Toán 11 - Các bài tập về phép quay và phép đối xứng tâm

CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A. Các bài tập trong hình học giải tích.
Các bài tập phần phép quay.
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm và điểm .
a) Hãy tìm tọa độ của điểm A' là ảnh của A qua phép quay tâm O góc .
b) Hãy tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của M qua phép quay tâm O góc .
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm và đường thẳng d có phương trình . Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác A'B'C' và phương trình của đường thẳng d' theo thứ tự là ảnh của tam giác ABC và đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay .
3) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm . Hãy xác định tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M qua phép quay tâm I với góc quay:
a) 	b) 	c) .
4) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn . Hãy tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép quay:
a) Tâm O với góc quay 
b) Tâm I(3; 4) với góc quay 
c) Tâm J(-2; -4) với góc quay .
5) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm và đường thẳng d có phương trình . Hãy xác định phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm I với góc quay:
a) 	b) 	c) .
6) Phép quay tâm I với góc quay biến điểm thành điểm và biến điểm thành điểm . Xác định tâm quay I và góc quay . 
Các bài tập phần phép đối xứng tâm.
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm . Qua phép đối xứng tâm với tâm I, hãy xác định:
a) Ảnh của điểm .
b) Ảnh của đường thẳng .
c) Ảnh của đường tròn .
2) Phép đối xứng tâm ĐI biến đường tròn thành đường tròn . Tìm tọa độ tâm I.
3) Phép đối xứng tâm ĐJ biến đường thẳng thành đường thẳng d' có phương trình: , biến đường thẳng thành đường thẳng a' có phương trinh: . Xác định tọa độ tâm J.
4) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng và đường thẳng . Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến a thành a.
B. Các bài tập trong phần hình học phẳng.
Các bài tập phần phép quay.
- Xác định ảnh của một hình.
1) Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AO. Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O với góc quay . 
2) Cho hình lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó và I là trung điểm của AB.
a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O với góc quay 1200.
b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E với góc quay 600.
- Các bài tập về chứng minh một số tính chất hình học của các hình.
1) Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.
a) Chứng minh rằng và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng 
b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và EC, chứng minh tam giác BMN là tam giác đều.
2) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nửa đường tròn đó. Dựng về phía ngoài của tam giác ABC hình vuông ABEF. Chứng minh rằng E chạy trên một nửa đường tròn cố định.
3) Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a) Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân đỉnh D.
b) Chứng minh AO vuông góc với PQ và .
4) Cho đường thẳng D và điểm G không nằm trên D. Với mỗi điểm A nằm trên D ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B và C khi A chạy trên D.
- Các bài tập về dựng hình.
1) Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
2) Cho hình vuông ABCD và một điểm M nằm trên một cạnh của hình vuông. Tìm các điểm N, P trên các cạnh của hình vuông sao cho tam giác MNP là tam giác đều.
Các bài tập phần phép đối xứng tâm.
- Các bài tập về chứng minh một số tính chất hình học của các hình.
1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua 3 trung điểm của 3 cạnh tam giác nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
2) Cho hai hình bình hành ABCD và A'B'C'D' trong đó A' nằm trên cạnh AB, B' nằm trên cạnh BC, C' nằm trên cạnh CD và D' nằm trên cạnh DA. Chứng minh rằng giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành trùng nhau.
3) Đường tròn nội tiếp và đường tròn bảng tiếp tam giác ABC thuộc góc tiếp xúc với BC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng M và N đối xứng với nhau qua trung điểm của cạnh BC.
- Các bài tập về dựng hình.
1) Cho góc xOy và hai điểm A, C nằm trong góc đó. Hãy dựng các điểm B và D trên hai cạnh Ox, Oy sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
2) Cho đường tròn (O), đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (O) và điểm H. Hãy dựng hình bình hành ABCD sao cho hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên d và hai đỉnh còn lại nằm trên (O) và nhận H là giao điểm của hai đường chéo.
3) Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung có độ dài bằng nhau.
- Các bài tập về tìm tập hợp điểm.
1) Cho hai điểm cố định A, B và số . Xét các đường elíp (E) đi qua A, nhận B làm tâm đối xứng và có độ dài trục lớn bằng 2a. Tìm tập hợp các tiêu điểm của elíp (E).
2) Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB và nằm cùng phía với đường thẳng AB. Xét các hình thoi MPNQ có đỉnh M nằm trên đoạn AB, đỉnh P nằm trên Ax, đỉnh Q nằm trên By, có góc nhọn tại đỉnh M bằng 600. Tìm tập hợp đỉnh N.