Tài liệu ôn tập Toán 12 năm 2008 - 2009

lµ ®a thøc cña x vµ Q(x) lµ hµm sè ln(ax) th× ta ®Æt 
NÕu tÝnh tÝch ph©n hoÆc th×
 ta ®Æt 
 hoÆc ®Æt 
Trong tr­êng hîp nµy, ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn hai lÇn sau ®ã trë thµnh tÝch ph©n ban ®Çu. Tõ ®ã suy ra kÕt qu¶ tÝch ph©n cÇn tÝnh.
II.TÝch ph©n mét sè hµm sè th­êng gÆp
1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc
a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau:
 .
 (trong ®ã víi mäi )
XÐt .
 +)NÕu th× tÝnh ®­îc.
 +)NÕu th× ,
 (trong ®ã )
 .
 +) NÕu th× 
§Æt , ta tÝnh ®­îc I.
b) TÝnh tÝch ph©n: .
(trong ®ã liªn tôc trªn ®o¹n )
 +) B»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho: 
 +)Ta cã I= 
 . TÝch ph©n = 
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc.
 c) TÝnh tÝch ph©n víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x.
NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc.
NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c tr­êng hîp:
+ Khi Q(x) chØ cã nghiÖm ®¬n th× ®Æt
 .
+ Khi th× ®Æt
+ Khi víi a ¹ b th× ®Æt
.
VÝ dô 7. TÝnh tÝch ph©n: .
 Gi¶i: 
 C¸ch 1.B»ng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè ta cã thÓ t×m A, B sao cho:
VËy .
Do ®ã 
 .
C¸ch 2. V× nªn ta cã thÓ tÝnh tÝch ph©n trªn b»ng c¸ch:
 	T×m A, B sao cho: 
VËy .
Do ®ã 
 .
VÝ dô 8:TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i:
Do 
 §Æt 
VËy .
VÝ dô 9. TÝnh tÝch ph©n: . 
Gi¶i:
 .
2. TÝch ph©n c¸c hµm l­îng gi¸c
2.1.D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n c¬ b¶n
VÝ dô 10: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 
 a) ;
 b);
 c) .
Gi¶i
 a) 
 . 
b) Ta cã 
.
 . 
c) 
.
2.2.D¹ng 2: §æi biÕn sè ®Ó h÷u tØ hãa tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c 
2.2.1.TÝnh 
 Ph­¬ng ph¸p:
 §Æt 
 Ta cã: vµ 
 ®· biÕt c¸ch tÝnh.
VÝ dô 11. TÝnh 
Gi¶i: §Æt 
 .
2.2.2. TÝnh 
Ph­¬ng ph¸p: 
§Æt ®· tÝnh ®­îc.
VÝ dô 12. TÝnh: .
Gi¶i:Ta cã 
 §Æt 
 2.2.3. TÝnh .
Ph­¬ng ph¸p:
+)T×m A, B, C sao cho:
+) VËy =
=
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc
 TÝch ph©n
 TÝch ph©n tÝnh ®­îc.
VÝ dô 13. TÝnh: . 
Gi¶i:
 B»ng c¸ch c©n b»ng hÖ sè bÊt ®Þnh, t×m A vµ B sao cho:
 .
2.3.D¹ng 3: §æi biÕn sè ®Ó ®­a vÒ tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c ®¬n gi¶n h¬n 
 (Xem vÝ dô 17, 20, 21)
2.4.Chó ý: Nguyªn hµm d¹ng , víi lµ mét hµm h÷u tØ theo sinx, cosx
§Ó tÝnh nguyªn hµm trªn ta ®æi biÕn sè vµ ®a vÒ d¹ng tÝch ph©n hµm h÷u tØ mµ ta ®· biÕt c¸ch tÝnh tÝch ph©n.
Tr­êng hîp chung: §Æt 
 Ta cã 
Nh÷ng tr­êng hîp ®Æc biÖt:
+) NÕu lµ mét hµm sè ch½n víi sinx vµ cosx nghÜa lµ 
 th× ®Æt hoÆc , sau ®ã ®­a tÝch ph©n vÒ d¹ng h÷u tØ theo biÕn t.
