Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 116

0 
SỞ GD_ĐT HƯNG YấN đề thi thử đại học lần II năm 201 
Trường thpt nam phù cừ Môn thi : Toán 
******** (Thời gian làm bài: 180 phút) 
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm): 
Câu I (2,0 điểm) 
Cho hàm số 
4 
2  5 3 
2 2 
x 
y x = - + 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x M = a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a 
thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. 
Câu II (2,0 điểm) 
1/ Giải phương trình: 
4 4 4 4 4 3 ( ) ( ) 4 
4 4 2 
sin x sin x cos x cos x sin x p p + + + + + = . 
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: 
a)  2 2 ( 3 ) 2 3 2 0 x x x x - - - ³ (1) 
b)  2 (6 27 ) 8.(6 27) 3 x x x+ - + + = (2) 
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I = 
1 2 
0 
(1 ) 
1 
sinx cosx 
ln dx 
sinx 
p 
+ ộ ự + 
ờ ỳ + ở ỷ 
ũ 
Câu IV (1,0 điểm) 
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, A’A = A’B = A’C và mặt phẳng (A’AB) 
vuông góc với mp(A’AC). Tính  . ' ' ' ABC A B C V . 
Câu V (1,0 điểm) 
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và  0; 
2 
x p ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  . p q T cos x sin x = 
Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 
A/ Theo chương trình Chuẩn. 
Câu VI.a (3,0 điểm) 
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đường chéo BD có phương trình: 
2 1 0 x y + + = . Điểm M nằm trên đường thẳng AD sao cho M và D nằm về hai phía so với A và AM = AC. 
Đường thẳng MC có phương trình:  1 0 x y + - = . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD. 
2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình: 
2 2 2  2 2 2 1 0 x y z x y z + + + - + - = . Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một 
đường tròn có bán kính bằng 1. 
3/ Trong các số phức z thoả mãn điều kiện:  1 2 1 z i + + =  , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. 
B/ Theo chương trình Nâng cao. 
Câu VI.b (3,0 điểm) 
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):  2 2 ( 1) ( 2) 9 x y - + - = . Tìm trên đường thẳng 
D :  9 0 x y + - = các điểm M sao cho từ M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 60 0 . 
2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng (d): 
1 
2 ( ) 
2 
x t 
y t t R 
z t 
= - ỡ 
ù = - + ẻ ớ 
ù = ợ 
Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và cắt đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến D lớn nhất. 
3/ Tìm môđun của số phức: 
3 1 2 (1 ) 
1 
i i 
z 
i 
+ - - 
= 
+ 
.
www.laisac.page.tl
1 
Biểu điểm và đáp án môn toán 
Câu Nội dung Điểm 
Câu I 
(2,0 đ ) 
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. ( 1,0 đ ) 
1) Tập xỏc định D=R 
2) Sự biến thiên 
a) Chiều biến thiên 
Ta có ( ) 3 2 ' 2 6 2 3 y x x x x = - = -  ,  ' 0 0, 3 y x x = Û = = ± 
Trên các khoảng  ( ; 3) -Ơ - và  (0; 3) ,  ' 0 y < nên hàm số nghịch biến 
Trên các khoảng  ( 3;0) - và  ( 3; ) +Ơ ,  ' 0 y > nên hàm số đồng biến 
b) Cực trị 
Tại  0 x = , hàm số đạt CĐ: 
5 
(0) 
2 CD 
y y = = 
Tại  3 x = ± , hàm số đạt CT:  ( 3) 2 CT y y = ± = - 
c) Giới hạn: :  lim ; lim 
x x 
y y 
đ-Ơ đ+Ơ 
= +Ơ = +Ơ 
d) Bảng biến thiên: 
x -Ơ  3 - 0  3 +Ơ 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y 
+Ơ 
5 
2 
+Ơ 
ư2  ư2 
3) Đồ thị 
* Điểm uốn 
Ta có  2 '' 6 6 y x = - 
'' 0 1 y x = Û = ± 
Do y’’ đổi dấu khi x đi qua  1 ± nên đồ thị có hai điểm uốn U 1 (-1;0) và U 2 (1;0) 
* Đồ thị đi qua các điểm 
3 5 3 
( 2; ), ( 3; 2), (0; ), ( 3; 2),(2; ) 
2 2 2 
- - - - - - 
* Nhận xét: 
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng 
Đồ thị cắt oy tại 
5 
(0; )
2 
C 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2/... Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại 
M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. (1,0 đ ) 
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 
Vì 
4 
2  5 ( ) ( ; 3 ) 
2 2 
a 
M C M a a ẻ ị - + 
Ta có:  3 3 ' 2 6 '( ) 2 6 y x x y a a a = - ị = - 
Vậy tiếp tuyến của (C) tại 
4 
2  5 ( ; 3 ) 
2 2 
a 
M a a - + có PT: 
4 
3 2  5 (2 6 )( ) 3 
2 2 
a 
y a a x a a = - - + - + 
+ Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M. 
