Toán học - Sai lầm trong cực trị hàm số

 
Lời giải ủỳng 
Để tồn tại x phải có 0x ≥ . Do đó 0A x x= + ≥ . 0 0.Min A x= ⇔ = 
Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức 
( )( )x a x bA
x
+ +
= , với 0x > , a và b là các hằng số d−ơng cho tr−ớc. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Ta có 2 (1)x a ax+ ≥ 
 2 (2)x b bx+ ≥ 
Do đó 
( )( ) 2 .2 4x a x b ax bxA ab
x x
+ +
= ≥ = 
4 .Min A ab x a b= ⇔ = = 
Bỡnh luận 
Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không? 
Giải ủỏp 
Chỉ xảy ra 4A ab= khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức, tức là x = a và x = b. Nh− vậy đòi hỏi phải 
có a = b. Nếu a ≠ b thì không có đ−ợc 4A ab= . 
Lời giải ủỳng 
Ta thực hiện phép nhân và tách ra các hằng số: 
( )( ) ( )
2
.
x a x b x ax bx ab abA x a b
x x x
+ + + + +  
= = = + + + 
 
Ta có 2abx ab
x
+ ≥ (BĐT Côsi) nên ( )22A ab a b a b≥ + + = + 
Min ( )2A a b= + ⇔ .
0
ab
x
x abx
x

=
⇔ =
 >
Bài 8: Cho a, b, c là các số d−ơng, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 .
5 5 5
a b cP
b c a
   
= + + +   
   
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Do a, b, c là các số d−ơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
 1 2 (1); 1 2 (2); 1 2 (3)
5 5 5 5 5 5
a a b b c c
b b c c a a
+ ≥ + ≥ + ≥ 
Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều d−ơng ta đ−ợc 
8 58 . .
5 5 5 25
a b cP
b c a
≥ = . 
Do đó P nhỏ nhất bằng 
8 5
.
25
Bỡnh luận 
Các bạn có đồng tình với cách giải này không? 
Giải ủỏp 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Để ý không tồn tại a, b, c để 
8 5
25
P = . Đây là sai lầm th−ờng mắc khi dùng bất đẳng thức để tìm giá trị 
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Một nguyên nhân sâu xa hơn nhiều là bạn đọc không hiểu 
đúng nghĩa của dấu “≥” và dấu “≤”. Không phải khi nào viết “≥” cũng có thể xảy ra dấu “=”. Ví dụ ta 
viết 10 ≥ 2 là đúng nh−ng không thể có 10 = 2. 
Lời giải ủỳng 
Biến đổi 
1 1 11 1 1 1 (1)
5 5 5 5 25 125
a b c a b c a b cP
b c a b c a c a b
       
= + + + = + + + + + + +       
       
Do a, b, c là các số d−ơng nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 
3 . . 3 (2)a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ = 3 . . 3 (3)a b c a b c
c a b c a b
+ + ≥ = 
Từ (1), (2), (3) ta có 
1 1 1 2161 .3 .3
5 25 125 125
P ≥ + + + = . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các dấu đẳng thức ở (2) và (3) đồng thời xảy ra, tức là a = b = c. 
Vậy Min
216
125
P = , giá trị này đạt đ−ợc khi và chỉ khi a = b = c > 0. 
Bài 9: Cho a, b là hai số d−ơng và x, y, z là các số d−ơng tuỳ ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
.
x y zM
ay bz az by az bx ax bz ax by ay bx
= + +
+ + + + + +
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Dễ thấy ( ) ( )( )2 2 2 2 2ay bz a b y z+ ≤ + + và ( ) ( )( )2 2 2 2 2az by a b z y+ ≤ + + 
Vậy ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
x x
ay bz az by a b y z
≥
+ + + +
T−ơng tự ta có ( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
y x
az bx ax bz a b z x
≥
+ + + +
 ( ) ( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
z z
ax by ay bx a b x y
≥
+ + + +
. 
Do đó 
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 x y zM
a b y z z x x y
 
