Tuyển tập đề thi môn Toán THCS tỉnh Hải Dương

ng thức trên bằng hằng số c khác với 
1
3
c > được 
không? 
Câu IV: 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, hai đường chéo AC và BD cắt 
nhau tại I. Gọi 1O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI, 2O là tâm của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác CDI. 
1) Chứng minh tứ giác 1 2OOO I là hình bình hành. 
2) Một đường thẳng qua I cắt đường tròn tâm O tại M, N, cắt đường tròn tâm 
1O và tâm 2O thứ tự tại P, Q. Chứng minh rằng PM=QN. 
 8 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2001-2002 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN -THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Chứng minh rằng biểu thức: 
2 2
x y x y
A xy x xy y
 +   + 
= + − + − −   
   
Không phụ thuộc vào x và y. 
Câu II: 
1) Giải phương trình 
( ) ( ) ( )2 2 22 1 4 1 12 1x x x− − − = + 
2) Xác định các giá trị của m để phương trình: 
2 2
24 4 1 6 7 0
2
x mx m
x x
x m
− + +
+ − + =
−
Có một nghiệm duy nhất. 
Câu III: 
1) Cho hai đường tròn tâm 1O và 2O tiếp xúc trong tại M (đường tròn tâm 
2O nằm trong), N là một điểm nằm trên ( )2O (N khác M), qua N kẻ một 
tiếp tuyến với ( )2O cắt ( )1O tại A và B. Đường thẳng MN cắt ( )1O tại E. 
Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến với ( )2O kẻ từ E. Đường thẳng EI cắt 
đường tròn ( )1O tại C. 
Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
2) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và r, R lần lượt là độ dài bán kính 
đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần 
và đủ để tam giác ABC đều là: 
1 1 1 3
2a b c Rr
+ + = 
Câu IV: 
Cho n là số tự nhiên lẻ và n có thể biểu diễn không ít hơn hai cách là tổng 
của hai số chính phương. Chứng minh rằng n là hợp số. 
 9 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2002-2003 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Bài I: 
Cho đa thức f(x) có bậc 2000 thỏa mãn điều kiện ( ) 1f n
n
= với 
1,2,3,....,2001n = . Tính giá trị f(2002). 
Bài II: 
1) Giải phương trình ( )3 28 1 3 2x x x+ = − 
2) Cho ba số , , Ν*k m n∈ đồng thời thỏa mãn 
1 1 1
1
k m n
+ + < 
Xác định số hữu tỉ q nhỏ nhất sao cho 
1 1 1
q
k m n
+ + ≤ . 
Bài III: 
1) Cho tam giác nhọn ABC có 
 060BAC = và nội tiếp trong đường tròn tâm 
O. Gọi H là trực tâm tam giác đó. 
Chứng minh rằng OH AB AC= − 
2) Cho tam giác đều ABC và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam 
giác đều đó đồng thời đi qua hai đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài 
đường trong, M là điểm trên đường tròn (M không trùng với B và C). 
Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. 
Bài IV: 
1) Cho dãy số tự nhiên được viết theo quy luật sau: 
1 2 314; 144; 1444;...; 1444...4nu u u u= = = = (có n chữ số 40. 
Tìm các số hạng của dãy là số chính phương. 
2) Lấy các số nguyên từ 1 đến 9 xếp vào các ô của một hình vuông 3x3 ô 
(mỗi số chỉ lấy 1 lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo 
đều là bội của 9. Chứng minh rằng chữ số nằm ở ô của tâm hình vuông là 
bội của 3. 
Hãy chỉ ra một cách xếp có số ở ô tâm là 6. 
 10 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2003-2004 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Cho hai số dương a và b. Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng 
{ }; 1; 0; 0T ax by x y x y= + + = > > 
Chứng minh rằng các số 
2ab
a b+
 và ab đều thuộc tập hợp T. 
Câu II: 
Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các 
cạnh AB và AC, đường phân giác của góc B cắt đường thẳng DE tại H. 
Chứng minh tam giác BHC là tam giác vuông. 
Câu III: 
1) Giải hệ phương trình; 
( )( )
( )( )
2 2
2 2
45
85
x y x y
x y x y
 + − =