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình: 
4 4 
2 3 2 2 2 2 5 5 3 (2 6 )( ) 3 ( ) ( 2 3 6) 0 
2 2 2 2 
x a 
x a a x a a x a x ax a - + = - - + - + Û - + + - = 
ờ 
ở 
ộ 
= - + + = 
= 
Û 
0 6 3 2 ) (  2 2  a ax x x g 
a x 
0,25 
0,25 
0,25
2 
Yêu cầu bài toán được thoả mãn khi: g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
± ạ 
< 
Û 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
ạ 
< - 
Û 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
ạ - = 
> - - = D 
Û 
1 
3 
1 
0 3 
0 6 6 ) ( 
0 ) 6 3 ( 
2 
2 
2 
2 2 ' 
) ( 
a 
a 
a 
a 
a a g 
a a x g 
Vậy giá trị a cần tìm là: { } ( 3; 3) \ 1 aẻ - ± 0,25 
Câu II 
(2,0 đ ) 1/ Giải phương trình: 
4 4 4 4 4 3 ( ) ( ) 4 
4 4 2 
sin x sin x cos x cos x sin x p p + + + + + = (*) (1,0 đ ) 
Ta có PT(*) Û sin 4 x + cos 4 x + sin 4 (x+ 
4 
p 
) + cos 4 (x+ 
4 
p 
)  4 
3 
4 
2 
sin x = 
Û 1 – 2sin 2 x cos 2 x + 1 – 2sin 2 (x+ 
4 
p 
).cos 2 (x+ 
4 
p 
)  4 
3 
4 
2 
sin x = 
Û 1- 
2 
1 
sin 2 2x +1 - 
2 
1 
sin 2 (2x + 
2 
p 
)  4 
3 
4 
2 
sin x = 
Û 2 - 
2 
1 
sin 2 2x - 
2 
1 
cos 2 2x  4 
3 
4 
2 
sin x = 
Û 
2 
3 
sin 4 4x = 
2 
3 
Û sin 2 4x = 1 
Û cos 4x = 0 Û 4x = 
2 
p 
+ kp Û x = 
8 
p 
+ k 
4 
p 
với k ẻ Z 
Vậy PT có các nghiệm là: x = 
8 
p 
+ k 
4 
p 
với k ẻ Z 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0 đ ) 
a)  2 2 ( 3 ) 2 3 2 0 x x x x - - - ³ (1) 
b)  2 (6 27) 8.(6 27) 3 x x x+ - + + = (2) 
a) Giải bất pt:  2 2 ( 3 ) 2 3 2 0 x x x x - - - ³ (1) 
Ta có (1) Û 
2 
2 
2 
2 3 2 0 
2 3 2 0 
( 3 ) 0 
x x 
x x 
x x 
ộ - - = 
ờ 
ờỡ - - > ù
ờớ
ờ - ³ ù ợ ở 
.... Û 
{ } [ ) 1 
1 
; 2 3; 
2 
T ổ ự ị = -Ơ - ẩ ẩ +Ơ ỗ ỳ ố ỷ 
b) Giải pt:  2 (6 27 ) 8.(6 27) 3 x x x+ - + + = (2) 
Ta có (2) Û  (6 27) 8.(6 27) 9.3 x x x - + + = 
Û 
6 27 6 27 
8. 9 
3 3 
x x 
ổ ử ổ ử - + 
+ = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Vì 
6 27 6 27 
. 1 
3 3 
ổ ử ổ ử - + 
= ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
