Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 118

SỞ GD & ĐT THANH HÓA 
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN 
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 
MÔN: TOÁN; KHỐI: A 
(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) 
Câu I (2 điểm) Cho hàm số ( ) 3  3 2  m y x mx C = - + 
1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( ) 1 C 
2.  Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của ( ) m C  cắt đường tròn tâm 
( ) 1;1 , I  bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất 
Câu II (2 điểm) 
1.  Giải phương trình ( )  2 2cos3 cos 3 1 sin 2 2 3 os 2 
4 
x x x c x p æ ö + + = + ç ÷ 
è ø 
2.  Giải phương trình ( ) 2 2 2 1 5 2 4 x x x + = - + 
Câu III (1 điểm) Tính tích phân ò ÷ ÷ 
ø 
ö 
ç ç 
è 
æ 
+ 
+ 
= 
e 
dx x x 
x x 
x 
I 
1 
2 ln 3 
ln 1 
ln 
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A,  2 AB a =  . Gọi I là trung 
điểm của cạnh BC. Hình chiếu vuông góc H của S lên mặt phẳng (ABC) thỏa mãn  2 IA IH = - 
uur uuur 
. Góc giữa SC và 
mặt đáy (ABC) bằng  0 60  . Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt 
phẳng (SAH). 
Câu V (1 điểm) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn  2 2 2  1 a b c + + =  . 
Chứng minh rằng 
5 3 5 3 5 3 
2 2 2 2 2 2 
2 2 2 2 3
3 
a a a b b b c c c 
b c c a a b 
- + - + - + 
+ + £ 
+ + + 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao 
điểm của đường thẳng  : 3 0 d x y - - =  và  ' : 6 0 d x y + - =  . Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với trục 
Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
2.   Trong không  gian với  hệ  trục  tọa độ Oxyz cho  hai điểm  (0; 1;2) M -  và  ( 1;1;3) N -  . Viết  phương 
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ ( ) 0;0; 2 K  đến (P) đạt giá trị lớn nhất 
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho khai triển ( ) 
0 
n 
n  k n k k 
n 
k 
a b C a b - 
= 
+ = å  . Quy ước số hạng thứ i của khai triển  là số hạng 
ứng với k = i­1. 
Hãy tìm các giá trị của x biết rằng số hạng thứ 6 trong khai triển 
8 1  1 3  1  log 3 1 log 9 7  2 5 2 2 2 
x x æ ö ç ÷ 
è ø 
- - - + + 
+ 
æ ö 
ç ÷ 
ç ÷ 
è ø 
là 224. 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2,0 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB và đường 
chéo BD lần lượt là  2 1 0 x y - + =  và  7 14 0 x y - + =  , đường thẳng AC đi qua điểm ( ) 2;1 M  . Tìm tọa độ các 
đỉnh của hình chữ nhật. 
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm ( ) ( ) ( ) 2;3;1 , 1; 2;0 , 1;1; 2 A B C - -  . Tìm tọa độ 
trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải bất phương trình ( ) 2 2 3log 2 9log 2 x x x - > - 
www.laisac.page.tl
SỞ GD & ĐT THANH HÓA 
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN 
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN; KHỐI: A 
(Thời gian làm bài 180’ không kể thời gian phát đề) 
Câu  Nội dung  Điểm 
1.(1,0 điểm) 
Hàm số (C1) có dạng 
3  3 2 y x x = - + 
· Tập xác định: ¡ 
·  Sự biến thiên 
­  lim , lim 
x x 
y y 
®-¥ ®+¥ 
= -¥ = -¥ 
0,25 
