Tóm tắt Toán 12

èng số ) 
2) 	 
3) 	(x2)/ = 2x
4) 	 
5) 	 
6) 	 
7) 	 (a:hằng số ) 
8) 	 
9) 	 
10)	
11)	
12) 
13) 
14)	
15)	
16)	
17)	
ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP
ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ,LOGARIT VÀ LŨY THỪA
1)	 
2)	
3)	
4)	
5)	
6)	
7)	
8)	
1)	
2) 	
3)	 
4)	.
5)	 
6) 	
7)	 
8)	
1) lne = 1	2) ln1 = 0	3) 	4) e0 = 1 ; 
5) e1 = e	6) am.an = am+n 	7) am : an = am– n	8) (am)n = am.n 
9) = a	10) a–n = 	11) an.bn = (a.b)n 	12) an : bn = (a:b)
VI PHÂN
1. Định nghĩa vi phân : hoặc 
2. Ứùng dụng vi phân vào tính gần đúng: 
$2.SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
ĐN:	a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a,b) nếu: 
	 mà x1 < x2 thì f(x1) < f(x2)
	b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a,b) nếu: 
	mà x1 f(x2)
Định lí. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a,b) 
	a) Nếu thì f(x) đồng biến trên khoảng đó. 
	b) Nếu thì f(x) nghịch biến trên khoảng đó 
Chú ý: Dấu bằng chỉ xãy ra tại một số hữu hạn điểm.
$3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm số: y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm x0 
 thì f/(x0) = 0 .(Tại điểm cực trị đạo hàm bằng 0)
2. DẤU HIỆU 1 ĐỂ TÌM CỰC TRỊ . Lập bảng biến thiên
3. DẤU HIỆU 2 ĐỂ TÌM CỰC TRỊ .
a) là điểm cực tiểu.
b) là điểm cực đại.
Chú ý: f/(x) = 0 thì chưa chắc xo là điểm cực trị.
 Có những hàm số đạt cực trị tại x0 mặc dù f/(x0) không xác định.
4) Hàm số có dạng ta có :
a) x0 là hoành đôï cực trị thì tung độ cực trị là: 
b) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ()là: 
CM : Ta có : 
 Mà 
5.	Hàm số bậc ba : 
 	Lấy y chia y/ ta có: thì ta có : 
	a)	Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : 
	b)	x0 là hoành đôï cực trị thì tung độ cực trị là: 
CM : Lấy y chia y/ ta có : 
	Gọi là điểm cực trị.
	Ta có: 
	Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 
$4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
PHƯƠNG PHÁP
1)	Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của hàm số trên một khoảng .
(Dựa vào bảng biến thiên )
2)	Tìm giá trị nhỏ nhất , lớn nhất của hàm số trên một đoạn .
	Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b]. Tìm và 
 Cách 1.Dựa vào bảng biến thiên .
 Cách 2 .
B1:	Tìm các điểm tới hạn x1 , x2 , , xn của hàm số f(x) trên [a ; b]
B2:	Tính f(a) ,f(b), f(x1) , f(x2) , , f(xn) .So sánh rồi suy ra kết quả.
	Số lớn nhất M và số nhỏ nhất m . = M và = m .
3.	Điểm tới hạn 
	Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a;b) và x0 (a ; b) .Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số . Nếu tại đó f / (x) không xác định hoặc bằng 0 .
 $5. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN. 
	Định lí : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên (a;b).
	a)	 Nếu f//(x) < 0 với(a;b) thì đồ thị lồi trên khoảng đó.
	b)	 Nếu f//(x) > 0 với(a;b) thì đồ thị lõm trên khoảng đó.
Chú ý: Điểm phân biệt giữa lồi và lõm gọi là điểm uốn.
 $6. TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ 
Cách xác định tiệm cận: 
1)	 là tiệm cận đứng .
2)	 là tiệm cận ngang .
3)	; là tiệm cận xiên .