nên đặt 
6 27 
, 0 
3 
x 
t t 
ổ ử + 
= > ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ 
PT trở thành:  2 
1 ( / ) 
8 9 1 0  1 
( / ) 
8 
t t m 
t t 
t t m 
= ộ 
ờ - + = Û 
ờ = 
ở 
Với  1 0 t x = ị = 
Với 
6 27 
3 
1 1 
log 
8 8 
t x 
+ 
= ị = 
0,25 
0,25 
0,25
3 
2  6 27 
3 
1 
0, log 
8 
T 
+ 
ỡ ỹ ù ù ị = ớ ý 
ù ù ợ ỵ 
Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên là:  6 27 
3 
1 
log 
8 
x 
+ 
= 
*Lưu ý: ở điều kiện (1) nếu thiếu TH:  2 2 3 2 0 x x - - = sẽ bị mất nghiệm x = 2. 
Nghĩa là bất PT: 
( ) 0 
( ). ( )  ( ) 0 
( ) 0 
g x 
f x g x o  g x 
f x 
ộ = 
ờ 
³ Û ỡ ờ > ù 
ớ ờ 
³ ù ờợ ở 
0,25 
Câu III 
(1,0 đ ) 
Tính tích phân: I = 
1 sin 2 
0 
(1 ) 
ln 
1 sin 
x cosx 
dx 
x 
p 
+ ộ ự + 
ờ ỳ + ở ỷ 
ũ ( 1,0 đ ) 
Ta có ũ ũ ũ + - + + + = 
2 
0 
2 
0 
2 
0 
) sin 1 ln( ) cos 1 ln( sin ) cos 1 ln( 
p p p 
dx x dx x x dx x I 
(I)1  ( I2)  (I3) 
Chứng minh: I 1 = I 3 
Đặt: 
2 
x t dx dt p = - ị = Đổi cận 
0 
2 
0 
2 
x t 
x t 
p 
p 
ỡ = ị = ù ù 
ớ 
ù = ị = 
ù ợ 
2 2 
1 
0 0 
ln(1 sin ) ln(1 sin ) I t dt x dx 
p p 
ị = + = + ũ ũ . Suy ra I 1 - I 3 = 0 
Tính: ũ + = 
2 
0 
2  ) cos 1 ln( sin 
p 
dx x x I 
Đặt:  : sin cos 1  xdx dt x t - = ị + = Đổi cận 
0 2 
1 
2 
x t 
x t p 
= ị = ỡ 
ù 
ớ 
= ị = ù ợ 
Khi đó: ũ = 
2 
1 
2  ln tdt I Đặt: 
ợ 
ớ 
ỡ 
= 
= 
dt dv 
t u  ln 
ù ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
= 
= 
t v 
dt 
t 
du 
1 
ị - =  2 1 2  ln t t I 
2 
1 
2 
1 
) ln (  t t t dt - = ũ  2 ln 2 1 = - 
Vậy:  2 2 1 I ln = - 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
4 
Câu IV 
(1,0 đ ) 
Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm tam giác ABC 
Vì A’A = A’B = A’C nên  ' ( ) A O ABC ^ do  ' AO BC AA BC ^ ị ^ 
Gọi I là hình chiếu của B trên A’A  ... ' ( ) AA BIC ị ị ^  0 90 BIC ị é = và 
2 2 
BC a 
IM = = 
Tacó: 
6 
' ( ) ' ' ... ' 
' ' 6 
MI AM a 
AA BIC AA IM A AO MAI A O 
A O AA 
^ ị ^ ị D Ơ D ị = ị ị = 
Vậy 
2 3 
. ' ' ' 
3 6 . 2 
. ' . 
