tính thể tích khối chóp S.CDNM (ĐH Khối A 2010) 
10) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O là các giao điểm các đường chéo của đáy dưới 
ABCD, biết OA’ = a. 
a. Tính thể tích hình chóp A’.ABD, từ đó suy ra khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD). 
b. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mp(A’BD). 
11) Một hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường 
vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC. 
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. Tính thể tích hình lăng trụ. 
b. Chứng minh rằng mặt bên AA’C’C là hình vuông. 
12) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh 
góc vuông bằng a. Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, mỗi mặt bên còn lại 
tạo với đáy một góc 450. 
a. Chứng minh rằng chân đường cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh 
huyền BC. 
b. Tính thể tích của hình chóp. 
HD : Kẻ ( )SI BC SI ABC⊥ ⇒ ⊥ . Từ I kẻ ,IE AB IF AC⊥ ⊥ 
  045SEI SFI IE IF I⇒ = = ⇒ = ⇒ là trung điểm của BC 
13) Đáy ABC của hình chóp S.ABC là tam giác vuông cân (BA = BC). Cạnh 
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và độ dài bằng 3a . Cạnh bên SB tạo 
với đáy một góc bằng 600. 
a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp. 
b. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc giữa mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng đáy. 
Ôn thi tốt nghiệp 2012 MATHVN.COM – Toán học Việt Nam 
GV : Nguyễn Bá Tuấn – THPT Xuân Thọ www.MATHVN.com 18 
14) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với 
mặt phẳng đáy, SA= SB, góc giữa đường thẳng 
SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính theo a thể 
tích của khối chóp S.ABCD. (CĐ B 2010) 
15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 
hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình 
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng 
(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 
4
ACAH = . 
Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng 
minh M là trung điểm của SA và tính thể tích 
khối tứ diện SMBC theo a. (ĐH D 2010) 
16) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a. 
a. Tính thể tích hình chóp. 
b. Tính góc do mặt bên tạo với đáy. 
17) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuông tại B. Biết