Cách 2: Tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên : 
 , 
$7. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài toán 1. Tìm giao điểm của hai đường (C1 ):y=f(x) và (C2 ):y=g(x)
PHƯƠNG PHÁP:
	Lập phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường: (1)
 Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (C1 ) và (C2 ). 
w	PT(1) vô nghiệm thì (C1 ) và (C2 ) không có điểm chung.
w	PT(1) có nghiệm kép thì (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc.
w	PT (1) có n nghiệm đơn thì (C1 ) cắt (C2 )tại n điểm phân biệt.
Bài toán 2. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1:Viết PTTT của (C) tại điểm M(x0 ; y0) (C) :y = f(x) 
	PTTT của (C) tại điểm M(x0 ; y0) là : y = f / (x0) (x – x0) + y0 
DẠNG 2: Viết PTTT của (C) : y = f(x) đi qua điểm cho trước.
P2: Gọi (d) đi qua có hệ số góc k (d): y = k (x – xo) + yo 
w	(d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ pt sau có nghiệm: 
	Giải hệ tìm được x0 suy ra k, suy ra (d) .
DẠNG 3. Viết PTTT của (C): biết hệ số góc k cho trước.
P2: PTTT (d) có dạng : y = f/(x0)(x – x0) + y0 (1)
	Ta có PT: f / (x0) = k. Giải tìm được x0 :(là hoành độ tiếp điểm) y0 = f(x0).
	Thế x0 , y0 , k vào (1) ta có PTTT cần tìm .
Chú ý: 
	1)	Cho (d1): y = a1x + b1 , (d2): y = a2x + b2
	 // Û = và b1b2 ; ^ Û .= –1
	2)	Choy = f(x) ;y = g(x) tiếp xúc Û có nghiệm 
Bài toán 3. Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của PT F(x,m) = 0
P2: Biến đổi phương trình về dạng : f(x) = m 
w Đặt y = f(x) có đồ thị (C). y = m là đường thẳng (d) cùng phương với Ox
w Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (d).
w Dựa và đồ thị ta có kết quả cần tìm.
Bài toán 4. Tìm tập hợp điểm (tìm quĩ tích)
P2: w Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc theo tham số)
w Khử tham số ta được hệ thức độc lập với tham số (gọi là PT quĩ tích)
w Tìm giới hạn (nếu có)
Ø	Nếu toạ độ điểm M(c:không đổi) thì quĩ tích là đường x= c
Ø	Nếu toạ độ điểm M (c: không đổi) thì quĩ tích là đường y = c
CHỨNG TỎ ĐỒ THỊ CÓ MỘT TÂM ĐỐI XỨNG
P2: Chứng minh điểm I(x0,y0) là tâm đối xứng .
 Áp dụng công thức đổi trục : 
	Đưa y = f(x) về hàm số mới Y = f(X) và chứng tỏ đây là hàm số lẻ
w Hàm số: & 
(Đồ thị hàm số nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng)
w Hàm số .Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối (Phép suy đồ thị)
	Cho y = f(x) có đồ thị (C). Dùng đồ thị (C) suy ra các đồ thị hàm số sau :
 a)	Đồ thị dạng :y = f(|x|) là hàm số chẵn Þ đồ thị đối xứng qua Oy.
	Vẽ: Giữ nguyên đồ thị hàm số y = f(x) với x ³ 0 .
	Ứng với x < 0 có đồ thị lấy đối xứng với x ³ 0 qua trục tung 
	Từ hai phần trên ta có đồ thị hàm số : y = f(|x|)
	b)	Đồ thị dạng : = . Đồ thị nằm trên Oy
	Vẽ:	Giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) nằm trên trục Ox 
	Lấy phần đồ thị y = f(x) nằm dười Ox đối xứng qua Ox . 
	c) Đồ thị dạng : |y| = f(x) . Đồ thị đối xứng qua Oy
Vẽ: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số : y = f(x) ứng với phần phía trên trục Ox. 
( Bỏ hẳn phần phía dưới trục Ox )
	Lấy đối xứng phần phía trên trục hoành qua trục Ox .
Từ hai phần trên ta có đồ thị hàm số : |y| = f(x) .