4 6 8 ABC A B C ABC 
a a a 
V S A O = = = 
Kết luận 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu V 
(1,0 đ ) Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và  0; 2 
x p ộ ự ẻ ờ ỳ ở ỷ 
. Tìm GTLN của biểu thức: 
. p q T cos x sin x = 
Vì  0 T ³  0; 
2 
x p ộ ự " ẻ ờ ỳ ở ỷ 
, nên T đạt GTLN khi  2 2 2 ( ) .( ) p q T cos x sin x = lớn nhất 
Xét hàm số: 
2 2 ( ) .( ) p q y cos x sin x = với  0; 
2 
x p ộ ự " ẻ ờ ỳ ở ỷ 
. Đặt t =  2 cos x , xét hàm số: 
( ) (1 ) p q f t t t = - với [ ] 0;1 tẻ 
Ta có [ ] 1 1 '( ) (1 ) ( ). p q f t t t p p q t - - = - - + 
'( ) 0 
p 
f t t 
p q 
= Û = 
+ 
hoặc t = 0 hoặc t = 1 
Bảng biến thiên: 
t 0  p 
p q + 
1 
f’(t) 0 + 0 - 0 
f(t) 0 0 
Nhìn vào BBT ta thấy 
[ ] 0;1 
( ) ( ) ( ) p q 
p q p 
max f t t 
p q p q p q 
= Û = 
+ + + 
Từ đó 
[ ] 0;1 
( ) ( ) p q 
p q q 
max y x arctan 
p q p q p 
= Û = 
+ + 
Kết luận... 
* Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi) 
0,25 
0,25 
0,25 
B 
A 
B 
C 
M 
I 
A  C 
( ) maxf t
5 
0,25 
Câu VIa 
(3,0 đ ) 
1) ....Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành ABCD (1,0 đ ) 
Vì  ( ;1 ) C MC C t t ẻ ị - . Giả sử AC BD I ầ = 
1 3 
( ; ) 
2 2 
t t 
I 
+ - 
ị 
Do  ... 7 ( 7;8), ( 3;5) I BD t C I ẻ ị ị = - ị - - 
Vì  AMC ACM MCB é = é = é ị MC là phân giác trong  ACB é của tam giác ABC 
Từ A kẻ  1 1 1 1 ( ). / ... (0;1) ( 1;0) AA MC A BC G s AA MC J J A ^ ẻ ầ = ị ị ị - 
PT của BC:  4 3 4 0 x y + + = 
Ta có 
1 13 
... ( ; 2) ( ;12) 
2 2 
B BC BD B D = ầ ị ị - ị - 
Vậy 
1
( ; 2) 
2 
B - ,  ( 7;8) C - , 
13 
( ;12) 
2 
D - 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
2) V iết ptmp(P) đi qua A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1. (1,0 đ ) 
Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2 
Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ  2 2 2 ( , , ) , ( 0) n a b c a b c + + ạ 
r 
làm véctto pháp tuyến 
có PT:  2 6 0 ax by cz b c + + + + = 
Từ giả thiết: 
(2;0; 2) ( ) 
... 
( ;( )) 3 
B P 
d I P 
- ẻ ỹ ù ị ị ý 
= ù ỵ 
tìm được a, b, c suy ra PT mp(P) 
Kết luận có hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y – z – 4 = 0 và (P 2 ): 7x – 17y + 5z – 4 = 0 
0,25 
0,5 
0,25 
3/ Trong các số phức z thoả mãn đ/k:  1 2 1 z i + + =  (*) tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (1,0 đ ) 
Gọi z = x + yi , (  , x y R ẻ ) và M(x ; y ) l  điểm biểu diễn số phức z. 
