Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 271

EBOOTOAN.COM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 
 SỐ 9 Môn thi : TOÁN 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) (Cho tất cả các thí sinh) 
Câu 1 (2đ) Cho hàm số: y = 2x3 - 3x2 + 1 (1) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) 
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ 
bằng 8. 
Câu 2 (2đ) 1. Giải hệ phương trình: 





+=
−=−
2
2
3
19
1218
yxy
xxy
2. Giải phương trình: 9x + ( x - 12).3x + 11 - x = 0 
Câu 3 (1đ) Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và khoảng cách giữa cạnh 
bên và cạnh đáy đối diện bằng m. 
Câu 4 (1đ) Tính tích phân: ∫ ++−=
2
2
0
)]4ln()2([ dxxxxI 
Câu 5 (1đ) Cho tam giác ABC, với BC = a, CA = b, AB = c. 
Thoả mãn hệ điều kiện: 




=+
=+
2
2
)(
)(
cabb
bcaa
 CMR: 
CBA sin
1
sin
1
sin
1
+= 
II. PHẦN RIÊNG (3đ) (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần) 
Theo chương trình chuẩn: 
Câu 6a (2đ) 
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường thẳng (d): 3x - 4y + 5 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 
6y + 9 = 0 
Tìm những điểm M ∈(C) và N ∈ (d) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 
2. Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: 
(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 
(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d): 3
4
21
2 −
=
−
=
−
+ zyx
Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2). 
Câu 7a (1đ) Đặt: (1 - x + x2 - x3)4 = a0 + a1x + a2x2 + ... + a12x12. 
Tính hệ số a7. 
Theo chương trình nâng cao 
Câu 6b (2đ) 
1. Trong mặt phẳng (oxy) cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 và điểm 
M 





5
7
,
5
1
. Tìm trên (C) những điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 
2. Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0 và mặt phẳng 
(P): x - 2y + 2z - 3 = 0. 
Tìm những điểm M ∈ (S), N ∈(P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 
Câu 7b (1đ) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số: 
x
xx
xf 2131)(
3 +−+
= khi x ≠ 0, và 0)0( =f ; tại điểm x0 = 0. 
toi la do
HƯỚNG DẪN 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) ĐIỂM 
Câu 1 (2đ) y = 2x3 - 3x2 + 1 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 
* TXĐ: R 
* Sự biến thiên: + Giới hạn: 
−∞→x
ylim = ∞− , 
−∞→x
ylim = ∞+ 0,25đ 
 + Bảng biến thiên: y’ = 6x2 - 6x = 6x (x - 1) 
 y' = 0 


==
==
⇔ )0(;1
)1(;0
yx
yx
 0,25đ 
Lập BBT; nêu đúng các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị 0,25đ 
* Đồ thị: (tự vẽ), rõ ràng, đầy đủ, chính xác. 0,25đ 
2) Tìm M ∈ (C) ? 
Giả sử M (x0; y0) ∈(C) ⇒y0 = 2x03 - 3x02 + 1 
Tiếp tuyến ( ∆ ) của (C) tại M: 
y = (6x02 - 6x0) (x - x0) + 2x03 - 3x02 + 1 0,25đ 
( ∆ ) đi qua điểm P(0 ; 8) ⇔ 8 = -4x03 + 3x02 + 1 
⇔ (x0 + 1) (4x02 - 7x0 + 7) = 0 0,25đ 
⇔ x0 = -1 ; (4x02 - 7x0 + 7 > 0, ∀ x0) 0,25đ 
Vậy, có duy nhất điểm M (-1 ; -4) cần tìm. 0,25đ 
Câu 2 (2đ) 
1) Giải hệ: 





≥⇒≥⇒+=
≤⇒≥−⇒−=−
3232
3
19
320121218
2
22
xyyxyxy
xxxxy
 0,25đ 
 1832 =⇒=⇒ xyx 0,25đ 
{ }32;32−∈⇒ x , tương ứng y { }33;33−∈ 0,25đ 
Thử lại, thoả mãn hệ đã cho 
Vậy, ( ) ( ) ( ){ }33;32,33;32; −−∈yx 0,25đ 
2) Giải phương trình: ( ) ( ) 0113123 2 =−+−+ xx xx 