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
$1. NGUYÊN HÀM
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP
BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ HỢP (U = U(X))
1)	= x + c ( c : hằng số )
2)	= + c ( n1)
3)	= ln + c 
4)	= 2 + c 
5)	= – + c 
6)	= + c 
7)	+ c ( a > 0 ; a1 )
8)	= sinx + c
9)	= – cosx + c 
10)	= tgx + c 
11)	= – cotgx + c 
1)	= u + c ( c : hằng số )
2)	= + c ( n1)
3) 	= ln + c 
4) 	= 2 + c 
5) 	= – + c 
6)	= + c 
7) 	+ c ( a > 0 ; a1 )
8) 	= sinu + c
9) 	= – cosu + c
10)	= tgu + c 
11)	= – cotgu + c
Bảng các nguyên hàm mở rộng.
1)ln + c ,(a0) ; 2)= + c 
3)=sin(ax+b) + c ; 4)=–cos(ax+b)+c 
5)=tg(ax+b)+ c ; 6)= –cotg(ax+b)+c
$2. TÍCH PHÂN.
ĐỊNH NGHĨA:= F(x)= F(b) – F(a)
TÍNH CHẤT: 1)= 0 ; 2)= –	3)= k; 4) =	
5)=+ ; 
6) f(x) 0 trên [a;b] 0
7)f(x) g(x) trên [a;b] 
8) m f(x) M trên [a;b] m(b–a) M(b–a)
9) t biến thiên trên [a;b]G(t)= là một nguyên hàm của f(t) và G(a)=0 
CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN – 
I. Tính khi f(x) có chứa ; ;;
PHƯƠNG PHÁP: Nếu f(x) chứa :Đặt x = asint (hay x= acost) 
	Nếu f(x) chứa :Đặt x = atgt (hay x= acotgt)
	Nếu f(x) chứa :Đặt x = (hay x = )
II. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ . DẠNG 
1)	Nếu > 0 thì = a(x–)(x – ), Þ = 
2)	Nếu < 0 thì đặt = u2+2 .Đặt u= tgt du =dt 
3)	Nếu =0 thì = a(x+)2 . Đặt t = x + 
Chú ý: 
1)	dx = + C 	2)	dx = –+ C ;
3)	dx = + C	4)	dx = + C
$4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN.
I.TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG.
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b],hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox là: S = .
2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) liên tục trên [a;b] ,hai đường thẳng x = a, x = b là: S = .
II. THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
1.	Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi (C ):y = f(x),
	trục x/Ox, x = a , x = b (a < b)khi quay quanh trục x/Ox là : V =
2.	Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi (C ):x = f(y),
	trục y/Oy , y = a , y = b (a < b) khi quay quanh trục y/Oy là : V =
3.	Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi (C1 ):y = f(x),
(C2):y = g(x), x = a , x = b (a < b) khi quay quanh trục x/Ox là : V=
TỔ HỢP
I.Qui tắc đếm.
1)	Qui tắc cộng: Nếu có m cách chọn đối tượng x,n cách chọn đối tượng y,và nếu cách chọn đối tượng x không trùng với bất kì cách chọn đối tượng y nào,thì có m+n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
2)	Qui tắc nhân: Nếu có m cách chọn đối tượng x,sau đó với mỗi cách chọn x có n cách chọn đối tượng yVậy có m.n cách chọn dãy xy.
3)	Giai thừa : 0! = 1 ; 1! = 1 ; n! = 1.2.3. . . n ( n 1)
II.Hoán vị.
a)	Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1).Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
b)	Số hoán vị của n phần tử. Nếu kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì ta có: Pn = 1.2.3. . . n = n!
III. Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa:Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k ( 0 k n) phần tử sắp thứ tự của tập A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là , thì ta có: = 
Chú ý : 1) 0! = 1 ; 2) Khi k = n thì ta có : = = n! = Pn ( Mỗi chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó ).