­ Chiều biến thiên:  2 ' 3 3 0 1 y x x = - = Û = ± 
Bảng biến thiên 
X -¥  ­1  1 +¥ 
y’  +  0  ­  0  + 
4 +¥ 
Y 
-¥  0 
0,25 
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) ; 1 , 1; -¥ - +¥  , nghịch biến trên khoảng 
(­1;1) 
Hàm số đạt cực đại tại  1, 4 CD x y = - =  . Hàm số đạt cực tiểu tại  1, 0 CT x y = = 
0,25 
· Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm điểm uốn 
f (x)=x^3 ­3x+2 
­2  ­1  1  2 
­1 
1 
2 
3 
4 
x 
y 
0,25 
2.(1,0 điểm) 
Ta có  2 ' 3 3 y x m = - 
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình  ' 0 y =  có hai nghiệm phân biệt  0 m Û > 
0,25 
Vì 
1 
. ' 2 2 
3 
y x y mx = - +  nên đường thẳng D  đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có phương 
trình là  2 2 y mx = - + 
0,25 
Ta có ( ) 
2 
2 1 
, 1 
4 1 
m 
d I R 
m 
- 
D = < = 
+ 
(vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng D  luôn cắt đường tròn tâm 
I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt 
Với 
1 
2 
m ¹  , đường thẳng D  không đi qua I, ta có:  2 
1 1 1 
. .sin 
2 2 2 ABI 
S IA IB AIB R D = £ = 
0,25 
I 
(2điểm) 
Nên  IAB S D  đạt  giá  trị  lớn  nhất  bằng  ½  khi  sinAIB  =  1  hay  tam  giác  AIB  vuông  cân  tại 
I 
1 
2 2 
R 
IH Û = =  (H là trung điểm của AB) 
2 
2 1  1 2 3 
2 2 4 1 
m 
m 
m 
- ± 
Û = Û = 
+ 
0,25 
1.(1,0 điểm) 
Đặt ( ) 2 2 4 2 2 4 2 2 t x x t x x = + Þ = +  ta được phương trình  0,25 
2 
2  4 1 5 2 8 0 
2 2 
t t 
t t t 
t 
= - é 
+ = - Û + - = Û ê = ë 
0,25 
II 
(2điểm) 
Với  4 t = -  ta có
( ) 
0  0 0 2 2 4 4 2 4 2  4 2 2 2 2 16  2 8 0 2 
x  x x 
x x x 
x x  x x x 
< < < 
+ = - Û Û Û Û = - 
+ = + - = = 
ì ì ì ï 
í í í 
î î ï î 
0,25 
Với  2 t =  ta có 
( ) 
2 
4 2  4 2  2 
0  0 0 
2 4 2 3 1 
2 2 4  2 2 0  3 1 
x  x x 
x x x 
x x  x x  x 
> ì > > ì ì ï ï + = Û Û Û Û = - í í í + = + - = = - ï î ï î î 
0,25 
ò ò + + = 
e 
1 
2 
e 
1 
xdx ln x 3 dx 
x ln 1 x 
x ln 
I  =I1+3I2 
+) Tính ò + = 
e 
dx 
x x 
x 
I 
1 
1 
ln 1 
ln 
. 
Đặt  2 
1 
1 ln 1 ln ; 2 t x t x tdt dx 
x 
= + Þ = + = 
Khi 2 t e x ; 1 t 1 x = Þ = = Þ = 
0,25 
( ) ( ) ( ) 
2 2  3 1  2 2 2 2 2  2 .2 2 1 2 1  3 3 1 1 
1 
t  t 
I tdt t dt t 
t 
- - 
Þ = = - = - = ò ò 
æ ö 
ç ÷ ç ÷ 
è ø 
0,25 
+) TÝnh dx x ln x I 
e 
1 
2 
2 ò =  . §Æt 
ï 
ï 
î 
ï ï 
í 
ì 
= 
= 
Þ 
î 
í 
ì 
= 
= 
3 
x 
v 
x 
dx 
du 
dx x dv 
x ln u 
3 2 
+ 
Þ = - = - = - + = ò 
e 3 3 3 3 3 3 
e 2 e 
2 1 1 
1 
x 1 e 1 x e e 1 2e 1 
I . ln x x dx . 
3 3 3 3 3 3 9 9 9 
0,25 
III 
(1điểm) 
= + = 2 1 I 3 I I 3 
e 2 2 2 5 3 + - 
0,25 
IV 
(1điểm) 
*Ta có  2 IA IH = - Þ 
uur uuur 
H thuộc tia đối của tia IA và  2 IA IH = 
2 2 BC AB a = =  Suy ra 
3 
, 
2 2 
a a 
IA a IH AH IA IH = = Þ = + = 
0,25 
S 
H 
C 
A 
B 
I 
K .
Ta có 
5 2 2 2 0 2 . . cos 45 
2 
a 
HC AC AH AC AH HC = + - Þ = 
Vì ( ) ( ) ( )  15 0 0 , 60 . tan 60 
2 
a 
SH ABC SC ABC SCH SH HC ^ Þ = Ð = Þ = = 
0,25 
Ta có 
5 2 2 2 0 2 . . cos 45 
2 
a 
HC AC AH AC AH HC = + - Þ = 
Vì ( ) ( ) ( )  0 0  15 , 60 .tan 60 
2 
a 
SH ABC SC ABC SCH SH HC ^ Þ = Ð = Þ = = 
0,25 
Thể tích khối chóp S.ABCD là: ( ) 
3 
. 
1 15 
. 