 +) NÕu lµ hµm sè lÎ ®èi víi sinx nghÜa lµ: 
 th× ®Æt .
 +) NÕu lµ hµm sè lÎ ®èi víi cosx nghÜa lµ: 
 th× ®Æt .
3.TÝch ph©n hµm v« tØ 
3.1 .D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n v« tØ c¬ b¶n
VÝ dô 14. TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i
VÝ dô 15:TÝnh tÝch ph©n .
Gi¶i: . 
 3.2.D¹ng 2: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n hµm l­îng gi¸c
 (xem vÝ dô 2)
3.3D¹ng 3: BiÕn ®æi lµm mÊt c¨n
 Gåm: §æi biÕn sè t lµ toµn bé c¨n thøc
 ViÕt biÓu thøc trong c¨n d­íi d¹ng b×nh ph­¬ng ®óng
VÝ dô 15:TÝnh 
Gi¶i: 
§Æt t= 
 Ta cã: xdx=-tdt, Khi x= 0 th× t =1,khi x = 1 th× t =0 
VËy 
4.TÝch ph©n chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Ph­¬ng ph¸p:Chóng ta ph¶i ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi 
 VÝ dô 16: TÝnh 
Gi¶i: LËp b¶ng xÐt dÊu cña trªn ®o¹n 
x
-2 -1 1 2
 + 0 - 0 +
Do ®ã 
 . 
III.TÝch ph©n mét sè hµm ®Æc biÖt
1.Cho hµm sè liªn tôc vµ lÎ trªn ®o¹n . Khi ®ã
 .
VÝ dô 17: Chøng minh .
Gi¶i: §Æt . Khi x= th× t = - , khi th× 
Do ®ã : I= 
Suy ra : 2I = 0. Ta ®­îc .
2.Cho hµm sè liªn tôc vµ ch½n trªn ®o¹n . Khi ®ã .
 Chøng minh : Ta cã (1)
 Ta tÝnh b»ng c¸ch ®Æt 
 (2)
 Thay (2) vµo (1) ta ®­îc 
VÝ dô 18: TÝnh tÝch ph©n: 
Gi¶i: Ta cã 
Do lµ hµm sè lÎ trªn nªn 
vµ lµ hµm sè ch½n trªn nªn ta cã: 
VËy .
3.Cho hµm sè liªn tôc vµ ch½n trªn ®o¹n. Khi ®ã
Chøng minh: §Æt t= -x dt= - dx
Ta cã f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= 
Khi x= - th× t = ; x = th× t =- 
VËy 
Suy ra 
VÝ dô 19 : TÝnh tÝch ph©n: . 
Gi¶i:§Æt t= -x dt= - dx
Khi x= - 1 th× t = 1 ; x =1 th× t =-1 
VËy 
Suy ra 
4.Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n .Khi ®ã 
 .
 Chøng minh: 
 §Æt 
 Khi x = 0 th× , khi th× t = 0
Do ®ã .
NhËn xÐt : B»ng c¸ch lµm t­¬ng tù ta cã c¸c c«ng thøc
 *NÕu f(x) liªn tôc trªn th× 
 *NÕu f(x) liªn tôc trªn th× 
 VÝ dô 20:Chøng minh: I=.
.
 Gi¶i :
 T­¬ng tù nh­ trªn ta cã:
 I= =J
 +) VËy I+J= 
VËy I= .
VÝ dô 21: TÝnh tÝch ph©n: .
Gi¶i: §Æt .
Khi ®ã 
VËy .
Bµi tËp ®Ò nghÞ
Bµi 1.TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
 ( §H-KA-2006)
(§H-KA-2005)
(§H-KB-2005)
Bµi 2.TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
Bµi 3. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
PHẦN HÌNH HỌC .
