Tuyển tập Đề thi thử Đại học có đáp án môn Toán - Đề số 81

SỎ GD&ĐT THÁI NGUYÊN  MÔN TOÁN­ KHỐI D– NĂM 2010 ­ 2011 
THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN  (Thời gian làm bài 180 phút­không kể thời gian phát đề) 
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 
Câu I: (2 điểm)  Cho hàm số : 
2 
1 
x 
y 
x 
- 
= 
- 
(C) 
a)  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C). 
b)  Chứng minh rằng: với mọi giá trị của  m, đường thẳng  d :  y x m = - +  luôn cắt đồ thị (C) tại hai 
điểm A,B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. 
Câu II: (2 điểm) 
a)Giải bất phương trình: 
9 
2 2 2 2 1 2 2 1 34.15 25 0 x x x x x x - + - - + - + > 
b)Tìm  a để hệ phương trình sau có nghiệm : 
x+1 1 
2 1 
y a 
x y a 
ì + - = ï 
í 
+ = + ï î 
Câu III: (2 điểm) 
a) Giải phương trình:  2 2 
1 8 1 
2cos cos ( ) sin 2 3cos( ) sin 
3 3 2 3 
x x x x x p p + + = + + + + 
b) Tính : 
1 
3 1 
0 
x e dx + ò 
Câu IV: (1 điểm) 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho điểm I(1;5;0) và hai đường thẳng 
1 : 4 
1 2 
x t 
y t 
z t 
= ì 
ï D = - í 
ï = - + î 
;  2 
2 
: 
1 3 3 
x y z - 
D = = 
- - 
Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm I và cắt cả hai đường thẳng  1 D  và  2 D 
Viết phương trình mặt phẳng(a ) qua điểm I , song song với  1 D  và  2 D 
PHẦN RIÊNG:  Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu V.a hoặc V.b 
Câu V.a DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN (3 điểm) 
1)Trong không gian , cho hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz 
Tìm số các điểm có 3 toạ độ khác nhau từng đôi một,biết rằng các toạ độ đó đều là các số 
tự nhiên nhỏ hơn 10. 
Trên mỗi mặt phẳng toạ độ có bao nhiêu điểm như vậy ? 
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng  đường cao, bằng a. 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB 
3) Giải phương trình:  2 log  2 3 1 x  x = - 
Câu V.b: DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO (3 điểm) 
1) Chứng minh rằng phương trình :  5  5 5 0 x x - - =  có nghiệm duy nhất 
2)Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E): 
2 2 
1 
16 9 
x y 
+ =  , biết tiếp tuyến đi qua điểmA(4;3) 
3) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một , trong đó chữ số 2 đứng liền giữa 
hai chữ số 1 và 3. 
www.laisac.page.tl
PHẦN 
CHUNG 
(7 điểm) 
Nội dung chính và kết quả 
Điểm 
a) (1điểm)     D=R/{ } 1 
y  '  2 
1 
( 1) x 
= 
- 
> 0 ,  x D " Î Þ h/số đồng biến trên D và không có cực trị 
Các đường tiệm cận: T/c đứng x=1; T/c ngang: y =1 
Tâm đối xứng I(1;1) 
BBT 
x  ­¥  1                                              +¥ 
y’  +  + 
y 
+¥  1 
1  ­¥ 
Đồ thị 
f(x)=(x­2 )/(x­1) 
f(x)=1 
x (t)=1 ,  y(t)=t 
­3  ­2  ­1  1  2  3  4  5 
­5 
­4 
­3 
­2 
­1 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
x 
y 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu I 
2 điểm 
b) (1 điểm) 
* Phương trình hoành độ giao điểm của d  ( ) C Ç  là: 
2  2 0 x mx m - + - =  (1) ; đ/k  1 x ¹ 
Vì 
2  4 8 0 
(1) 1 0 
m m 
f 
ìD = - + > 
í 
= - ¹ î 
với  m "  ,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với  m "  .Suy 
ra d  ( ) C Ç  tại hai điểm phân biệt với  m " 
*Gọi các giao điểm của d  ( ) C Ç  là:  A(  ; A A x x m - +  )  ; B(  ; B B x x m - +  );với  A x  ;  B x  là các 
nghiệm của p/t (1) 
[ 
[ [ 
2 2 2 
2 2 
2( ) 2 ( ) 4 . 
2 4( 2) 2 ( 2) 4 8 
A B A B A B AB x x x x x x 
m m m 
ù = - = + - û 
ù ù = - - = - + ³ û û 
Vậy : AB min  2 2 =  , đạt được khi m = 2 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25
a) (1 điểm) 
2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2(2 ) 2 9 34.15 25 0 9.3 34.3 x x x x x x x x x x - + - - + - - - + > Û -  . 