− + =
2) Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho các số 
1 1 1
; ;a b c
b c a
+ + + là các số nguyên dương. 
Câu IV: 
Tìm đa thức ( )f x và ( )g x hệ số nguyên sao cho: 
( )
( )
2 7
2
2 7
f
g
+
=
+
Câu V: 
Tìm số nguyên tố p để 24 1p + và 26 1p + đều là các số nguyên tố 
Câu VI: 
Cho phương trình 2 0x ax b+ + = có hai nghiệm là 1x và 2x ( )1 2x x≠ . Đặt 
1 2
1 2
n n
n
x x
u
x x
−
=
−
 (n là số tự nhiên). Tìm giá trị a và b sao cho đẳng thức 
 11 
( )1 2 3 1
n
n n n nu u u u+ + +− = − đúng với mọi số tự nhiên n, từ đó suy ra 
1 2n n nu u u+ ++ = . 
 12 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2004-2005 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Tìm giá trị của a đề phương trình: 
( ) ( ) ( )4 3 21 3 3 3 3 3 3a x a a a x− + − + + = − 
Có vô số nghiệm. 
Câu II: 
Tìm các số tự nhiên a, b, c ( )a b c≤ ≤ thỏa mãn đẳng thức: 
1 1 1
1 1 1 2
a b c
   + + + =   
   
Câu III: 
Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho 
3
3
a b
b c
−
−
 là số hữu tỉ. 
1) Chứng minh rằng 2b ac= 
2) Với 1b ≠ . Chứng minh rằng 2 2 2a b c+ + là hợp số. 
Câu IV: 
Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho 

 
 0180AMB CMD+ = . Chứng minh rằng 
 
MAD MCD= . 
Câu V: 
Cho tam giác cân ( )ABC AB AC= , đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B cắt 
cạnh AC tại D thỏa mãn BC BD DA= + . 
1) Tính các góc của tam giác ABC. 
2) Chứng minh rằng 3 3 23a b ab+ = ( );AB AC b BC a= = = . 
 13 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2005-2006 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Cho phương trình 2 5 3 0x x− + = . 
Gọi hai nghiệm của phương trình là 1 2,x x . Tính giá trị của biểu thức: 
1 22 1A x x= − − + 
Câu II: 
1) Giải hệ phương trình: 
10 6 4
6 10 4
x y
x y
 + + − =

− + + =
2) Cho phương trình ( )( )( )( ) ( )2 21 2 3 6 1x x x x m x− − − − = − (ẩn x) 
Giả sử phương trình có bốn nghiệm là 1 2 3 4, , ,x x x x . Chứng minh giá trị của 
biểu thức 
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
+ + + không phụ thuộc vào m. 
Câu III: 
Cho tam giác 
( )090ABC BAC ≠ nội tiếp đường tròn tâm O, đường thẳng 
AB, AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I lần lượt tại M và N. Gọi J 
là điểm đối xứng của I qua MN. Chứng minh rằng: 
1) Tam giác AMC là tam giác cân. 
2) AJ vuông góc với BC. 
Câu IV: 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi M, H, K theo thứ tự là chân 
đường vuông góc kẻ từ A đến CD, DB, BC. Chứng minh HM=HK khi và chỉ khi 
các đường phân giác góc 
BAD , 
BCD và BD đồng quy. 
Câu V: 
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn ; 1a b c abc≥ ≥ = và 
1 1 1
a b c
a b c
+ + > + + 
Chứng minh rằng 1a b ab+ > + 
 14 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2006-2007 
 MÔN THI: TOÁN CHUYÊN - THỜI GIAN: 150 PHÚT 
Câu I: 
Rút gọn biểu thức: 
2 2 2 2 2
1 1 1 .... 1 1
3 4 5 2005 2006
+ + + + + 
Câu II: 
1) Cho hai đa thức 
( ) ( )5 4 3 2 23 7 9 8 2; 2f x x x x x x g x x x a= − + − + − = − + 
Xác định giá trị của a để tồn tại đa thức ( )p x thỏa mãn: 
( ) ( ) ( )f x g x p x= với mọi giá trị của x. 
2) Gọi α là nghiệm của đa thức ( ) 3 2 1f x x x= − − . Tìm đa thức ( )h x có hệ 
số nguyên nhận 2α 1+ làm nghiệm. 
Câu III: 
Cho phương trình 2 4 1 0x x− + = , gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình. 
Đặt 1 2
2 3
n n
n
x x
a
−
= ; 1;2;3....n = 
Chứng minh rằng na là một số nguyên với mọi 1;2;3...n = 
Câu IV: 
Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ABC. 
1) Chứng minh rằng AH=AO khi và chỉ khi 
 060BAC = 
2) BD, CE là hai đường phân giác trong của góc B, C ( ),D AC E AB∈ ∈ . M 
là điểm trên BC sao cho tam giác MDE là tam giác đều. 
Chứng minh rằng AH=AO. 
Câu V: 
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 
; 6; 9a b c a b c ab bc ca< < + + = + + = 
Chứng minh rằng 0 1 3 4a b c< < < < < < 
 15 
PHẦN 2 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
 16 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 1996-1997 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Cho 
2
2 2
2 4 3
x
x x
= −
+ +
. Hãy tính 
2
4 2
2
2 4
x
P
x x
=
+ +
. 
2) Giải hệ phương trình: 
( )5 2 19
3 35
x y xy
xy x y
+ + = −