IV.Tổ hợp.
a)Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử .Mỗi tập hợp con gồm k phần tử 
 ( 0 k n) của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số tổ hợp chập k của n phần tử: Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là , thì ta có: = 
c) Các hệ thức giữa các số . 1) = ; 2) +=
$2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN
 (a+b)n = +++ . . . ++ . . . + 
 Số hạng thứ k+1 là: Tk+1= 
HÌNH HỌC
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
$1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
Cho (a1 ; a2),(b1 , b2)
1)	 =(a1 b1, a2 b2)
2) 	k=(ka1 ; ka2) , k:hằng số
3) 	 = 
4)	cùng phương Û 
	với b1 0, b2 0 
w cùng phương Û a1b2 – a2b1 = 0
5)	= a1b1 + a2b2 =
6)	=
7) 	cos()= 
8) 	.= 0
 	Cho điểm A(xA ; yA), B(xB ; yB)
9) 	 = (xB – xA, yB – yA)
10)	AB =
11)	I là trung điểm AB thì 
 xI = ; yI = 
12)	G là trọng tâm ABC thì 
 	xG = ;yG = 
$2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1: Vectơ đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng d.
Định nghĩa 2: Vectơ đgl vectơ pháp tuyến ( hay pháp vectơ) của đường thẳng d nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với d.
Đ lí 1: Đt d đi qua điểm M(x0;y0),nhận (a1;a2) làm vectơ chỉ phương 
 PTTS là: (tR) ; PTCT là: 
Qui ước: Nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.
Đ lí 2: Đt d đi qua điểm M(x0;y0),nhận (A;B) làm vectơ pháp tuyến, 
 có phương trình là: A(x–x0)+B(y–y0)=0
Định nghĩa 3: Phương trình dạng Ax+By+C= 0 gọi là PTTQ của đường thẳng. (trong đó A,B là toạ độ của VTPT (A;B) )
Nếu (A;B) là VTPT của d thì VTCP của d là (B,–A) 
$3.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .
CHÙM ĐƯỜNG THẲNG .
Vị trí tương đối của 2 đường thẳng 
Cho 2 đt (d1): A1x+B1y+C1 = 0 
 (d2): A2x+B2y+C2 = 0
(d1) cắt (d2) 
 (d1) // (d2) 
 (d1) (d2) 
Chùm đường thẳng:
Định nghĩa: Tập hợp các đ thẳng của mặt phẳng cùng đi qua một điểm I gọi là chùm đường thẳng .I gọi là tâm của chùm.
Định lý: Cho đt (d1): A1x+B1y+C1 = 0 và (d2): A2x+B2y+C2 = 0.Mỗi đường thẳng thuộc chùm đều có dạng:
(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2) = 0
với 2+20
$5.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG .
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG.
1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho đường thẳng (d1) có VTPT ,đường thẳng (d2) có VTPT .
Gọi là góc nhọn giữa 2 đường thẳng.Ta có: cos=
2. Khoảng cách từ điểm M(x0;y0) đến đường thẳng (d):Ax+By+C= 0 là:
 d(M;(d))=
$6. ĐƯỜNG TRÒN.
ĐỊNH LÝ: 1) Đường tròn (C) tâm I(a,b),bán kính R có phương trình là 
(C): (x–a)2+(y–b)2=R2.
Đặc biệt: Tâm I(a,b) 0(0,0) thì (C): x2+y2=R2
2) Phương trình dạng x2+y2 +2ax +2by+c = 0 với a2+b2 –c > 0 là phương trình đường tròn tâm I(–a,–b),bán kính R= 
 3) Cho đường tròn (C):F(x,y)= x2+y2 +2ax +2by+c = 0 với a2+b2–c > 0 và điểm M(x0,y0).Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là:
PM/(C) = F(x0,y0)= x02+y02+2ax0 +2by0+c
4) Cho 2 đường tròn (C1):x2+y2 +2a1x +2b1y+c1 = 0 và 
(C2):x2+y2 +2a2x +2b2y+c2 = 0. Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn đó là: 2(a2–a1)x + 2(b2–b1)y + (c2 –c1) = 0
$7. ELIP
1)ĐN:M(x,y)(E)F1M+F2M=2a
2) PTCT: (b2=a2–c2)
Tiêu điểm: F1(–c,0),F2(c,0)
Tiêu cự: F1F2=2c
Tâm sai: e =<1
Đỉnh A1(–a,0),A2(a,0),B1(0,–b),B2(0,b)
Trục lớn:A1A2=2a.Trục nhỏ B1B2=2b
Đường chuẩn: : x= 
3) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0)(E) là: 
4) Đường thẳng (d):Ax+By+C = 0 tiếp xúc với (E) là: A2a2 + B2b2 =C2.