2 2 2 2(2 ) 5 25.5 0 x x x x - - + > 
2 
2 2 
2 
2 
2(2 ) 2 
2 
3 
1 
5 3 3 
9. 34. 25 0 
5 5 
3 25 
5 9 
x x 
x x x x 
x x 
- 
- - 
- 
é æ ö ê Û ê ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø êæ ö > êç ÷ 
è ø ë 
2 2 0 
( ;1 3) (0;2) (1 3; ) 
2 2 
x x 
x 
x x 
é - > 
Û Û Î -¥ - È È + +¥ ê - < - ë 
KL: Bpt có tập nghiệm là T= ( ;1 3) (0; 2) (1 3; ) -¥ - È È + +¥ 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu II 
2 
điểm 
b)(1 điểm) đ/k  1; 1 x y ³ - ³  .Bất pt Û 
2 2 
1 1 
( 1) ( 1) 2 1 
x y a 
x y a 
ì + + - = ï 
í 
+ + - = + ï î 
2 
1 1 
1 
1. 1 (2 1) 
2 
x y a 
x y a a 
ì + + - = 
ï Û í 
é ù + - = - + ï ë û î 
; Vậy  1 x +  và  1 y -  là nghiệm của p/t: 
T 
2  2 1 ( 2 1) 0* 
2 
aT a a - + - - =  .Rõ ràng hệ trên có nghiệm khi p/t* có 2 nghiệm không âm 
2 2 
2 
0 2( 2 1) 0 
0 0 1 2 2 6 
0 1 
( 2 1) 0 
2 
a a a 
S a a 
P 
a a 
ì 
ï D ³ - - - ³ ì 
ï ï Û ³ Û ³ Û + £ £ + í í 
ï ï ³ î ï - - ³ 
î 
0,25 
0,25 
0,5 
a)  (1 điểm)  2cosx+  2 2 
1 8 1 
os ( ) sin 2 3 os(x+ )+ sin 
3 3 2 3 
c x x c x p p + = + + 
2 osx+ c Û  2 2 
1 8 1 
os sin 2 3s inx+ sin 
3 3 3 
c x x x = + - 
2 2 6 osx+cos 8 6s inx.cosx­9sinx+sin c x x Û = + 
2 6 osx(1­sinx)­(2sin 9s inx+7) 0 c x Û - = 
7 
6 osx(1­sinx)­2(s inx­1)(s inx­ ) 0 
2 
c Û = 
(1­sinx)(6cosx­2sinx+7) 0 Û = 
(1) 
(2) 
1 s inx=0 
6cosx­2sinx+7=0 
- ì ï Û í 
ï î 
2 ;( ) 
2 
x k k Z p p Û = + Π
(p/t  (2) vô nghiệm ) 
0,25 
0,25 
0,5 
Câu III 
2 điểm 
b) (1 điểm) Tính:  I= 
1 
3 1 
0 
x e dx + ò 
Đặt  3 1 x t + =  ; t  0 ³  2 
2 
3 1 . 
3 
x t dx t dt ® + = ® =  ; 
0 1 
1 2 
x t 
x t 
= ® = ì 
í = ® = î 
Vậy      I= 
2 
1 
2 
3 
t te dt ò  Đặt  t t 
u t du dt 
dv e dt v e 
= ® = 
= ® = 
. 
Ta có 
2 
2 
1 
2 2 
( ) 
3 3 
t t I te e dt e = - = ò 
0,5 
0,5
Câu  Nội dung chính và kết quả 
Điểm 
Câu IV 
1 điểm 
I(1;5;0) ,  1 : 4 
1 2 
x t 
y t 
z t 
= ì 
ï D = - í 
ï = - + î 
2 
2 
: 
1 3 3 
x y z - 
D = = 
- - 
1 D  có vtcp  1 (1; 1;2) u -  ;và  1 D  đi qua điểm M 1 (0;4; 1) - 
2 D  có vtcp  2 (1; 3; 3) u - -  ;  2 D  đi qua điểm  2 (0;2;0) M 
·  mp(P)chứa  1 D  và điểm I có vtpt  1 1 , (3; 1; 2) n M I u é ù = = - - ë û 
r uuuur ur 
®p/t mp(P)  :  3x –y ­ 2z + 2 = 0 
Tương tự mp(Q) chứa  2 D  và điểm I có vtpt 
' n 
ur 
(3;­1;2) 
®p/t mp(Q)  :  3x ­ y + 2z + 2 = 0 
*Vì đường thẳng d qua I , cắt  1 D  và  2 D  , nên d = (P) Ç (Q) 
®đường thẳng d có vtcp  ' , d u n n é ù = ë û 
ur uur r 
= (1;3;0); d đi qua điểm I(1;5;0) 
Nên p/t tham số của d là 
1 
5 3 
0 
x t 
y t 
z 
= + ì 
ï = + í 
ï = î 
*mp(a ) qua điểm I và song song với  1 D  và  2 D  nên (a ) có vtpt  n a 
uur 
=  1 2 , u u é ù ë û 
ur uur 
=(9;5;­2) 
®  p/t (a ) :   9x + 5y ­2z – 34 = 0 