3 6 S ABC ABC 
a 
V S SH dvtt D = = 
0,25 
* ( ) 
BI AH 
BI SAH 
BI SH 
^ ì 
Þ ^ í ^ î 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
,  1 1 1 
, , 
2 2 2 2 , 
d K SAH  SK a 
d K SAH d B SAH BI 
SB d B SAH 
Þ = = Þ = = = 
0,25 
Do a, b, c > 0 và  2 2 2  1 a b c + + =  nên ( ) , , 0;1 a b cΠ
Ta có 
( ) 2 2 5 3  1 2  3 
2 2 2 1 
a a a a a 
a a 
b c a 
- - + 
= = - + 
+ - 
Bất đẳng thức trở thành ( ) ( ) ( )  2 3 3 3 3 
3 
a a b b c c - + + - + + - + £ 
0,5 
V 
(1điểm) 
Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 3  0;1 f x x x x = - + Π . Ta có: 
( ) 
( ) 
0;1 
2 3 
ax 
9 
M f x = 
( ) ( ) ( )  2 3
3 
f a f b f c Þ + + £ 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c= 
1 
3 
0,5 
1.(1,0 điểm) 
Tọa dộ giao điểm I của d  và d’ là nghiệm của hệ phương trình 
9 
3 0  9 3 2  ; 
6 0 3  2 2 
2 
x x y 
I 
x y 
y 
ì = ï - - = ì ï æ ö Û Þ í í ç ÷ + - = è ø î ï = 
ï î 
Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD ( ) Ox 3;0 M d M Þ = Ç Þ 
0,25 
Ta có:  2 3 2 AB IM = = 
Theo giả thiết  . 12 2 2 ABCD S AB AD AD = = Þ = 
Vì I, M thuộc d  : 3 0 d AD AD x y Þ ^ Þ + - = 
0,25 
Lại có  2 MA MD = = Þ tọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình 
( ) 
( ) ( ) 2  2 
3 0  2 4 
2;1 ; 4; 1 
1 1 3 2 
x y  x x 
A D 
y y x y 
+ - = ì = = ì ì ï Û Ù Þ - í í í = = - - + = î î ï î 
0,25 
Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2) 
TT: I là trung điểm của BD nên B(5; 4)  0,25 
2.(1,0 điểm) 
VIa 
(2điểm) 
Gọi ( ) , , n A B C = 
r 
( ) 2 2 2  0 A B C + + ¹  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). 
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng;  0,25
( ) ( ) 1 2 0 2 0 Ax B y C z Ax By Cz B C + + + - = Û + + + - = 
( ) ( ) 1;1;3 3 2 0 2 N P A B C B C A B C - Î Û - + + + - = Û = + 
( ) ( ) : 2 2 0 P B C x By Cz B C Þ + + + + - = 
0,25 
Khoảng cách từ K đến mp(P) là: 
( ) ( ) , 
2 2 4 2 4 
B 
d K P 
B C BC 
= 
+ + 
­Nếu B = 0 thì d(K,(P))=0 (loại) 
­Nếu  0 B ¹  thì 
( ) ( ) 
2 2 2 
1 1 
, 
2 4 2 4 
2 1 2 
B 
d K P 
B C BC  C 
B 
= = £ 
+ + æ ö + + ç ÷ 
è ø 
0,25 
Dấu “=” xảy ra khi B = ­C. Chọn C = 1 
Khi đó pt (P): x + y – z + 3 = 0  0,25 
Ta có ( ) ( ) ( ) 
1 
3  1  2 
2 
1 1 1 
log 3 1 log 9 7  1 1 5 3 5 2 9 7 ,2 3 1 
x 
x  x x 
- 
- - + - + - - = + = +  0,25 
Số hạng thứ 6 của khai triển ứng với k = 5 là 
( ) ( ) ( )( ) 
3 5 1 1 
1 5 1 1 1 1 3 5 
8  9 7 . 3 1 56 9 7 3 1 
x x x x C 
- - - - - - é ù é ù + + = + + ê ú ê ú 
ë û ë û 
0,25 
VIIa 
(1điểm) 
Treo giả thiết ta có 
( )( )  1 1 1 
1 
1 
56 9 7 3 1 224 
9 7 
4 
3 1
1 
2 
x x 
x 
x 
x 
x 
- - - 
- 
- 
+ + = 
+ 
Û = 
+ 
= é 
Û ê = ë 
0,5 
1.(1,0 điểm) 
Do B là giao của AB và BD nên tọa độ của B là nghiệm hệ phương trình: 
21 
2 1 0  21 13 5  ; 
7 14 0 13  5 5 
5 
x x y 
B 
x y 
y 
ì = ï - + = ì ï æ ö Û Þ í í ç ÷ - + = è ø î ï = 
ï î 
0,25 
Lại có ABCD là hình chữ nhật nên ( ) ( ) , , AC AB AB BD =  . 