5) Bán kính qua tiêu điểm của Elip:
r1=F1M= a+x , r2=F2M= a–x
Định nghĩa: Cônic là tập hợp các điểm M của mặt phẳng có tỉ số khoảng cách tới một điểm cố định F và một đường thẳng cố định (không đi qua F) bằng một hằng số e
Elíp,Hypebol,Parabol: Gọi chung là Cônic
$8. HYPEBOL
1)ĐN: M(x,y)(H) =2a PTCT: (b2= c2–a2)
Tiêu điểm: F1(–c,0) , F2(c,0)
Tiêu cự: F1F2=2c
Tâm sai: e =>1
Đỉnh : A1(–a,0) , A2(a,0)
Trục thực:A1A2=2a.Trục ảo: 2b
Đường chuẩn: : x=
3) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0)(H) là: 
4) Đường thẳng (d):Ax+By+C = 0 
tiếp xúc với (H) là: A2a2 – B2b2 =C2.
5) Bán kính qua tiêu điểm của (H): 
x>0: r1=F1M=x+a , r2=F2M=x–a
x<0: r1=F1M=–(x+a),r2= –(x–a)
6) Đường tiệm cận y= x
$9.PARABOL
1)ĐN: M(x,y)(P)d(M,) = MF 
2) PTCT: y2 = 2px
Tham số tiêu: p > 0 ; p = d(F,)
Tiêu điểm: F(, 0)
Tâm sai: e =1 ; Đỉnh : Gốc O(0,0)
Đường chuẩn: : x= –
3) Bán kính: MF = x + 
4) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0,y0)(P) là: y0.y= p(x0+x) 
5) Đường thẳng (d):Ax+By+C = 0 
tiếp xúc với (P) là: B2p = 2AC
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. 
$1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
Cho (a1;a2;a3),(b1,b2;b3)
1) =(a1b1,a2b2,a3+b3)
2) k=(ka1;ka2;ka3),k:hằng số
3) = 
4)cùng phương , (b1;,b2 ; b30)
5) .= a1b1+ a2b2 +a3b3
 =.cos()
6) =
7) cos()= 
8) .= 0
 Cho điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB; zB)
9) =(xB–xA, yB–yA,zB–zA)
10) AB=
11) I là trung điểm AB thì 
 xI= ; yI= ; zI=;
12) G là trọng tâm ABC thì 
 xG= ; yG= 
zG= 
TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
ĐỊNH NGHĨA: Cho (a1;a2;a3),(b1,b2;b3) .Tích có hướng của và 
là:
Tính chất: 1) cùng phương khi và chỉ khi = 0
 2) ; 
 	 3) ,trong đó là góc giữa 2 vec tơ và 
 Chú ý: 1) Công thức tính diện tích ABC là S=
2) Thể tích hình hộp: V=
3) Điều kiện cần và đủ để 3 vectơ ,, đồng phẳng là: . = 0
$4. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1)Định nghĩa: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến (hay pháp vectơ) của mặt phẳng() nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với (). 
 Kí hiệu: ()
+ Cặp vectơ ;là 2 vectơ không cùng phương và nằm trên 2 đt song song hoặc thuộc mp() được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mp().
+ Phương trình dạng Ax+By+Cz+D = 0 với A2+B2+C2 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.Trong đó A,B,C là toạ độ của vectơ pháp tuyến (A,B,C).
2) Định lí: Mặt phẳng () đi qua M0(x0,y0,z0) và nhận (A,B,C) làm pháp vectơ,có phương trình là A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0) = 0 
Chú ý: + Nếu , là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng () thì vectơ pháp tuyến =.