≥ + + + + + + 
. 
Mặt khác chứng minh đ−ợc 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
Suy ra ( )2 2
3
.
2
M
a b
≥
+
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .x y z= = 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là ( )2 2
3
2 a b+
, giá trị này đạt đ−ợc khi và chỉ khi .x y z= = 
Bỡnh luận 
Cách giải trên phải chăng là  đúng! Bạn giải bài toán này nh− thế nào? 
Giải ủỏp 
Lời giải đã sử dụng khá nhiều bất đẳng thức nh−ng bạn học sinh này chỉ xét dấu đẳng thức xảy ra ở bất 
đẳng thức 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
 mà không xét dấu đẳng thức xảy ra ở các bất đẳng thức còn lại. 
Theo đó đẳng thức ( )2 2
3
2
M
a b
=
+
 xảy ra khi và chỉ khi x y z= = và a = b. Nh−ng theo giả thiết a, b là 
hai số d−ơng tuỳ ý, nên với a b≠ thì ( )2 2
3
2
M
a b
>
+
. 
Lời giải ủỳng 
Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2
4 4 2
a b y zay bz az by a b y z
ay bz az by
+ ++ + + + +
+ + ≤ = ≤ 
Suy ra ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2x x
ay bz az by a b y z
≥
+ + + +
. 
T−ơng tự ta cũng có ( )( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2y y
az bx ax bz a b x z
≥
+ + + +
 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2z z
ax by ay bx a b y x
≥
+ + + +
. 
Do đó ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 x y zM
y z z x x ya b
 
≥ + + 
+ + ++  
. 
Mặt khác theo bất đẳng thức Na-sơ-bit thì 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
, 
suy ra ( )2
3
.M
a b
≥
+
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z= = . 
Vậy ( )2
3
min M
a b
=
+
 khi và chỉ khi x y z= = . 
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 22 5 4 4 8 6P x y xy x y= + + − − + 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 24 1 4 2 4 2 1 4 4P x y xy x y x x y y= + + + − − + − + + − + 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 2P x y x y= + − + − + − 
Do ( ) ( ) ( )2 2 22 1 0, 1 0, 2 0x y x y+ − ≥ − ≥ − ≥ nên 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 2 0P x y x y= + − + − + − ≥ . 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0 . 
Bỡnh luận 
Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không? 
Giải ủỏp 
Khẳng định 0P ≥ là đúng nh−ng  chẳng đ−ợc gì, bởi vì không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy 
ra. 
Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ việc ng−ời giải đã không thực hiện b−ớc 2 khi tìm giá trị lớn nhất 
(hoặc nhỏ nhất) của biểu thức ta phải trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?” 
Lời giải ủỳng 
Coi x là biến chính để biến đổi nh− sau: 
( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 5 4 4 8 6 2 2 1 1 2 1 5 8 6P x y xy x y x x y y y y y = + + − − + = + − + − − − + − +  
( ) ( )2 22 2 2 4 41 3 4 4 1 3 2 . 4
3 9 3
P x y y y x y y y = + − + − + = + − + − + − + 
 
( )
2
2 2 81 3
3 3
P x y y = + − + − + 
 
Nhận thấy ( )
2
2 21 0, 3 0
3
x y y + − ≥ − ≥ 
 
 nên 
( )  = + − + − + ≥ 
 
2
2 2 8 8
1 3 ới mọi ,
3 3 3
P x y y x yv . 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
( )2
2
11 0 1 0
3
22 203 0 33 3
x y x y x
yy y
 + − = + − = =   
⇔ ⇔   
− =
− =    =  
Vậy =
8
3
MinP . Giá trị này đạt đ−ợc khi ( )  =  
 