 CHUÛ ÑEÀ 1 : KHOÁI ÑA DIEÄN , MAËT CAÀU VAØ MAËT TROØN XOAY
Theå tích cuûa khoái laêng truï : V = B. h ( B : dieän tích ñaùy , h laø chieàu cao )
Theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät : V = a.b.c ( a,b,c laø ba kích thöôùc ) 
Theå tích cuûa khoái laäp phöông : V = a3 (a: caïnh )
Theå tích cuûa khoái choùp : V = B. h ( B : dieän tích ñaùy , h laø chieàu cao )
Caàn nhôù :1/ Tam giaùc ñeàu caïnh a coù : Ñöôøng cao h = vaø dieän tích S =
 2/ Hình vuoâng caïnh a coù : Ñöôøng cheùo vaø dieän tích S = 
Baøi taäp
 9/ Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù caïnh ñaùy baèng a . Tính theå tích cuûa khoái choùp bieát :
 a/ Caïnh beân 2a
 b/ Goùc SAC baèng 450
 c/ Goùc giöõa maët beân vaø maët ñaùy baèng 600
 10/ a/Tính theå tích cuûa khoái laêng truï tam giaùc ABC .A’B’C’ coù A’A, AB, BC vuoâng goùc nhau töøng ñoâi moät vaø A’A= 2a, AB = a, BC= a
 b/ Cho khoái laêng truï tam giaùc ABC.A’B’C’coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a . ñieåm A’ caùch ñeàu ba ñieåm A ,B ,C ,caïnh beân AA’ taïo vôùi maët phaúng ñaùy moät goùc 600 . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï.
 c/ Cho khoái laêng truï ñöùng tam giaùc ABC.A’B’C’coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng a . Tính theå tích cuûa khoái laêng truï.
 11/ Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , SA (ABC) , SA= a. Tính theå tích cuûa khoái choùp ñoù 
Hình noùn coù : Dieän tích xung quanh - Theå tích 
Hình truï coù :Dieän tích xung quanh - Theå tích 
 ( l : ñöôøng sinh, r : baùn kính ñaùy, h : ñöôøng cao )
Maët caàu coù : Dieän tích S = 4R2 - Theå tích V =
Baøi taäp
 12/ Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình noùn bieát :
 a/ Thieát dieän qua truïc cuûa hình noùn laø tam giaùc vuoâng caân coù caïnh goùc vuoâng baèng a .
 b/ Ñöôøng sinh baèng a , goùc giöõa ñöôøng sinh vaø maët phaúng ñaùy baèng 600
 c/ Baùn kính ñaùy r = 12 vaø goùc ôû ñænh laø 1200 
13/ Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích cuûa hình truï bieát 
 a/ Moät hình truï coù baùn kính ñaùy R vaø thieát dieän qua truïc laø moät hình vuoâng 
 b/ Baùn kính ñaùy a , chieàu cao 2a
 14/Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät , SA vuoâng goùc ABCD.
 a/ Xaùc ñònh maët caàu ñi qua S , A ,B , C, D .
 b/ Tính dieän tích cuûa maët caàu bieát AB = a , AD = 2a , SA = 3a .
15/ (Ñaïi hoïc khoái A – 2006 ) 
 Cho hình truï coù caùc ñaùy laø hai hình troøn taâm O vaø O’ , baùn kính ñaùy baèng chieàu cao vaø baè.Treân 
 ñöôøng troøn ñaùy taâm O laáy ñieåm A , treân ñöôøng troøn ñaùy taâm O’ laáy ñieåm B sao cho AB = 2a .
 Tính theå tích khoái töù dieän OO’AB .
ChỦ ĐỀ 2: PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
§ 1. HEÄ TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN
I.TOAÏ ÑOÄ CUÛA ÑIEÅM VAØ CUÛA VEÙC TÔ:
1. Heä toïa ñoä :
 	Heä ba truïc Ox, Oy, Oz vuoâng goùc vôùi nhau töøng ñoâi moät vaø coù chung ñieåm goác O goïi laø heä truïc toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz ( hay heä toïa ñoä Oxyz ).
@ laø caùc vectô ñôn vò töông öùng treân caùc truïc Ox, Oy, Oz.
@ .
@ .