+ + = −
Câu II: 
Cho ( ) 2f x ax bx c= + + . 
1) Giả sử ( )f x có nghiệm 1 2,x x . Kí hiệu ( ) 1 2k kP k x x= + . 
Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )2 1 0aP k bP k cP k+ + + + = . Áp dụng để tính 
( ) ( )9 90,5 1,25 0,5 1,25R = + + − . 
2) Cho ( )0 1f m≤ ≤ với { }0;1;2m∈ . 
Chứng minh ( ) 1,125f x ≤ với mọi x thỏa mãn 1 2x≤ ≤ . 
3) Cho 1a = , b và c là các số nguyên. Chứng minh có thể tìm được số tự 
nhiên n sao cho: 
( ) ( ) ( )1 ; 2 ;....; 1996f n f n f n+ + + đều là hợp số. 
Câu III: 
Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn: 
3 3 3
3 3 3
1abc
a b c b a c
b c a a c b
=


+ + = + +
Chứng minh rằng trong ba số 3 3 3; ;a b c có ít nhất một số là số hữu tỉ. 
Câu IV: 
Trên các cạnh AB, BC, CA theo thứ tự lấy F, D, E và dựng về phía ngoài tam 
giác ABC một tam giác ACK sao cho 
 

 
;ACK DFE CAK FDE= = . Giả sử đường 
tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt AC tại M (nằm giữa C và E). Chứng minh 
rằng: 
1) FM song song AK. 
2) Tứ giác DBFK và tam giác ABC có diện tích bằng nhau. 
(còn tiếp ở trang sau) 
 17 
Câu V: 
Cho đường thẳng a cắt đường gấp khúc kín L tại 1997 điểm. Có tồn tại một 
đường thẳng cắt L tại không ít hơn 1998 điểm hay không? 
 18 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 1997-1998 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Giải và biện luận phương trình: 
( )2
2 2
2 1 1 3 1m m m m
x m m x x m
− − +
+ =
− − +
 (x là ẩn, m là tham số) 
2) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: 
( )
3 3 3
2
3
2
a b c abc
a b c
 = + +

= +
Câu II: 
Cho a, b là hai số dương 
1) Chứng minh rằng 
4 2 4 2
1a b
a b b a ab
+ ≤
+ +
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của 
a b ab
a bab
+
+
+
Câu III: 
1) Cho tứ giác lồi ABCD, biết góc 
 