1 2
, ,
3 3
x y 
A3 - DNG SAI LM THuchoasac BA 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bất đẳng thức ( )f x a≥ không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị 0x x= nào đó (x0 thoả mãn điều 
kiện của bài toán) đã kết luận biểu thức ( )f x đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức ( )f x không 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 228 3 5 4 .P x x x x= + − + + − 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là 
( ) ( )
( )( )
2
2
4 7 028 3 0 4 7
1 5.
1 51 5 05 4 0
x xx x x
x
xx xx x
+ − ≥ + − ≥ − ≤ ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  
− ≤ ≤+ − ≥+ − ≥  
Nhận xét: Với 1 5x− ≤ ≤ ta có 
( )( )25 4 1 5 0x x x x+ − = + − ≥ , suy ra 25 4 0.x x+ − ≥ 
( )( )228 3 4 7 0x x x x+ − = + − > , suy ra 228 3 0.x x+ − > 
Do đó, với 1 5x− ≤ ≤ thì 2 228 3 5 4 0,P x x x x= + − + + − > nên P không có giá trị nhỏ nhất. 
Bỡnh luận 
Kết luận của lời giải sai về mặt lôgic, t−ơng tự nh− tr−ờng hợp 
2 1 0Q x= + > với mọi x nh−ng Q vẫn đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0. 
Lời giải ủỳng 
Điều kiện của x để P có nghĩa là 1 5x− ≤ ≤ . Khi đó ta có 
( )( ) ( ) ( )23 1 5 1 5 23 23 5 3 2P x x x x x x= − + + − + + − ≥ − ≥ − = . 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 5. 
Vậy min 3 2P = khi và chỉ khi 5.x = 
Bài 12: Tìm m để ph−ơng trình ( )2 1 1 0x m x+ + + = có tổng bình ph−ơng các nghiệm đạt GTNN. 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Điều kiện để ph−ơng trình có nghiệm là: ( ) ( ) ( )2 10 1 4 0 3 1 0 (*)
3
m
m m m
m
≥∆ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  ≤ −
. 
Khi đó tổng bình ph−ơng các nghiệm là: ( ) ( )2 22 21 2 1 2 1 22 1 2x x x x x x m+ = + − = + − (Theo định lí Viét). 
Ta có ( )21 2 2m + − ≥ − nên tổng bình ph−ơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi và chỉ khi 
1 0 1.m m+ = ⇔ = − 
Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng bình ph−ơng các 
nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất. 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Bỡnh luận 
Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh ch−a nắm vững khái niệm giá trị nhỏ nhất 
của một biểu thức. Chúng ta cần l−u ý rằng: Nếu bất đẳng thức ( )f x a≥ không xảy ra đẳng thức ứng 
với một giá trị 0x x= nào đó (x0 thoả mãn điều kiện của bài toán) thì không thể kết luận đ−ợc biểu thức 
( )f x đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức ( )f x không đạt giá trị nhỏ nhất. 
Lời giải ủỳng 
Điều kiện để ph−ơng trình có nghiệm là: ( ) ( ) ( )2 10 1 4 0 3 1 0 (*)
3
m
m m m
m
≥∆ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  ≤ −
. 
Khi đó tổng bình ph−ơng các nghiệm là : ( ) ( ) ( )2 2 22 21 2 1 2 1 22 1 2 1 4 2 2.x x x x x x m m + = + − = + − = + − + ≥  
Đẳng thức xảy ra ⇔ ( )2 11 4 0
3
m
m
m
=
+ − = ⇔ 
= −
 (thoả mãn (*). 
Vậy tổng bình ph−ơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -3. 
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2
1
.
6 10
A
x x
=
− +
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Phân thức 2
1
6 10x x− +
 có tử không đổi nên A có gi átrị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. 
Ta có: ( )22 6 10 3 1 1.x x x− + = − + ≥ 
( )2M in 6 10 1 3.x x x− + = ⇔ = 
Vậy max 1 3.A x= ⇔ = 
Bỡnh luận 
Lời giải có vẻ khá “trơn”, nh−ng nếu đi thi mà làm vậy thì “tr−ợt”. Tại sao vậy? 
Giải ủỏp 
Tuy đáp số không sai nh−ng lập luận lại sai khi khẳng định “A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn 
nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà ch−a đ−a ra nhận xét tử và mẫu là các số d−ơng. 
Ví dụ nh−: Xét biểu thức 2
1
10
B
x
=
−
. Với lập luận nh− trên “Phân thức 2
1
10x −
 có tử không đổi nên có 
giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng -10 khi x = 0, ta sẽ đi đến kết luận 
