Tham luận: Mở rộng cách giải một bài toán

TRƯỜNG THPT TẦM VU 2
 TỔ TOÁN TIN	
BÀI THAM LUẬN
MỞ RỘNG CÁCH GIẢI MỘT BÀI TOÁN.
	Trong quá trình giảng dạy, đôi lúc chúng ta bắt gặp cách giải của một bài toán mà nếu chịu khó đào sâu, mở rộng thì cách giải đó có thể áp dụng được cho bài toán có đòi hỏi cao hơn hoặc có thể mở rộng cho dạng toán khác.
	Trong tham luận này, tôi xin chọn cách giải thứ ba của bài toán sau đây để mở rộng cách giải :
Bài toán : cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (trong đó a, b, c, d có chứa tham số m), có đồ thị (Cm) .
Xác định tham số m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Cách giải :
Ta có thể giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn :
Cách 1 : Buộc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho x1 + x3 = 2x2.
Cách 2 : Buộc hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có hai cực trị và điểm uốn thuộc trục hoành.
Cách 3 : Buộc phương trình ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm dạng : xo – h, xo, xo+ h.
Ví dụ : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 (Cm). (với m là tham số) 
Xác định tham số m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Bài giải : (dùng cách giải số 3)
	Trục Ox : y = 0.
	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox là : 
	x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 = 0 (1)
	Điều kiện bài toán được thoả khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm dạng : xo – h, xo, xo+ h (h > 0). Nghĩa là, với mọi x thuộc R ta có :
	x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 = [x –(xo – h)](x – xo)[x –(xo + h)]
	 = [(x –xo) + h)][(x – xo ) –h](x – xo)
 	 = [(x – xo)2 – h2)](x – xo)
 	 = (x – xo)3 – (x – xo)h2
Ta được hệ phương trình : 
Vậy với thì điều kiện bài toán được thoả. 
Khi đó cấp số cộng là : –1; 1; 3.
Mở rộng 1 : (Thay trục Ox bằng một đường thẳng)
Ví dụ : Cho hàm số y = x3 – 3x2 + mx – 2m + 4 (Cm) và đường thẳng (d) : y = x +3.
Xác định tham số m để (Cm) cắt đường thẳng (d) tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
(Có thể hỏi : Xác định tham số m để (Cm) cắt đường thẳng (d) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của đoạn AC, hoặc AB = BC).
(Kết quả : m = –2 và cấp số cộng là : )
Mở rộng 2 : (Thay hàm số bậc ba bởi hàm số trùng phương)
Ví dụ : Cho hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + 1 (Cm)
Xác định tham sô m để (Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Bài giải :
Trục Ox : y = 0.
	Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox là : 
	–x4 + 2mx2 – 2m + 1 = 0 (1)
 Û x4 – 2mx2 + 2m – 1 = 0 (1’)
	Điều kiện bài toán được thoả khi và chỉ khi phương trình (1’) có bốn nghiệm dạng –3xo, – xo, xo,3xo (xo > 0). Nghĩa là, với mọi x thuộc R ta có :
	 x4 – 2mx2 + 2m – 1 = [x –(–3xo)][x –(– xo)](x – xo)(x – 3xo)
	 = (x + 3xo)(x – 3xo)(x + xo)(x – xo )
Ta được hệ phương trình : 
Vậy với m = 5 hoặc thì điều kiện bài toán được thoả. Khi đó :
	+ Với m = 5, cấp số cộng là : –3; –1; 1; 3.
	+ Với m = , cấp số cộng là : .
	* Kết luận :
– Cách giải trên còn có thể mở rộng cho hàm số bậc năm (khi đó các nghiệm có dạng : 
xo – 2h, xo – h, xo, xo+ h, xo + 2h (h > 0).
	– So với các cách giải khác (đã nêu ở phần trước) thì cách giải trên có lý luận rất đơn giản nên giúp học sinh tiếp cận dễ dàng hơn.
	 Trên đây là một kinh nghiệm của tôi trong quá trình giảng dạy, xin được trao đổi trong Hội thảo hôm nay với mục tiêu cùng nhau tiến bộ. Rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp. Xin trân trọng kính chào !
	 TT Cái Tắc, ngày 24 tháng 10 năm 2009
	Người viết
	 Lê Ngọc Bảnh