 
0 0 030 ; 50 ; 40 ;BAC ADB DCA= = = 

 060 ;CDB = và 
 
 0180ABC ADC+ < . Tính các góc của tứ giác ABCD. 
2) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 045 quay xung quanh 
đỉnh A và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt ở M và N. 
a) Chứng minh rằng ( ) 2.BM DN a BM DN a+ + = . 
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh 
2 2 2
1 1 1
AM AE a
+ = 
 19 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 1998-1999 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Rút gọn: 7 48 5 24 3 8− + − + − 
2) Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 2 
Chứng minh bất đẳng thức 
2 2
1 1
9a b
b a
   + + + ≥   
   
Câu II: 
Cho phương trình 2 22 1 4 0x x a− + − = (x là ẩn số) 
1) Giải phương trình khi a = 1. 
2) Tìm a để phương trình có 4 nghiệm 1 2 3 4, , ,x x x x . Khi đó tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức 2 2 2 21 2 3 4x x x x+ + + 
Câu III: 
1) Cho tứ giác ABCD, sao cho AB, CD kéo dài cắt nhau tại M; AD, BC kéo 
dài cắt nhau tại N, đường phân giác 
AMD và 
CND cắt nhau tại P. Chứng 
minh rằng: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp thì tam giác MNP vuông. Điều 
ngược lại có đúng không? 
2) Cho tam giác cân ABC ( )AB AC= . Trên đường cao AH lấy điểm D và 
trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
 
EBC ACD= và 
 
BEC AED= . Tính 

EBC . 
 20 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 1999-2000 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
Rút gọn biểu thức 
( ) ( )( )3 32
2
1 1 1 1
2 1
a a a
A
a
+ − + − −
=
+ −
 với 1 1a− ≤ ≤ 
Câu II: 
Cho hai số a và b nguyên. Chứng minh rằng phương trình 
( )2 23 3 1 0x ax b+ − + = không có nghiệm nguyên. 
Câu III: 
Cho hai đường tròn tâm 1O và tâm 2O cắt nhau tại A và B, qua A kẻ cát 
tuyến bất kỳ cắt đường tròn tâm 1O tại C và đường tròn tâm 2O tại D. 
1) Đường thẳng 2AO cắt đường tròn tâm 1O tại P, đường thẳng 1AO cắt 
đường tròn tâm 2O tại Q. Chứng minh rằng 

 
PCA QDA= . 
2) Gọi M, N là điểm chính giữa cung CB và BD (không chứa A), K là trung 
điểm đoạn CD. Chứng minh rằng MK vuông góc với NK. 
Câu IV: 
Cho 2 0
m
n
− > (m, n là các số tự nhiên khác 0). Chứng minh rằng 
1
2
3
m
n mn
− > 
 21 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2000-2001– THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Cho ( )( )2 21 1 1.x x y y+ + + + = Tính x y+ . 
2) Cho ( )( )2 21 1 1x y y x+ + + + = . Chứng minh rằng 0x y+ = . 
Câu II: 
1) Tìm số nguyên x để 2 22 3 35x x p+ − = với p là số nguyên tố. 
2) Giải hệ phương trình 
2 2
3 3
1
1
x y
x y
 + =

+ =
Câu III: 
Cho hai điểm C và D nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB (C nằm 
giữa A và D). Đường tròn qua 3 điểm A, C, O cắt đường tròn qua 3 điểm B, D, O 
tại N. Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC ở I. 
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, I, N cùng nằm trên một đường tròn. Và 
bốn điểm C, D, I, N cũng nằm trên một đường tròn. 
2) Chứng minh rằng tam giác ONI vuông. 
Câu IV: 
Cho hai số thực x và y. Chứng minh rằng luôn tồn tại một số hữu tỉ xen giữa hai 
số ấy. 
 22 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2001-2002 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
Cho phương trình: ( ) ( )2 22 1 2 1 0x m x m m− − + − − = 
1) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm. 
Gọi 1 2,x x là hai nghiệm của phương trình. Tìm đẳng thức liên hệ giữa 1x và 
2x không phụ thuộc vào m. 
2) Tìm giá trị của m để 3 31 2 36x x+ = . 
Câu II: 
Giải hệ phương trình 
2 2
2 2
0,75 0,75 4,5
0,75 0,75 1
x x y y x y x y
x x y y x y x y
 + + − + + + − + + =