−=
=
⇔
xx
x
113
13
 


=−+=
=
⇔ (*)0113)(
0
xxf
x
x
 (a + b + c = 0) 0,5đ 
(*)
0)2(
,013ln3)('
⇒



=
∀>+=
f
xxf x
 có nghiệm duy nhất x = 2 0,25đ 
Vậy, tập nghiệm của phương trình: S = {0 ; 2} 0,25đ 
Câu 3 (1đ) S 
 N 
 A C 
toi la do
M O 
 B 
SO ⊥ (ABC) 
S.ABC chóp ∆ đều ⇒ O là tâm tam giác đều ABC. 
MBCAO =∩ ⇒ )(SAMBC
BCSO
BCAM
⊥⇒



⊥
⊥
Trong ∆ SAM kẻ đường cao MN ⇒MN = m 
2
3
2
3
360sin2 0
aAOAMaaAO ==⇒== 0,25đ 
3
SOSAhSO
2
222 ahAO +=+=⇒= 
SA.MN = SO.AM ( ) 22222
3
443 mahma =−⇔ 






< am
2
3
 0,25đ 
22 433
2
ma
amh
−
=⇔ ; và S(ABC) = 4
3
a2 0,25đ 
22
3
436
).(
3
1
ma
mahABCSV
−
== 







< am
2
3
 0,25đ 
Câu 4 (1đ) Tính tích phân 
∫ −=
2
0
)2( dxxxI + ∫ +
2
0
2 )4ln( dxx = 21 II + 
∫∫ =−−=−=
2
0
2
2
0
1 2
)1(1)2( pidxxdxxxI (sử dụng đổi biến: tx sin1+= ) 0,25đ 
∫∫ +
−+=+=
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2 4
2|)4ln()4ln( dx
x
x
xxdxxI (Từng phần) 0,25đ 
 42ln6 −+= pi (đổi biến tx tan2= ) 0,25đ 
2ln64
2
3
21 +−=+=
piIII 0,25đ 
Câu 5 (1đ) 
∆ ABC: 




=+
=+
)2()(
)1()(
2
2
cabb
bcaa
(1) ⇒ sin2A + sinAsinC = sin2B (Đl sin) 
 ⇒ sinAsinC = 
2
1 (cos2A - cos2B) 
 ⇒ sinAsinC = sin(A + B) sin (B -A) 
 ⇒ sinA = sin (B - A) ; (sin (A + B) = sin C > 0) 
 ⇒A = B - A ; (A, B là góc của tam giác) 
 ⇒ B = 2A 0,25đ 
toi la do
Tương tự: (2) ⇒C = 2B 
A + B + C = pi , nên A = 
7
pi
 ; B = 
7
2pi
 ; C = 
7
4pi
 0,25đ 
Ta có: 
CB sin
1
sin
1
+ = 
7
3
sin
7
cos
7
sin2
7
cos
7
3
sin2
7
4
sin
7
2
sin
7
2
sin
7
4
sin
pipipi
pipi
pipi
pipi
=
+
 0,25đ 
 = 
Asin
1
7
sin
1
=
pi
 (đpcm) 0,25đ 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
Chương trình cơ bản 
Câu 6a (2đ) 
1) Tìm M ∈ (C), N ∈ (d)? 
(d): 3x - 4y + 5 = 0 
(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 ⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 
d (I ; d) = 2 ⇒ (d) ∩ (C) = Ø 
Giả sử tìm được N0 ∈ (d) ⇒ N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (d) 
⇒ N0 = (d) ( )∆∩ , với: ( )( ) ( )

−=⇒⊥∆
−∋∆
∆ 4;3)(
)3;1(
ud
I
 0,25đ 
( ) 