@ Ox: truïc hoaønh, Oy: truïc tung, Oz: truïc cao.
@ O: goác toïa ñoä.
 2. Toïa ñoä cuûa ñieåm:
 	Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz ñaõ choïn, cho ñieåm M baát kyø. Ttoïa ñoä cuûa ñieåm M 
 ñöôïc kyù hieäu laø. Ta coù : 
3. Toïa ñoä cuûa vectô:
 	Cho heä toïa ñoä Oxyz vaø vectô tuøy yù, coù duy nhaát moät boä ba soá (x,y,z):, boä ba soá (x,y,z) goïi laø toïa ñoä cuûa vectô .
@ Kyù hieäu: . Vaäy: 
Nhaän xeùt:
Vaäy neáu thì toïa ñoä cuûa ñieåm , 
II.BIEÅU THÖÙC TOÏA ÑOÄ CUÛA CAÙC PHEÙP TOAÙN VEÙC TÔ:
Ñònh lyù:
 Ñoái vôùi heä toïa ñoä Oxyz, neáu , thì
a) .
b) .
c) .
Heä quaû:
 , Ta coù 
 thì .
M laø trung ñieåm cuûa AB vaø 
* Ví duï: Cho . Tìm toïa ñoä ñieåm C sao cho .
* Giaûi:
Goïi toïa ñoä ñieåm C laø: , ta coù:
 Do ñoù: 
 Vaäy 
* Ví duï 1: Xaùc ñònh toïa ñoä cuûa vectô bieát:
* Giaûi:
Ta coù: .
* Ví duï 2: Cho 
. Haõy xaùc ñònh toïa ñoä cuûa vectô , bieát .
* Giaûi:
Goïi toïa ñoä cuûa vectô . Ta coù
Vaäy: 
III.TÍCH VOÂ HÖÔÙNG:
1.Bieåu thöùc toaï ñoï cuûa tích voâ höôùng:
 Ñònh lyù:
 Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz , 
 Neáu , thì
 Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa tích voâ höôùng )
2.ÖÙng duïng:
@Neáu thì vaø 
@ .
@ Khoaûng caùch giöõa hai ñieåm vaø laø: 
@ Goùc giöõa hai vectô:
Neáu laø goùc giöõa hai vectô , vaø thì 
* Ví duï: Cho , .
Tính ? vaø goùc giöõa hai vectô 
* Giaûi:
Ta coù: 
vaø 
 Vaäy vôùi .
IV TÍCH COÙ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ, ÖÙNG DUÏNG:
1) Ñònh nghóa:
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai vectô baát kyø,. Vectô coù ba toïa ñoä laø ba ñònh thöùc (*) goïi laø tích coù höôùng ( hay tích vectô ) cuûa hai vectô . Kyù hieäu: 
Vaäy: 
2) Tính chaát:
@ cuøng phöông .
@ .
@ .
3)Aùp duïng:
a) Dieän tích tam giaùc:
Trong heä toïa ñoä Oxyz, dieän tích laø:
b) Ñieàu kieän 3 vectô ñoàng phaúng:
* Ñònh lyù: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå ba vectô ñoàng phaúng laø: .
c) Theå tích cuûa khoái hoäp:
 Theå tích cuûa khoái hoäp ABCD.A’B’C’D’ laø:
d) Theå tích cuûa töù dieän ABCD baèng : 
* Ví duï: Trong kg vôùi heä toïa ñoä Oxyz,
 Cho 
a) CMR: A,B,C,D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän
b) Tính ñöôøng cao CK cuûa tam giaùc .
c) Tính goùc CBD vaø goùc (AB,CD).
d) Tính theå tích töù dieän ABCD, töø ñoù suy ra ñoä daøi ñöôøng cao cuûa töù dieän ABCD qua ñænh A.
* Giaûi:
a) Ta coù: 
Suy ra ba vectô k0 ñoàng phaúng.