Ta có :  2 2 1 2 1 ( 1) ( 2) 1 z i x y + + = Û + + + = 
Đường trũn (C) :  2 2 ( 1) ( 2) 1 x y + + + =  cú tõm (ư1;ư2) 
Đường thẳng OI cú phương trỡnh y =  2x 
Số phức z thỏa món điều kiện (*) và cú mụdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn nú thuộc (C) và 
gần gốc tọa độ O nhất, đú chớnh là một trong hai  giao điểm của đường thẳng OI và (C) 
Khi đú tọa độ của nú thỏa món hệ 
2 2 
1 1 
1 1 
2  5 5 
, 
2 2 ( 1) ( 2) 1  2 2 
5 5 
x x 
y x 
x y  y y 
ỡ ỡ = - - = - + ù ù = ỡ ù ù Û ớ ớ ớ 
+ + + = ợ ù ù = - - = - + 
ù ù ợ ợ 
Dễ dàng kiểm tra được z = 
1 2 
1 ( 2 ) 
5 5 
i - + + - + là số phức thoả mãn yêu cầu bài toán. 
0,25 
0,5 
0,25 
Câu VIb 
(3,0 đ ) 
1/ Tìm trên đường thẳng (d):  9 0 x y + - = các điểm M sao cho từ M kẻ được tới (C) hai tiếp 
tuyến tạo với nhau một góc 60 0 . (1.0 đ ) 
Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3 
Vì  ( ; 9) M M m m ẻ D ị - + 
Giả sử từ M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm 
Xét hai trường hợp : 
a)  0 30 IMB é = 
Ta có : 
0 
6 
30 
IB 
IM 
sin 
= = 
0,25 
0,25
6 
Chú ý : 
+ Trên đây chỉ là biểu điểm chấm và đáp án vắn tắt, trong bài làm thí sinh phải trình bày lời giải đầy 
đủ, chi tiết. 
+ Nếu thí sinh làm theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm theo quy định. 
+ Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25. 
Từ đẳng thức : IM = 6  2  1 2 
1 
2 16 14 0 (1;8), (7;2) 
7 
m 
m m M M 
m 
= ộ 
ị - + = Û ị ờ = ở 
b)  0 60 IMB é = 
Trường hợp này không có giá trị nào của m thoả mãn 
Kết luận : Vậy có hai điểm  1 2 (1;8), (7;2) M M thoả mãn yêu cầu bài toán. 
0,25 
0,25 
3/ Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và ( 1,0 đ ) 
Giả sử D cắt d tại M nên  (1 ; 2 ;2 ) M t t t - - + 
Ta có 
2 
2 
28 152 208 
( , ) 
3 10 20 
t t 
d B 
t t 
- + 
D = 
- + 
Xét hàm 
2 2 
2 2 2 
28 152 208 16(11 8 60) 
( ) '( ) 
3 10 20 (3 10 20) 
t t t t 
f t f t 
t t t t 
- + - - 
= ị = 
- + - + 
2 
28 
'( ) 0 , ( ) 30 
3 
11 
t 
t 
f t lim f t 
t đ±Ơ 
= - ộ 
ờ = Û = 
ờ = 
ở 
BBT ... 
Từ BBT ta thấy  ( ) 12 2 ( , ) 12 2 max maxf t t d B t = Û = - ị D = Û = - 
Khi đó đường thẳng D có PT: 
1 4 2 
1 4 3 
x y z - - - 
= = 
- - 
0,25 
0,25 
0,5 
3/ Tìm môđun của số phức: 
3 1 2 (1 ) 
1 
i i 
z 
i 
+ - - 
= 
+ 
(1,0 đ ) 
Ta có : 
3 2 3 1 2 (1 ) 1 2 (1 3 3 ) 
1 1 
i i i i i i 
z 
i i 
+ - - + - - + - 
= = 
+ + 
, do  2 3 1, i i i = - = - 
nên 
3 4 7 1 
1 2 2 
i 
z i 
i 
+ 
= = + 
+ 
Vậy 
2 2 
7 1 5 2 
2 2 2 
z ổ ử ổ ử = + = ỗ ữ ỗ ữ 
ố ứ ố ứ 
Kết luận 
5 2
2 
z = 
0,5 
0,5