1 0
10
max B x−= ⇔ = . Điều này không đúng vì 1
10
−
 không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 
5 thì 
1 1
15 10
B −= > . 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Mắc sai lầm trên là do ng−ời làm không nắm vững tính chất của bất đẳng thức, đã máy móc áp dụng 
quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là các số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là các bất kì. 
Lời giải ủỳng 
Bổ xung thêm nhận xét ( )22 6 10 3 1 0x x x− + = − + > nên phân thức 2 16 10x x− + có tử và mẫu đều là số 
d−ơng, do đó A lớn nhất khi và chỉ khi 
1
A
 nhỏ nhất ⇔ 2 6 10x x− + nhỏ nhất. Làm tiếp nh− trên ra kết 
quả. 
Bài 14: Tìm x để biểu thức 2
1
2 3
P
x x
=
+ −
 đạt giá trị lớn nhất 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Điều kiện 1x ≠ ; 3x ≠ − . 
Ta có ( )2
1
1 4
P
x
=
+ −
. 
Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì ( )21 4x + − đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi ( )21 0x + = 
hay 1x = − . Khi đó giá trị lớn nhất của 1
4
P = − 
Bỡnh luận 
Nh−ng có thể thấy khi 2x = thì 1
5
P = , do đó 1
4
− không phải là giá trị lớn nhất của P. Vậy sai lầm của 
lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó nh− thế nào? 
Giải ủỏp 
Sai lầm của lời giải mà bạn học sinh này đ−a ra chính là ở b−ớc lập luận “để biểu thức P đạt giá trị lớn 
nhất thì ( )21 4x + − đạt giá trị nhỏ nhất”. Điều này chỉ đúng khi tử và mẫu của P cùng d−ơng mà tử phải 
là hằng số. ở đây mẫu ch−a biết d−ơng hay âm nên không thể lập luận nh− vậy đ−ợc. 
Lời giải ủỳng 
Điều kiện 1x ≠ ; 3x ≠ − . 
Dễ dàng chỉ ra với 3x thì 0P > , còn với 3 1x− < < thì 0P < . 
Ta thấy khi 1x a= + với 0a > thì 2
1
4
P
a a
=
+
 nên a càng nhỏ thì P càng lớn và lớn bao nhiêu cũng đ−ợc, do 
đó biểu thức 2
1
2 3
P
x x
=
+ −
 không có giá trị lớn nhất. 
A4 - DNG SAI LM THuchoasac Tuchoa 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Nhầm t−ởng vai trò của các biến trong bài nh− nhau nên sắp thứ tự các ẩn. 
Bài 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
x y zA
y z x
= + + với , , 0.x y z > 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Khi hoán vị vòng quanh x y z x→ → → thì biểu thức A không đổi nên không mất tính tổng quát, giả sử 
0x y z≥ ≥ > , suy ra ( ) ( ) 20 . (1)x z y x z z x z xy yz z xz− ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ − + ≥ 
Chia cả hai vế của (1) cho số d−ơng xz ta đ−ợc 1. (2)y y z
z x x
− + ≥ 
Mặt khác ta có 2 (3).x y
y x
+ ≥ 
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (2) và (3) ta đ−ợc 3.x y z
y z x
+ + ≥ 
Từ đó suy ra min 3 .A x y z= ⇔ = = 
Bỡnh luận 
Tuy kết quả đúng, nh−ng xem ra lời giải bất ổn. Tại sao vậy? 
Giải ủỏp 
Khi hoán vị vòng quanh x y z x→ → → thì biểu thức A trở thành ,y z x
z x y
+ + tức là biểu thức không đổi. 
Điều đó cho phép ta đ−ợc giả sử một trong ba số ; ;x y z là số lớn nhất (hoặc số nhỏ nhất), nh−ng không 
cho phép giả sử x y z≥ ≥ rồi sử dụng nó làm giả thiết bài toán khi đi chứng minh mà không xét các 
tr−ờng hợp còn lại. 
Thật vậy sau khi chọn x là số lớn nhất ( x ≥ y, x ≥ z) thì vai trò của y và z lại không bình đẳng: 
giữ nguyên x, thay y bởi z và ng−ợc lại ta đ−ợc 
x z y
z y x
+ + , biểu thức này không bằng biểu thức A. 
Khắc phục sai lầm 
Với lời giải đã đ−a ra, thay cho việc sắp thứ tự x y z≥ ≥ , ta chỉ cần giả sử z là số nhỏ nhất trong ba số 
; ;x y z kết hợp với phần còn lại của lời giải đã trình bày đó ta đ−ợc lời giải đúng. 
Ngoài ra ta còn có thể giải bài toán này theo các cách sau: 
Lời giải ủỳng 
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số d−ơng ta có 
33 . . 3.x y z x y zA
y z y y z y
= + + ≥ = (Phải chứng minh BĐT Côsi cho ba số không âm) 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Do đó min 3x y z
y z x
 