Do ñoù A,B,C,D laø boán ñænh cuûa moät töù dieän.
b) Ta coù: 
Do ñoù: 
c) 
Vaäy: CBD = vôùi 
@ Goïi laø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD , Do ñoù baèng hoaëc buø vôùi , ta coù:
.
d) Theå tích cuûa töù dieän ABCD baèng moät phaàn saùu theå tích cuûa hình hoäp coù ba caïnh xuaát phaùt töø A: AB, AC, AD.
Neân 
Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa töù dieän keõ töø A
Ta coù: 
 .
IV. PHÖÔNG TRÌNH MAËT CAÀU
1. Phöông trình maët caàu :
* Ñònh lyù 1: Trong KG, heä truïc toïa ñoä Oxyz.Maët caàu taâm :
* Neáu thì PT maët caàu laø :
Ñònh lyù 2: Trong KG, heä truïc toïa ñoä Oxyz
Phöông trình:
 vôùi laø phöông trình maët caàu taâm vaø baùn kính 
* Ví duï1: Tìm taâm vaø baùn kính maët caàu coù PT:
* Giaûi :
Ta coù:
vaø baùn kính ,Taâm I(2;1;-3).
BAØI TAÄP:
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
1)
2)
ÑS: 1)T©m I(2 ;-3 ;0) vµ R=3
2) T©m I (4;0;-1) vµ R=4
Ví dụ2: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu:
1) T©m I(2;2;-3) vµ R=3
2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) vµ t©m I thuéc Ox
3) Qua 4 ®iÓm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) vµ D(1;1;6)
4) §­êng kÝnh AB víi A(1;-3;5); B(-3; 4; -3)
Gi¶i:	
1) Ta cã ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu lµ 
2) Ta cã t©m I(a ;0 ;0) Do Mc (S)
Di qua A vµ b nªn ta cã IA=IB=R =>IA2=IB2
3) G/s Pt mÆt cÇu (S) lµ x2+y2+z2+ ax+by+cz+d=0(a2+b2+c2)
Do (S) ®i qua A(1;4;0);B(-4;0;0);
C(-2;-2;0) vµ D(1;1;6) nªn ta cã 
4)Ta cã t©m I(-1;;1) vµ R=
=> Pt mÆt cÇu lµ:
BAØI TAÄP –SGK: Bµi 1 : (68)
a) 
b) 
Bµi 2 : (68)
¸p dông c«ng thøc träng t©m :
VËy G()
Bµi 3 :(68)
Ta cã : 
Ta cã : 
VËy : 
§2.PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG
 VECTÔ PHAÙP TUYEÁN CUÛA MAËT PHAÚNG:
a) Ñònh nghóa: 
Vectô ñöôïc goïi laø vectô phaùp tuyeán cuûa maët phaúng neáu noù naèm treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng .
( noùi taét laø vectô vuoâng goùc vôùi ).Kí hieäu: .
* Maët phaúng hoaøn toaøn xaùc ñònh khi bieát moät ñieåm thuoäc noù vaø moät VTPT cuûa noù.
b) Chuù yù: 
@ Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz neáu laø hai vectô khoâng cuøng phöông vaø caùc ñöôøng thaúng chöùa chuùng cuøng song song vôùi (hoaëc naèm treân) mp thì vectô laø moät VTPT cuûa mp .
@ Hai vectô noùi treân goïi laø caëp vectô chæ phöông (VTCP) cuûa mp .
@ Neáu laø ba ñieåm khoâng thaúng haøng cuûa mp thì:
+)laø moät caëp VTCP cuûa mp
+)laø moät VTPT cuûa mp
II PHÖÔNG TRÌNH TOÅNG QUAÙT CUÛA MAËT PHAÚNG: 
1) Ñònh nghóa:
Phöông trình daïng: , (1)
goïi laø phöông trình toång quaùt cuûa mp.
2) Chuù yù:
@ PTTQ cuûa mp qua vaø coù moät VTPT laø:
@ Neáu mp coù PT: thì coù moät VTPT laø: .
3) Caùc tröôøng hôïp rieâng cuûa PTTQ:
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho maët phaúng coù PT:.
@ Neáu D = 0 thì mp: luoân ñi qua goác toïa ñoä.
