Tổng hợp Hnh học - Ôn thi 12 & ĐH - CĐ

2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3
   
   
   
Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng   ®i qua ®iÓm M vµ song song víi mÆt ph¼ng   biÕt: 
a,      M 2;1;5 , Oxy  b,    M 1;1;0 , :x 2y z 10 0      c,    M 1; 2;1 , : 2x y 3 0     
Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm M(2;3;2) vµ cÆp VTCP lµ (2;1;2); (3;2; 1)a b 
 
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ 
 a) Song song víi c¸c trôc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trôc 0x,0z. 
 c) Song song víi c¸c trôc 0y, 0z. 
Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng ®i qua 2 ®iÓm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ : 
 a) Cïng ph­¬ng víi trôc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trôc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trôc 0z. 
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ n vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ (6; 1;3); (3;2;1)a b
 
. 
Bµi 8: T×m mét VTPT cña mÆt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cÆp VTCP lµ )4,2,3( );2,7,2( ba 
Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) biÕt : 
a) (P) ®i qua ®iÓm A(-1;3;-2) vµ nhËn );4,3,2(n lµm VTPT. 
 15
 b) (P) ®i qua ®iÓm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0. 
Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c mÆt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. 
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iÓm A(-1;2;3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , 
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q). 
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau: 
 a) §i qua hai ®iÓm A(0;-1;4) vµ cã cÆp VTCP lµ  3;2;1a

 vµ  3;0;1b 

 b) §i qua hai ®iÓm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trôc víi 0x. 
Bµi 13: Cho tø diÖn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) . 
 a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t c¸c mÆt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD). 
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. 
Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña (P) 
 a) §i qua ba ®iÓm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) . 
 b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0 
 c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3) 
Bµi 15: Cho hai ®iÓm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz 
 a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ trung trùc cña AB. 
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng y0z 
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mÆt ph¼ng (P). 
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua 
 M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a

= (a1;a2;a3) 
 Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o









: 
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) 
32 a
z-z
a
yy
a
xx
(d) o
1
o 0: 



3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2 





0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111
Cy
Cy
: 
 Veùctô chæ phöông 








22
11
22
11
22
11 ,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a 
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng : 
Qui öôùc: 
 Maãu = 0 thì Tö û= 0 
 16
 (d) qua M coù vtcp da

; (d’) qua N coù vtcp /da 
 d cheùo d’  [ da

, /da ].

MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng) 
 d,d’ ñoàng phaúng  [ da

, /da ].

MN = 0 
 d,d’ caét nhau  [ da

, /da ] 0 vaø [ da

, /da ].

MN =0 
 d,d’ song song nhau  { da

 // /da vaø )(
/dM  } 
 d,d’ truøng nhau  { da

 // /da vaø )(
/dM  } 
5.Khoaûng caùch : 
Cho (d) qua M coù vtcp da

; (d’) qua N coù vtcp /da 
Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: 
d
d
a
AMa
dAd
];[
),(  
Kc giöõa 2 ñường thẳng : 
];[
].;[
);(
/
/
/
dd
dd
aa
MNaa
ddd  
6.Goùc : (d) coù vtcp da

; ’ coù vtcp /da ; ( ) coù vtpt n

Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : 
/
/
.
.
'
dd
dd
aa
aa


)dcos(d, 
 Goùc giữa ñường vaø mặt : 
na
na
d
d


.
.
)sin(d,  
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN 
Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B 



 ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)( 
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song () 

 a 
d
a vtcp neân )( // (d) Vì
qua

A
d )( 
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp 

 n 
d
a vtcp neân )( (d) Vì
qua


A
d )( 
Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =    
 17
 Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp 
  
   











];[
)()(
)(






nan
bn
aad
dquaM
d
d
 ª



)(
)(
)( /


d 
Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc (d1),(d2) 
] 
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)( 