+ + − + + + − − − =
Câu III: 
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cai AH ( )H BC∈ . Gọi D là điểm 
đối xừng của A qua H. I là điểm trên HD. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại 
M và CD kéo dài tại N sao cho IM IN= . 
Chứng minh rằng tam giác BMN là tam giác cân 
Câu IV: 
Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 4ab bc ca abc+ + + = . 
Chứng minh rằng a b c ab bc ca+ + ≥ + + . 
 23 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2002-2003 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
Tình giá trị của biểu thức 2 2002 2003A x x= + − với 
( ) ( )
( )
27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2
13 3 13 3 : 13 2
x
+ − − − +
=
− + + +
Câu II: 
1) Cho phương trình ( )2 24 3 3 0x a x a a+ − + − + = . Gọi 1 2,x x là hai nghiệm 
của phương trình. Tìm giá trị của a để 
2 2
1 2
1 2
8
1 1 9
ax ax
x x
+ = −
− −
2) Giải hệ phương trình 
( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
8 2
16 1 5 8 4
y x x
y x x x y
 = + +

+ + = + +
Câu III: 
Cho đa giác ABCDE nội tiếp trong một đường tròn. Gọi M là giao điểm của AC 
và BD, N là giao điểm của AD và CE, các tam giác ABM, AMN, AEN, CDM, 
CDN có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng: 
1) Tứ giác CMND là hình thang cân 
2) 2 2.AB AC AE AD+ = 
Câu IV: 
Cho a, b, c là các số thực không âm và 2 2 2 1a b c+ + = . 
Chứng minh rằng 2 2a b c abc+ + ≤ + 
 24 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2003-2004 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I : 
Giải phương trình: 
( )( )
2 2 2 2 4 0
57 3 6 38 6 57 3 6 38 6
17 12 2 3 2 2 3 2 2
xy x y a x y x y xy b
a
b
− − + + + + − =
= + + + − − +
= − + − + +
Câu II: 
Hai phương trình ( ) ( )2 21 1 0; 1 0x a x x b x c+ − + = + + + = có nghiệm 
chung, đồng thời hai phương trình ( ) ( )2 21 0; 1 0x x a x cx b+ + − = + + + = cũng 
có nghiệm chung. 
Tính giá trị của biểu thức 
2004a
b c+
Câu III: 
Cho hai đường tròn ( )1O và ( )2O cắt nhau tại A và B. Đường thẳng 1O A 
cắt ( )2O tại D. Đường thẳng 2O A cắt ( )1O tại C. Qua A kẻ đường thẳng song 
song với CD cắt ( )1O tại M và cắt ( )2O tại N. Chứng minh rằng: 
1) Năm điểm 1 2, , , ,B C D O O cùng nằm trên một đường tròn. 
2) BC BD MN+ = 
Câu IV: 
Tìm các số thực x và y thỏa mãn 2 2 3x y+ = và x y+ là một số nguyên. 
 25 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2004-2005 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
1) Gọi 1 2,x x là nghiệm của phương trình 
2 2004 1 0x x+ + = và 3 4,x x là 
nghiệm của phương trình 2 2005 1 0x x+ + = . Tính giá trị của biểu thức 
( )( )( )( )1 3 2 3 1 4 2 4x x x x x x x x+ + − − 
2) Cho a, b, c, d là các số thực và 2 2 1a b+ < . Chứng minh rằng phương trình 
( ) ( )2 2 2 2 21 2 1 1 0a b x ac bd x c d+ − − + − + + − = luôn có nghiệm. 
Câu II: 
Cho hai số tự nhiên m và n thỏa mãn 
1 1m n
n m
+ +
+ là số nguyên. Chứng minh 
rằng ước chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m n+ . 
Câu III: 
Cho hai đường tròn ( )1O và ( )2O cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung của hai 
đường tròn gần B có tiếp điểm là C và D; ( ) ( )1 2;C O D O∈ ∈ . Qua A kẻ đường 
thẳng song song với CD, cắt ( )1O tại M và cắt ( )2O tại N. Đường thẳng BC, BD 
cắt đường thẳng MN tại P, Q. Đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Chứng 
minh rằng: 
1) Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 
2) Tam giác EPQ là tam giác cân 
Câu IV: 
Giải hệ phương trình 5 5
1
11
x y
x y
+ =