@ Neáu A = 0,thì mp coù PT:
chöùa hoaëc song song vôùi Ox.
@ Tröôøng hôïp B = 0, C = 0,xeùt töông töï.
 Vaäy: Neáu trong PTTQ khoâng coù maët x (y, z) thì mp töông öùng song song hoaëc chöùa Ox (song song hoaëc chöùa Oy, Oz ).
@Neáu PTTQ cuûa mp coù daïng: thì mp song song vôùi mp(Oxy).
@ Neáu A, B, C, D khaùc 0 thì ñaët , , ta coù PTTQ (1) trôû thaønh:
 goïi laø PT theo ñoaïn chaén.
4) Ví duï: Vieát PTTQ cuûa mp ñi qua ñieåm vaø song song vôùi maët phaúng:
* Giaûi:
Vì mp song song vôùi mp neân mp coù VTPT laø: .
Vaäy PTTQ cuûa mp laø: 
BAØI TAÄP
* Baøi 1: Cho hai ñieåm . Vieát PTTQ cuûa maët phaúng trung tröïc cuûa AB.
* Giaûi:
Goïi I laø t.ñieåm cuûa ñoaïn AB, ta coù 
Maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn AB ñi qua I vaø nhaän vectô laøm VTPT. 
Vaäy PTTQ cuûa maët phaúng caàn tìm laø: 
* Baøi 2: Cho .Vieát PTTQ cuûa maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C.
* Giaûi:
Ta coù 
Do ñoù mp ñi qua nhaän vectô laøm VTPT neân coù phöông trình:
* Baøi 3: Vieát PTTQ cuûa maët phaúng qua caùc ñieåm laø hình chieáu cuûa ñieåm treân caùc truïc toïa ñoä.
 Giaûi:
Goïi laàn löôït laø hình chieáu cuûa ñieåm treân caùc truïc Ox, Oy, Oz thì:
Do ñoù: 
Vaäy: phöông trình cuûa maët phaúng qua caùc ñieåm laø hình chieáu cuûa ñieåm treân caùc truïc toïa ñoä laø :
III.ÑIEÀU KIEÄN ÑEÅ HAI MAËT PHAÚNG SONG SONG, VUOÂNG GOÙC:
1. Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng song song:
*Chuù yù:
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai maët phaúng 
@ @ 
@ 
* Ví duï1 Xeùt vò trí töông ñoái cuûa 2 maët phaúng:
* Giaûi:
Vì 
*Ví duï 2 :Xaùc ñònh caùc giaù trò m, l ñeå hai maët phaúng song song vôùi nhau
a) 
b) 
* Giaûi:
a) Hai maët phaúng song song vôùi nhau khi vaø chæ khi 
b) Hai maët phaúng song song vôùi nhau khi vaø chæ khi 
2. Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc:
Cho hai maët phaúng (a) vaø (b) coù PT:
	Ta coù: (a) ^ (b) Û AA’ + BB’ + CC’ = 0.
IV KHOAÛNG CAÙCH TÖØ MOÄT ÑIEÅM ÑEÁN MOÄT MP:
* Ñònh lyù: Trong KG, vôùi heä toïa ñoä Oxyz. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán maët phaúng (a) :Ax + By + Cz + D = 0 ñöôïc tính baèng coâng thöùc : 
* Ví duï : 
Tính khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng (a) :.
* Giaûi :
Ta coù .
§3.PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN
I PHÖÔNG TRÌNH THAM SOÁ CUÛA ÑÖÔØNG THAÚNG.
* Veùctô ñöôïc goïi laø veùctô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng D neáu naèm treân ñöôøng thaúng song song vôùi ( hoaëc truøng ) D.
*Ñònh lyù: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, PTTS cuûa ñöôøng thaúng D ñi qua ñieåm laøm VTCP coù daïng:
 	*Phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng.
 	Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, PTTS cuûa ñöôøng thaúng D ñi qua ñieåm laøm VTCP coù daïng:
* Neáu moät hoaëc hai trong caùc soá baèng 0 thì ta vieát PTCT vôùi quy öôùc neáu maãu soá baèng 0 thì töû soá baèng 0.