Kí hiệu ( ) ( ) ( ) 1; 2 , 1; 7 , , AB BD AC n n n a b = - = - = 
uuur uuur uuur 
lần  lượt  là  vtpt  của  các  đường  thẳng AB, BD, 
AC 
Khi đó ta có: ( ) ( )  2 2 3 cos , cos , 2 
2 
AB BD AC AB n n n n a b a b = Û - = + 
uuur uuur uuur uuur 
2 2 7 8 0 
7 
a b 
a ab b  b 
a 
= - é 
ê Û + + = Û 
ê = - 
ë 
0,25 
VIb 
(2điểm) 
Với a = ­b. chọn a= 1, b = ­1. Khi đó phương trình AC: x – y – 1 = 0 
A AB AC = Ç  nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ( ) 1 0 3  3;2 
2 1 0 2 
x y x 
A 
x y y 
- - = = ì ì 
Û Þ í í - + = = î î 
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì  I AC BD = Ç  nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 
0,25
7 
1 0  7 5 2  ; 
7 14 0 5  2 2 
2 
x x y 
I 
x y 
y 
ì = ï - - = ì ï æ ö Û Þ í í ç ÷ - + = è ø î ï = 
ï î 
Do I là trung điểm của AC và BD nên ( )  14 12 4;3 , ; 
5 5 
C D æ ö ç ÷ 
è ø 
Với b = ­7a loại vì AC không cắt BD 
0,25 
2.(1,0 điểm) 
H ( ) ; ; x y z  là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi ( ) , , BH AC CH AB H ABC ^ ^ Î 
( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
2 
15 . 0  1 2 2 3 0 
29 
. 0 3 1 1 2 0 
15 
2 8 3 5 1 0 , 0  1 
3 
2 29 1 
; ; 
15 15 3 
x 
BH AC  x y z 
CH AB x y z y 
x y z AH AB AC 
z 
H 
= 
= + + - + = 
Û = Û - + - + + = Û = 
- - - + - = = 
= - 
Þ - 
ì 
ï ì ì ï ï ï ï ï 
í í í 
ï ï ï é ù î ï ï ë û î 
ï î 
æ ö 
ç ÷ 
è ø 
uuur uuur 
uuur uuur 
uuur uuur uuur  0,5 
I ( ) ; ; x y z  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi ( ) , AI BI CI I ABC = = Î 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
2 2 2 2 2  2 2 2 
2 2 2 2 2 2 2 2 
2 3 1 1 2 
1 1 2 1 2 
2 8 3 5 1 0 , 0 
x y z x y z AI BI 
CI BI x y x y z 
x y z AI AB AC 
ì ì - + - + - = + + - + = ï ï ï ï Û = Û - + - + + = + + - + í í 
ï ï é ù - - - + - = = ï ï ë û î î 
uur uuur uuur 
14
15 
61 14 61 1 
, , 
30 15 30 3 
1 
3 
x 
y I 
z 
ì = ï 
ï 
ï æ ö Û = Þ - í ç ÷ 
è ø ï 
ï = - ï î 
0,5 
Điều kiện x > 0 
Bất phương trình ( ) ( ) ( ) 2 3 3 log 2 1 1 x x x Û - > - 
Nhận thấy  x = 3 không phải là nghiệm của phương trình (1) 
0,25 
TH1: Nếu x > 3 thì ( )  2 
3 1 
1 log 
2 3 
x 
x 
x 
- 
Û > 
- 
Xét hàm số ( )  2 
3 
log 
2 
f x x =  , hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 0;+¥ 
( )  1 
3 
x 
g x 
x 
- 
= 
- 
, hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 3;+¥ 
0,25 
+ Với x> 4 thì ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 f x f g g x > = = > 
Suy ra bất phương trình có nghiệm x > 4 
+ Với  4 x £  thì ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 4 f x f g g x £ = = £ Þ bất phương trình vô nghiệm 
0,25 
VIIb 
(1điểm) 
TH2: Nếu x < 3 thì ( )  2 
3 1 
1 log 
2 3 
x 
x 
x 
- 
Û < 
- 
+ Với x³  1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 f x f g g x ³ = = ³ Þ bất phương trình vô nghiệm 
+ Với x < 1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 f x f g g x < = = < Þ Bất phương trình có nghiệm 0 < x <1 Vậy bất 
phương trình có nghiêm 
0,25