A
d 
Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 : 
+ Tìm da = [ a

d1, a

d2] 
+ Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d) 
  d =    
Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =    
vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) 
Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2 
 vôùi mp1 chöùa d1 //  ; mp2 chöùa d2 //  
Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB 
vôùi mp qua A,  d1 ; B = d2   
Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =    
 vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 ,  (P) 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hîp sau : 
 a) (d) ®i qua ®iÓm M(1;0;1) vµ nhËn (3;2;3)a

lµm VTCP 
 b) (d) ®i qua 2 ®iÓm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3) 
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña c¸c giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng 
( ) : - 3 2 -6 0 P x y z  vµ c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é 
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng 
tr×nh:   R t, 
21
22: 








tz
ty
tx
d
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : 
  R t, 
21
22: 








tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0 
T×m ph­¬ng tr×nh cña ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng 
th¼ng (D) 
Bµi 5: Cho mÆt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iÓm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng 
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã 
 18
Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mÆt 
ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau: 
 a) ( ) : 2 3 - 4 0P x y z   b)   : 2 3 1 0P x y z    . 
Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cña ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng 
th¼ng ( ) cho bëi :
 
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
 

   
   
. 
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña ®­êng th¼ng (d) vµ mÆt ph¼ng (P) ,biÕt: 
 a)   R t, 
2
3
1
: 








tz
ty
tx
d (P): x-y+z+3=0 b)   R t, 
1
9
412
: 








tz
ty
tx
d
 (P): y+4z+17=0 
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mÆt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ 
 
3
2
12
1
:



 zyx
d . 
 a) T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña (d) vµ (P) . 
 b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mÆt ph¼ng (P) . 
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
  
1
1
2
1
1
2
:1




 zyx
d     t 
31
2
21
:2 R
tz
ty
tx
d 








 a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña nã. 
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2). 
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
   
34
24
37
:1








tz
ty
tx
d
   R
tz
ty
tx
d 








1
1
1
1
2 tt, 
12
29
1
:
a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau. 
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña (d1),(d2) . 
III.MẶT CẦU 
1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R 
       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 
 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  (2) 
 ( 0dcbavôùi 222  ) 
 Taâm I(a ; b ; c) vaø dcbaR  222 
2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu 
 Cho       2Rczbyax:(S) 222  
 vaø  : Ax + By + Cz + D = 0 
 Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) ñeán mp : 
 d > R : (S)   =  
 19
 d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän) 
 *Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp) 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad  
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 
 d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt      





2
0DCzByAx : 
Rczbyax:(S)
222
 *Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn: 
+ baùn kính ),(22 IdRr  
+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp) 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad  
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 
3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu 








tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
: (1) vaø 
       2Rczbyax:(S) 222  (2) 
 + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t, 
 + Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm 
2.CAÙC DAÏNG TOAÙN 
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A 
ª       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 
Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB 
 Taâm I laø trung ñieåm AB 
 Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1) 
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 
Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp 
222
..)(
CBA
D
I
zC
I
yBS



I
A.x
)d(I, R
I taâmcaàu maët Pt

Daïng 4: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD 
Duøng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d 
Daïng 5:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) 
 0d2cz2by2axzyx:R)S(I, 222  (2) 
A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2) 
I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α) 
 20
 Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d 
Daïng 6: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A 
Tieáp dieän  cuûa mc(S) taïi A :  qua A,

 IA n vtpt

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cña mÆt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m 
vµ b¸n kÝnh cña nã ,biÕt: 
 a)   02642: 222  zyxzyxS b)   09242: 222  zyxzyxS 
 c)   03936333: 222  zyxzyxS d)   07524: 222  zyxzyxS 
Bµi 2: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh:   04624: 2222  mmzmymxzyxSm 
a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . 
b) CMR t©m cña (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. 
Bµi 3: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh:   05824: 22222  mymmxzyxSm 
 a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . 
 b) T×m quÜ tÝch t©m cña hä (Sm) khi m thay ®æi. c) T×m ®iÓm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua. 
Bµi 4: Cho hä mÆt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh:   03cos2sin2: 222  mymxzyxSm 
 a) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó (Sm) lµ mét hä mÆt cÇu . 
 b) CMR t©m cña (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mÆt ph¼ng 0xy khi m thay ®æi. 
 c) Trong mÆt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m 0) ,c¾t (C) t¹i T, S , 
®­êng th¼ng qua A , T c¾t ®­êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hîp c¸c ®iÓm P khi m thay ®æi . 
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ,biÕt : 
 a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iÓm A(2;1;-3) vµ 
t©m I(3;-2;-1). 
 c) §i qua ®iÓm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x. d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3), 
B(3;2;-7) 
Bµi 6: Cho 3 ®­êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph­¬ng tr×nh : 
 