Ví duï1:
Vieát PTTS, PTCT cuûa ñöôøng thaúng D qua .
* Giaûi:
PTTS cuûa ñöôøng thaúng caàn tìm laø:
Ví duï 2: Tìm PTCT cuûa ñöôøng thaúng D bieát D qua ñieåm vaø song song vôùi
 ñöôøng thaúng d : 
* Giaûi:
 Vectô chæ phöông cuûa d laø .Vì D // d neân D cuõng coù moät VTCP laø 
Vaäy PTCT cuûa D laø 
III.ÑIEØU KIEÄN ÑEÅ HAI ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG, CAÉT NHAU, CHEÙO NHAU:
1.Ñieàu kieân ñeå hai ñöôøng thaúng song song:
2. Ñieàu kieân ñeå hai ñöôøng thaúng caét nhau:
3. Ñieàu kieân ñeå hai ñöôøng thaúng cheùo nhau:
BAØI TAÄP OÂN CHÖÔNG
* Baøi 1: Trong khoâng gian cho 4 ñieåm
a) Tính dieän tích tam giaùc ADC.
b) CMR : 4 ñieåm A, B, C, D ñoàng phaúng.
* Giaûi :
a) Ta coù 
 Þ 
Do ñoù : 
b) Ta coù 
Þ 
Þ caùc vectô ñoàng phaúng
Do ñoù 4 ñieåm A, B, C, D ñoàng phaúng.
* Baøi 2 : Cho töù dieän ABCD vôùi caùc ñænh
a) Vieát PT cuûa caùc maët phaúng (ABC), (BCD).
b) Vieát PT mp(a) chöõa AB vaø song song CD.
c) Vieát PT ñt D qua A vaø vuoâng goùc vôùi (BCD) vaø tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa chuùng.
* Giaûi :
a) Ta coù 
* Phöông trình maët phaúng (ABC)
mp(ABC) coù VTPT : .Do ñoù phöông trình toång quaùt mp(ABC) laø:
* Phöông trình maët phaúng (BCD)
mp(BCD) coù VTPT :.Do ñoù phöông trình toång quaùt mp(BCD) laø:
b) Ta coù 
Vì (a) chöùa AB vaø song song CD neân coù caëp VTCP laø , do ñoù coù moät VTPT laø:
Do ñoù PTTQ cuûa maët phaúng (a) laø:
c) Vì D ^ (BCD) neân nhaän laøm VTCP, do ñoù PTTS cuûa ñöôøng thaúng D laø:
Thay x, y, z vaøo phöông trình (BCD), ta ñöôïc:
Þ 
Vaäy giao ñieåm cuûa D vôùi (BCD) laø :
* Baøi 3: Trong KG heä toïa ñoä Oxyz, cho (S):
a) Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø tính baùn kính (S).
b) Xeùt vò trí töông ñoái cuûa (S) vaø mp(a) :
c) Tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (S) vôùi D ñi qua . Vieát PT maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi caùc giao ñieåm ñoù.
* Giaûi :
a) Ta coù .Vaäy (S) coù taâm 
b) Ta coù 
@ Þ (a) vaø (S) caét nhau.
@ Þ (a) vaø (S) tieáp xuùc nhau.
@ Þ (a) vaø (S) khoâng coù ñieåm chung.
c) Ta coù 
Phöông trình ñöôøng thaúng D qua M, N laø:
Thay x, y, z vaøo phöông trình (S), ta ñöôïc:
@ 
@ 
* Phöông trình tieáp dieän taïi A:
Ta coù 
Maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi A nhaän laøm VTPT neân coù PTTQ:
* Phöông trình tieáp dieän taïi B:
Ta coù 
Maët phaúng tieáp xuùc vôùi (S) taïi B nhaän laøm VTPT neân coù PTTQ:
BAØI 4: (Ñeà thi kyø 2 cuûa sôû)
 Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä O xyz cho 4 ñieåm A(3;2;6),B(3; -1, 0), C(0,-7,0), D(-2, 1; -1).