+ =
 26 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN 
NĂM HỌC 2005-2006 – THỜI GIAN 150 PHÚT 
Câu I: 
Rút gọn biểu thức 
( )
( )
3 2 2 2
3 2 2 2
5 1 9 3
5 1 9 3
a a a a a
A
a a a a a
− + − − + +
=
− + − − − −
Câu II: 
Chứng minh rằng 0
5 1
cos72
4
−
= 
Câu III: 
1) Cho phương trình ( )2 23 2 1 6 11 0x p x p p− − + − + = (p là tham số) 
Tìm các số hữu tỉ p để phương trình có ít nhất một nghiệm nguyên. 
2) Giải hệ phương trình 
( )
( )2 2
1
2 1 3
2
1
4 1 25
4
x y
y x
x y
xy
  
− − =  
  

  + + =   
Câu IV: 
Cho hai đường tròn ( ) ( )1 2,O O cắt nhau tại A và B. 
1) Một điểm M trên ( )1O , Qua M kể tiếp tuyến MD với ( )2O (D là tiếp 
điểm). Chứng minh rằng biểu thức 
2
.
MD
MAMB
 không phụ thuộc vào vị trí 
của M trên ( )1O . 
2) Kéo dài AB về phía B lấy điểm C. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF với 
đường tròn ( )1O (E, F là các tiếp điểm và F nằm cùng phía với ( )2O bờ 
AB). Đường thẳng BE và BF cắt đường tròn ( )2O tại P và Q. Gọi I là 
trung điểm của PQ. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thẳng hàng. 
 27 
PHẦN III 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỪ CÁC ĐỀ THI KHÁC 
 28 
Bài 1: Cho tam giác cân ( )ABC AB AC= . M là điểm chuyển động trên cạnh 
đáy BC. Dựng đường tròn thứ nhất đi qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường 
tròn thứ hai đi qua M tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn này cắt nhau tại D. 
1) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua 1 điểm cố định 
2) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí 
của M. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN – Đã cải biên) 
Bài 2: Cho 1997 số thực 1 2 1997, ,...,a a a thỏa mãn 
1 2 3 1997
2 2 2 2
1 2 3 1997
... 0
... 1997
a a a a
a a a a
+ + + + =

+ + + + =
Chứng minh rằng trong 1997 số đó bao giờ cũng tồn tại hai số có tích không 
vượt quá 1− . 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1997-1998 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC. D là một điểm trên cạnh BC. 
1) Gọi 1 2; ;O O O thứ tự làm tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; 
ABD; ADC. Chứng minh rằng 1 2OOO là tam giác cân khi và chỉ khi AD là 
phân giác 
BAC . 
2) Dựng điểm D sao cho 2ABD
ADC
S
S
= 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) 
Bài 4: Tìm các cặp số tự nhiên ( ),x y thỏa mãn phương trình: 
2 23 2 8 0x xy y− − + = 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1998-1999 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, M là điểm chuyển động trên 
nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D. 
Đường thẳng OC cắt AM tại E và đường thẳng OD cắt BM tại F. Chứng minh tứ 
giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác 
CEFD có chu vi nhỏ nhất. 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN- Đã cải biên) 
 29 
Bài 6: Tìm các số nguyên x, y, z với x y z< < thỏa mãn phương trình: 
( ) ( ) ( )4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 22 50x y z y x z z x y x y z+ + + + + + = 
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 1999-2000 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 22M x y z= + − với , ,x y z thỏa 
mãn: 
2 2
4 3 10
x y z
x y z
+ − =

+ − =
(Đề thi tuyển sinh vào THPT Chuyên Nguyễn Trãi- năm 2000-2001 – Môn Toán 
cho các lớp chuyên KHTN) 
Bài 8: Cho đường tròn ( )O và dây BC không qua tâm. A là điểm chuyển động 
trên đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. BM và CN là các đường cao của 
ta