⇒



−=
+−=
∆⇒
5
7
;
5
1
43
31
: 0Nty
tx
 0,25đ 
Rõ ràng ( )∩∆ (C) = {M1; M2} ; M1 





−
5
11
;
5
2
 ; M2 





−
5
19
;
5
8
M0 ∈ (C) để M0N0 nhỏ nhất ⇒ M0 ≡ M1 và M0N0 = 1 0,25đ 
Kết luận: Những điểm cần tìm thoả mãn điều kiện bài toán. 
M 





−
5
11
;
5
2
 ; N 





5
7
;
5
1
 0,25đ 
2) Phương trình mặt cầu (S) ? 
(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 
(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 
Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) ∈ (d): 3
4
21
2 −
=
−
=
−
+ zyx
⇒ I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S) 0,25đ 
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2)) 
⇔ 


−=
−=
⇔+=+
1
13
1610
3
139
3
1
t
t
tt 0,25đ 
⇒ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; 2 ; 1) 
⇒R1 = 38 ; R2 = 2 0,25đ 
toi la do
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: 
(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 
(S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22 0,25đ 
Câu 7a (1đ) Tính hệ số a7 ? 
(1 - x + x2 - x3)4 = (1 - x)4 (1 + x2)4 0,25đ 
= ( ) 











− ∑∑
==
4
0
2
4
4
0
41
i
ii
k
kkk
xCxC 0,25đ 
(Gt) { } ( ) ( ) ( ){ }2;3,3;1;4,3,2,1,0,
72
∈⇒



∈
=+
⇒ ik
ik
ik
 0,25đ 
4024
3
4
3
4
1
47 −=−−=⇒ CCCCa 0,25đ 
Chương trình nâng cao 
Câu 6b (2đ) 
1) Tìm N ∈ (C)? 
(C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 1 
⇒ Tâm I (-1 ; 3), bán kính R = 1 ; M 





5
7
;
5
1
2
5
8
;
5
6
=⇒





−= MIIM 0,25đ 
Giả sử tìm được N ∈ (C) ⇒ MN ≤ MI + IN = 3 0,25đ 
Dấu “=” xảy ra ⇔ N là giao điểm của tia đối IM và đường tròn (C). 
(IM): 






−=
+−=
ty
tx
5
83
5
61
 ; ( ) ( ) { }21; NNCIM =∩ 






−⇒
5
11
;
5
2
1N , 





−
5
19
;
5
8
2N ; MN1 < MN2 0,25đ 
Kết luận: Thoả mãn điều kiện bài toán: 





−
5
19
;
5
8N 0,25đ 
2) Tìm M ∈ (S) , N ∈ (P) ? 
(S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1 
Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1 
(P): x - 2y + 2z - 3 = 0 ⇒ d ( )( )PI ; = 2 Ø)()( =∩⇒ SP 
Giả sử tìm được N0 ∈ (P)⇒N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ 
( ) ( )PdN ∩=⇒ 0 , với: ( )




−=⇒⊥
−∋
)2;2;1()()(
)1;2;1(
duPd
Id
( )





+=
−=
+−=
⇒
tz
ty
tx
d
21
22
1
: 





−⇒
3
7
;
3
2
;
3
1
0N 0,25đ 
=∩ )()( Sd {M1 ; M2} 
toi la do






−⇒
3
5
;
3
4
;
3
2
1M , 





−
3
1
;
3
8
;
3
4
2M 0,25đ 
M1M0 = 1 < M2M0 = 3 
M0 ∈ (S) để M0N0 nhỏ nhất ⇒ M0 ≡ M1 
Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán. 






−
3
5
;
3
4
;
3
2M , 





−
3
7
;
3
2
;
3
1N 0,25đ
Câu 7b (1đ) 
Đạo hàm bằng định nghĩa: 
x
fxf
x
)0()(lim
0
−
→
 = 2
3
0
2131lim
x
xx
x
+−+
→
 0,25đ 
= 2
3
0
21)1()1(31lim
x
xxxx
x
+−+++−+
→
 0,25đ 
= ( ) ( ) xxxxxx
x
xx 21)1(
1lim
1311)31(
3lim
0233 20 +++
+
++++++
+
−
→→
 0,25đ 
= -1 + 
2
1
 = -
2
1
. Vậy, 
2
1
' )0( −=f 0,25đ 
toi la do