+ Nếu trong PTTQ không có x(hay y,z) thì mặt phẳng tương ứng song song hoặc chứa trục 0x(hay 0y,0z).
+ Mặt phẳng cắt các trục 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A(a,0,0), B(0,b,0),C(0,0,c) thì phương trình mặt phẳng có dạng: . Gọi là phương trình theo đoạn chắn.
$5.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG .
CHÙM MẶT PHẲNG .
1) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng . 
Cho 2 mp (): A1x+B1y+C1z + D1= 0 và (): A2x+B2y+C2z + D2 = 0
 ( ) cắt () A1:B1:C1 A2:B2:C2
 ( ) // () ;
 ( )() 
2) Chùm mặt phẳng: Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng gọi là chùm mặt phẳng .
Định lý: Cho ():A1x+B1y+C1z+D1= 0 và():A2x+B2y+C2z +D2= 0. Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của () và () đều có dạng :
(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2) = 0 với 2+20
$6. ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1: Vectơ đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng d.
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng là hệ gồm 2 phương trình của 2 mặt phẳng cắt nhau:
Định lí : Đt d đi qua điểm M0(x0;y0;z0),nhận(a1;a2;a3) làmVTCP . 
PTTS là: (tR) ; PTCT là: 
Qui ước: Nếu mẫu bằng 0 thì tử bằng 0.
$7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG 
 VÀ MẶT PHẲNG.
1.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
Cho 2 đường thẳng 
(d1): có điểm M1(x1,y1,z1) (d1),VTCP 
(d2): có điểm M2(x2,y2,z2) (d2),VTCP 
1) (d1)//(d2) cùng phương và không có điểm chung.(M1(d2)).
2) (d1)(d2) cùng phương và M1(d2).
3) (d1) và (d2) chéo nhau 
4) (d1) cắt (d2) (d1),(d2) đồng phẳng và , không cùng phương và , không cùng phương.
2.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.
 Cho đthẳng (d): có điểm M(x0,y0,z0)(d), VTCP và mặt phẳng (): Ax+By+Cz+D= 0 có VTPT (A,B,C).
1) (d) cắt () và không vuông góc . 0
2) (d)//() và điểm M().
3) (d)() và điểm M ().
 Đặc biệt: (d) ( ) và cùng phương.
$8. KHOẢNG CÁCH
1.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng .
Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mphẳng ():Ax+By+Cz+D= 0 là:d(M;())=
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .
Cho đthẳng (d): có VTCP và điểm M0(d)
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là: d(M,d)=.
3.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho đường thẳng (d1) có VTCP và điểm M1(d1),đường thẳng (d2) có VTCP và điểm M2(d2).Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) là: d(d1,d2)=.
$9.GÓC
 1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho đường thẳng (d1) có VTCP ,đường thẳng (d2) có VTCP .
Gọi là góc nhọn giữa 2 đường thẳng,thì cos=
2. Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho mặt phẳng () có VTPT ,mặt phẳng () có VTPT .
Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng ,thì cos=
3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng (d) có VTCP và mặt phẳng () có VTPT .
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ,thì sin=.
$10.MẶT CẦU.
 ĐỊNH LÝ: 1) Mặt cầu tâm I(a,b,c),bán kính R có phương trình là 
(S): (x–a)2+(y–b)2+(z–c)2= R2.
Đặc biệt: Tâm I(a,b,c) 0(0,0,0) thì (C): x2+y2+z2=R2
2) P trình dạng x2+y2+z2 +2ax +2by+2cz + d = 0 với a2+b2+c2–d > 0 là phương trình mặt cầu.Tâm I(–a,–b,–c),bán kính R= 
3) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 
Cho mặt cầu (S):(x–a)2+(y–b)2+(z–c)2= R2 có tâm I(a,b,c) và mphẳng ():Ax+By+Cz+D= 0. Gọi d=d(I,()) là khoảng cách từ I đến ().
Nếu d > R thì (S) () = 
Nếu d = R thì (S) tiếp xúc với () tại H. () gọi là tiếp diện.
 Mặt phẳng () vu