1
1
4
2
3
2
:1




 zyx
d ,  
1
9
2
3
1
7
:2





 zyx
d ,  
1
2
2
3
3
1
:3






 zyx
d 
a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d1),(d2) vµ song song víi (d3). 
b) Gi¶ sö      Add  1 ,      Bdd  2 .LËp ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ®­êng kÝnh AB. 
Bµi 7: Cho 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh :   R
tz
ty
tx
d 








 t
2
1
2
:1
,  
1
9
2
3
1
7
:2





 zyx
d 
a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau. b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). 
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cña (d1) vµ (d2). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Òu(d1) (d2). 
Bµi 8: ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) biÕt : 
 a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0. 
 b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0. 
 c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iÓm M(1;1;-3). 
Bµi 9: (§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5). 
 a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC). 
 b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. 
Bµi10: Cho bèn ®iÓm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8) 
 a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA. 
 b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cña c¹nh SB lªn mÆt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ 
giao ®iÓm cña h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cña K. 
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. 
 d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l­ît lµ ®iÓm gi÷a cña c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cña ®iÓm M trªn SB sao 
cho PQ vµ KM c¾t nhau. 
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iÓm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). 
 a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn (ABC) vµ tÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. 
 b) (HVKTQS-98): ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cña AC vµ BD. 
 21
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. 
 d) TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. 
Bµi 12: Cho bèn ®iÓm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1). 
 a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cña ®­êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹ 
®é cña ®iÓm H. 
b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt pttq cña (BCD) .T×m kc tõ A ®Õn (BCD). c) ViÕt ptmc ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. 
Bµi 13: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), 
D(3;1;0). 
a) LËp pt c¸c mÆt cña h×nh chãp. b) LËp pt mÆt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp . c) TÝnh V SABCD 
Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iÓm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2). 
 a) CMR tø diÖn ABCD cã cÆp c¹nh ®èi diÖn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cña tø 
diÖn. 
 c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diÖn ABCD. 
 22
 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
I. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian 
Ta có : , , Ox Oy Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc 
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể : 
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD 
Với hình lập phương . 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a 
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a
 Với hình hộp chữ nhật. 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b 
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b 

Với hình hộp đáy là hình thoi ''''. DCBAABCD 
Chọn hệ trục tọa độ sao cho : 
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của 
hai đường chéo của hình thoi ABCD 
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy 
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và 
đường cao SO h 
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông 
Khi đó : 















 0;0;
2
2
;0;0;
2
2 a
C
a
A 
2 2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2 2
a a
B D S h
   
      
   
Với hình chóp tam giác đều S.ABC 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ 
A 
B C 
D 
D’ 
C 
A’ 
B’ 
O 
O’ 
x 
y 
B’ 
A D 
C B 
D’ A’ 
C’ 
y 
z 
x 
z 
B 
D 
C 
A 
O 
S 
x 
y 
z 
S 
z 
 23
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và 
đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm 
của BC 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho I(0;0;0) 
Khi đó : ;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A B
   
   
   
3 3
0; ;0 ; S 0; ;
2 6
a a
C h
   
      
   