+ + = 
 
 khi và chỉ khi 
x y z
y z x
= = , tức là x = y = z. 
Cách 2: Giả sử z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z. 
Ta có .
x y z x y y z y
y z x y x z x x
   
+ + = + + + −   
  
Ta đã có 2x y
y x
+ ≥ (do x, y > 0) nên để chứng minh 3x y z
y z x
+ + ≥ chỉ cần chứng minh 
 1y z y
z x x
+ − ≥ (1). 
Thật vậy 2(1) ( , 0)xy z yz xz do x z⇔ + − ≥ ≥ 
Biến đổi đến ( )( ) 0 (2)x z y z− − ≥ . 
Do z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z nên (2) luôn đúng. Từ đó tìm đ−ợc giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3A = khi x = y = z. 
Bài 16: Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.
1 1 1
x y zP
y z z x x y
+ + +
= + +
+ + + + + +
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Nếu 0x < , ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử còn lại giảm xuống. Từ đó 
không mất tính tổng quát giả sử 0x y z≥ ≥ ≥ . 
Từ ( )21 0x − ≥ , suy ra ( ) ( )2 23 1 2 1 .x x x+ ≥ + + 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. 
Do đó 
2 2
2 2
1 1 2
.
1 1 3
x x
y z x x
+ +≥ ≥
+ + + +
T−ơng tự ta cũng có 
2 2
2 2
1 2 1 2
; .
1 3 1 3
y z
z x x y
+ +≥ ≥
+ + + +
Từ đó suy ra 2P ≥ . Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi 1x y z= = = . 
Bỡnh luận 
Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn ch−a? Lời giải của bạn nh− thế nào? 
Giải ủỏp 
Các biến , ,x y z trong biểu thức P có dạng hoán vị vòng quanh mà không có vai trò nh− nhau nên chỉ 
đ−ợc xem biến bất kì nào là lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà thôi. Do đó đoạn lập luận: 
Không mất tính tổng quát giả sử 0x y z≥ ≥ ≥ . 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Từ ( )21 0x − ≥ , suy ra ( ) ( )2 23 1 2 1 .x x x+ ≥ + + 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. 
Do đó 
2 2
2 2
1 1 2 (1)
1 1 3
x x
y z x x
+ +≥ ≥
+ + + +
T−ơng tự ta cũng có 
2
2
1 2
; (2)
1 3
y
z x
+ ≥
+ +
2
2
1 2 (3)
1 3
z
x y
+ ≥
+ +
là không đúng. Không thể từ (1) suy ra (2) và (3) bằng phép t−ơng tự vì vai trò của các biến , ,x y z 
trong P không nh− nhau. 
Lời giải ủỳng 
Ta có 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
x y zP
y z z x x y
+ + +
= + +
+ + + + + +
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1 1 2 1 1
x y z
M
z y x z y x
+ + +
≥ + + =
+ + + + + + + + +
Đặt 2 2 21 ; 1 ; 1 ( , , 0)x a y b z c a b c+ = + = + = > . 
Lúc đó 
2 2 2
.
2 2 2
a b cM
c b a c b a
= + +
+ + +
Đặt .
2 2 2
c a bN
c b a c b a
= + +
+ + +
2 2 2
b c aH
c b a c b a
= + +
+ + +
Khi đó 2 3N H+ = . 
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 
2 2 2 3
2 2 2
a c b a c bM N
c b a c b a
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
, suy ra 2 2 6 (4)M N+ ≥ 
Lại có 
2 2 22 3
2 2 2 2
M b a c b a cH
c b a c b a
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
, suy ra 
3 (5)
4 2
MH + ≥ 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4) và (5) ta có: ( )9 152
4 2
M N H+ + ≥ . Mà 2 3N H+ = nên 2M ≥ . 
Từ đó suy ra 2P ≥ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1x y z= = = . 
A6 - MT S DNG SAI LM KHÁC 
Bài 17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
( )4 4 4 2 2 2 2 2 22 .a b c a b b c c a+ + < + + 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 
 ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 22 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2 4
2
b c a
b bc c a
b c a bc
b c a bc
b c a b c b a c a b c
a b c a b b c c a
− <
⇒ − + <
⇒ + − <
⇒ + − <
⇒ + + + − − <
⇒ + + < + +
Bỡnh luận 
Lời giải trên đã đúng ch−a? Nếu ch−a, giải thế nào thì đúng? 
Giải ủỏp 
Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn ở hai vế của BĐT mà không có điều kiện hai vế cùng không âm 
Lời giải ch−a đúng vì từ ( ) ( )2 22 2 2 2 2 22 2b c a bc b c a bc+ − < ⇒ + − < là sai, chẳng hạn 
( )2 22 1 2 1− < ⇒ − < (sai). L−u ý chỉ đ−ợc bình ph−ơng hai vế của BĐT khi cả hai vế đều không âm. 
Lời giải ủỳng 
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 
( ) ( )2 22
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
b c a b c
b c a b c
b bc c a b bc c
bc a b c bc
− < < +
⇒ − < < +
⇒ − + < < + +
⇒ − < − − <
( ) ( )
2 2 2
2 22 2 2
2
2
a b c bc
a b c bc
⇒ − − <
⇒ − − <
( )
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4
2
a b c a b c a b c b c
a b c a b c a b c
⇒ + + − − + <
⇒ + + < + +
Bài 18: Cho hai số x; y thoả mãn x > y và 1xy = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2x yA
x y
+
=
−
. 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Ta có 
( )22 2 2 2 22 2 x y xyx y x xy y xyA
x y x y x y
− ++ − + +
= = =
− − −
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
Do x > y và 1xy = nên 
( )2 2 2x y xyA x y
x y x y x y
−
= + = − +
− − −
Biết rằng nếu a > 0 thì 
1 2a
a
+ ≥ (BĐT Côsi) 
Do đó 
2 2
2 2 2
x y x y x yA
x y
− − −
= + + ≥ +
−
. 
Vậy A có giá trị nhỏ nhất khi 
2 2
2
x y
x y
−
+ =
−
( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 4 4 0x y x y x y x y⇔ − + = − ⇔ − − − + = . 
Giải ph−ơng trình này đ−ợc nghiệm x – y = 2. 
Do đó ta có hệ ph−ơng trình sau 
2
1
x y
xy
− =