 a/ Vieát phöong trình maêt phaúng (ABC).
 b/ Tính goùc giöõa ñöôøng thaúng (d) ñi qua hai ñieåm A, D vaø mp(ABC)
GIAÛI
a/ Vieát Phöong trình mp (ABC)
Ta coù: 
Vaäy Phöong trình mp(ABC) laø:5(x-3)-2(y-2) +(z-6) = 0	5x –2y +z –17 = 0
b/ Ta coù laø vtcp cuûa ñöôøng thaúng AD 
Goïi laø goùc giöõa ñöôøng thaúng AD vaø mp(ABC) , 
Khi ñoù: sin 
BAØI 5(TN 05+06)
 Trong KG vôùi heä toïa ñoä O xyz, 
cho maët caàu (S): vaø hai 
ñthaúng 
 1.Chöùng minh: cheùo nhau.
 2.Vieát pt tieáp dieän cuûa maët caàu (S), bieát tieáp dieän ñoù song song vôùi hai ñthaúng 
GIAÛI
1/ + Phöong trình tham soá 
+ qua ñieåm A(0;1;0) vaø coù vtcp 
 ,
 qua ñieåm B(0;1;0) vaø coù vtcp 
 ,
+ 
+ cheùo nhau.
2/ + Goïi (P) laø tieáp dieän caàn tìm. Vì (P) // vôùi neân coù vtpt 
Phöong trình maët phaúng (P) coù daïng
 y + z +m = 0
+Maët caàu (S) coù taâm I(1;-1;-2)vaø coù baùn kính R = 3.
+Maët phaúng (P) tieáp xuùc vôùi maët caàu neân d(I,(P)) = R 
+Vôùi 
+ Vôùi 
PHUÏ LUÏC THEÂM:
Trong KG,heä toïa ñoä Oxyz, cho 2 ñöôøng thaúng:
D1: 
D2: 
D1, D2 ñoàng phaúng .
1.Ñieàu kieân ñeå hai ñöôøng thaúng song song:
a) D1, D2 song song Û 
b) D1, D2 truøng nhau Û 
2. Ñieàu kieân ñeå hai ñöôøng thaúng caét nhau:
D1, D2 caét nhau
3. Ñieàu kieân ñeå hai ñöôøng thaúng cheùo nhau:
 D1, D2 cheùo nhau .
Ví duï: Xeùt vò trí töông ñoái cuûa hai ñ.thaúng
* Giaûi :
D1: 
D2: 
Ta coù 
Vaäy: D1 cheùo D2.
Chuøm maët phaúng:
Cho 2 mp
1. Ñònh lyù:
 Moãi maët phaúng qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng 
 Ngöôïc laïi moãi phöông trình daïng (*) ñeàu laø phöông trình cuûa moät maët phaúng qua giao tuyeán cuûa .
2. Ñònh nghóa:
 Taäp hôïp caùc maët phaúng qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng goïi laø moät chuøm maët phaúng. Phöông trình (*) goïi laø phöông trình cuûa chuøm maët phaúng.
3. Ví duï: Cho ba maët phaúng laàn löôït coù PT:
a) Laäp PTTQ cuûa qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng vaø qua .
b) Laäp PTTQ cuûa qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng vaø song song Oy.
c) Laäp PTTQ cuûa qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng vuoâng goùc .
* Giaûi:
a) 
PTTQ cuûa coù daïng:
Ñieåm 
b) PTTQ cuûa coù daïng (*)
 Vì //Oy neân heä soá cuûa y trong (*) baèng 0, töùc laø: 
c) PTTQ cuûa coù daïng (*)
VTPT cuûa 
VTPT cuûa 
Ta coù: 
* 
. Vò trí töông ñoái giöõa ñt D vaø mp(a).
Trong KG,heä toïa ñoä Oxyz, cho 2 ñöôøng thaúng:
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0
a) D caét (a) Û Aa + Bb + Cc ¹ 0.
b) D // (a)