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA  (ABCD) 
ABCD là hình chữ nhật ;AB a AD b  
chiều cao bằng h 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho A(0;0;0) 
Khi đó :    ;0;0 ; ; ;0B a C a b 
  0; ;0 ; (0;0; )D b S h 
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA  (ABCD) 
ABCD là hình thoi cạnh a 
chiều cao bằng h 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho O(0;0;0) 
Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vuông tại A 
Tam giác ABC vuông tại A có 
;AB a AC b  đường cao bằng h . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho A(0;0;0) 
 Khi đó :    ;0;0 ; C 0; ;0B a b 
   S 0;0;h 
B 
D 
C 
A 
O 
S 
x 
y 
z 
B 
D 
C 
A 
O 
S 
x 
y 
z 
B 
C 
A 
S 
x 
y 
z 
 24
Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC) và  ABC vuông tại B 
Tam giác ABC vuông tại B có 
;BA a BC b  đường cao bằng h . 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho B(0;0;0) 
 Khi đó :    ;0;0 ; C 0; ;0A a b 
   S ;0;a h 
Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S 
và  ABC vuông tại C 
 ABC vuông tại C ;CA a CB b  
chiều cao bằng h 
H là trung điểm của AB 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho C(0;0;0) 
Khi đó :    ;0;0 ; B 0; ;0A a b 
 ( ; ; )
2 2
a b
S h 
Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S 
và  ABC vuông tại A 
 ABC vuông tại A ;AB a AC b  
chiều cao bằng h 
H là trung điểm của AB 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho A(0;0;0) 
Khi đó :    ;0;0 ; C 0; ;0B a b 
 (0; ; )
2
a
S h 
Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân tại S 
và  ABC vuông cân tại C 
 z 
B 
C A 
S 
x y 
B 
C 
A H 
S 
x 
y 
z 
B 
C A 
H 
S 
x 
y 
z 
 25
 Tam giác ABC vuông cân tại C có 
CA CB a  đường cao bằng h . 
 H là trung điểm của AB 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao 
cho H(0;0;0) 
 Khi đó : ;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
   
   
   B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h
 
 
 
b. Bài tập áp dụng 
Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi 
 , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh 
rằng : 1coscoscos 222   
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương 
chủ biên, NXBGD 2000 ) 
 Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc 
Oxyz như sau : )0;0;0(O ; )0;0;(aA ; 
)0;;0( bB );0;0( cC ; 
)0 ; ; ( baAB  
) ; 0 ; ( caAC  
Tìm vectơ pháp tuyến của : 
 Mặt phẳng (ABC) 
 Mặt phẳng (OBC) 
 Mặt phẳng (OCA) 
 Mặt phẳng (OAB) 
   ) ; ; (, abacbcACABn  
)0 ,0 ,1 (i vì : )(OBCOx  
)0 ,1 ,0 (j vì : )(OCAOy  
)1 ,0 ,0 (k vì : )(OABOz  
Sử dụng công thức tính góc giữa hai 
mặt phẳng: 
 )(),(coscos ABCOBC 
 )(),(coscos ABCOBC 
 )(),(coscos ABCOBC 

222222
.
cos
baaccb
cb



222222
.
cos
baaccb
ac


222222
.
cos
baaccb
ba


H 
B 
C 
A 
S 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
 
A 
B 
C 
C’ 
O 
 26
Kết luận 
1coscoscos
222222
222222
222 



baaccb
baaccb

Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau : 
Cho hình lập phương ''''. DCBAABCD có cạnh bằng a. 
a.Chứng minh rằng đường chéo CA' vuông góc với mặt phẳng )''( DAB 
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tâm của 
 tam giác ''DAB . 
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng )''( DAB và )'( BDC 
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng )'( CDA và )''( AABB 
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) 
Hướng dẫn Bài giải 
Dựng hình : 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông 
góc Oxyz như sau : )0;0;0(AO  ; 
);0;0(' aA 
)0;0;(aB ; );0;(' aaB 
)0;;( aaC ; );;(' aaaC 
)0;;0( aD ; );;0(' aaD 
a. Chứng minh : )''(' DABCA  
Nếu )''('
''
''
DABCA
ADCA
ABCA






 Ta có : 










);;0('
);0;('
);;('
aaAD
aaAB
aaaCA
Vì 












''
''
00'.'
00'.'
22
22
ADCA
ABCA
aaADCA
aaABCA
Nên