=
, nghiệm của hệ ph−ơng trình là 
( ) ( ) ( ) ( ); 1 2; 1 2 ; ; 1 2; 1 2x y x y= + − + = − − − (Thoả mãn điều kiện bài ra). 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
22 2 3.
2 2
x yA −= + = + = 
Bỡnh luận 
Nh−ng với 
6 2 6 2
;
2 2
x y+ −= = thì có x > y; 6 2 1
4
xy −= = và 2 2 3.A = < Tại sao lại nh− thế? 
Giải ủỏp 
Chứng minh f m≥ (hay ≤f m ), khẳng định giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của f bằng m mà không chỉ 
ra m là hằng số 
Rõ ràng lời giải sai . Vì 2
2
x yA −≥ + mà 
2
x y−
 ch−a là hằng số. Sai lầm ở đây là sai lầm ở b−ớc 1, đánh 
giá f m≥ nh−ng m không là hằng số. 
Lời giải ủỳng 
( )22 2 2 2 22 2
2 2( ) 2 ( ). 2 2
x y xyx y x xy y xyA
x y x y x y
x y x y
x y x y
− ++ − + +
= = =
− − −
= − + ≥ − =
− −
GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 
(áp dụng BĐT Côsi cho hai số d−ơng x – y và 
2
x y−
). 
Dấu “=” xảy ra 
2
1
x y
x y
xy

− =
−⇔ 

=
. Giải hệ này tìm ra 
6 2 6 2
;
2 2
x y+ −= = thoả mãn đề bài. 
Bài 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 23 2 .A x x x x= − + + − − 
Lời giải ‘‘cú vấn ủề’’ 
Ta có 
2 2
2 2 2 21 1 11 1 1 93 2 2. 2.
2 2 4 2 2 4
A x x x x x x x x   = − + + − − = − + + + − + −   
   
2 21 11 1 9
2 4 2 4
x x
   
= − + + − −   
   
. 
Suy ra 
11 9