0,25 
0,25 
0,5
CâuVa 
3 điểm 
1)(1 điểm)  Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10 : { } 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 
*Số điểm có 3 toạ độ khác nhau đôi một là:  3 10  720 A =  (điểm) 
* Trên mỗi mặt phẳng toạ độ,mỗi điểm đều có một toạ độ bằng 0, hai toạ độ còn lại khác 
nhau và khác 0.Số các điểm như vậy là:  2 9  72 A =  (điểm) 
2) * Xác định k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) ®d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC)) 
Lấy M,N lần lượt là trung điểm của AB,DC;Gọi O = ACÇBD®mp(SMN) ^ mp(SDC) 
Hạ MH^ SN , (HÎSN) ®  MH^ mp(SDC) ®MH = d(M;(SDC)) 
= d(AB;(SDC))= d(AB;SC) 
* Tính MH: Hạ OI^ SN® MH = 2.OI 
DSNO vuông có: 
2 2 
2 
2 2 2 2 2 
1 1 1 .OS 
OS OS 
ON 
OI 
OI ON ON 
= + ® = 
+ 
Với ON = 
2 
a 
; OS =  a 
N 
O 
A 
D 
B  C 
S 
M 
I 
H 
ta tính được   OI = 
a 5
5 
®MH= 
2a 5 
5 
3) (1 điểm)  2 log  2 3 1 x  x = -  * ;    Đ/k  x>0 .  Đặt  2 log  x t =  2 
t x Þ = 
p/t * Û 
3 1 
3 4 1 1. 
4 4 
t t 
t t æ ö æ ö = - Û + = ç ÷ ç ÷ 
è ø è ø 
Nhận thấy p/t này có nghiệm t = 1, và c/m được 
nghiệm đó là duy nhất. Vậy , ta được :  2 log 1 2 x x = Û = 
KL: p/t có duy nhất nghiệm   x = 2 
0,5 
0,5 
0,25 
0,25 
0,25 
0,5 
0,5
Câu Vb 
3 điểm 
1)(1 điểm) Đặt  5 ' 4 2 ( ) 5 5 ( ) 5( 1) 5( 1)( 1)( 1) f x x x f x x x x x = - - Þ = - = - + + 
1 
'( ) 0 
1 
x 
f x 
x 
= - é 
= Û ê = ë 
.Ta có bảng biến thiên của h/s f(x): 
x  ­¥  ­1                      1                +¥ 
f’(x)  +         0  ­  0  + 
f(x) 
­1  +¥ 
­¥  ­9 
Nhìn vào bảng biến thiên,ta thấy : đường thẳng y=0 chỉ cắt đồ thị của h/s f(x) tại một 
điểm duy nhất. Vậy p/t đã cho có 1 nghiệm duy nhất 
2) (1 điểm) Gọi toạ độ tiếp điểm là (  0 0 ; x y  ), PTTT (d) có dạng: 
0 0  1 
16 9 
x x y y 
+ =  * 
Vì A(4;3)Î(d) ®  0 0 
4 3 
1 
16 9 
x y 
+ =  (1) 
Vì tiếp điểm  ( ) E Π ,nên 
2 2 
0 0  1 
16 9 
x y 
+ =  (2)  .Từ (1),(2) ta có 
0 
0 0 0 
2 2  0 0 
0 0 
12 3 
4; 0 
4 
0; 3 
9 16 144 
x 
x y y 
x y 
x y 
- ì = = = é ï ® í ê = = ë ï + = î 
. Từ p/t * , ta thấy có 2 tiếp tuyến của (E) đi qua 
điểm A(4;3) là :     (d 1 )  :  x – 4 = 0 ;  (d 2  ) :     y – 3 = 0 
3)(1 điểm)  1 TH  : Số phải tìm chứa bộ 123: 
Lấy 4 chữ số Î { } 0; 4;5;6;7;8;9  : có  4 7 A  cách 
Cài bộ 123 vào vị trí đầu,hoặc cuối,hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số 
vừa lấy: có 5 cách 
®  có    5  4 7 A  = 5.840 = 4200  số gồm 7 chữ số khác nhau trong đó chứa bộ 123 
Trong các số trên, có 4  3 6 A  = 4.120 = 480 số có chữ số 0 đứng đầu 
®  Có  5  4 7 A  ­ 4 
3 
6 A  = 3720 số phải tìm trong đó có mặt bộ 123 
2 TH  : Số phải tìm có mặt bộ 321  (lập luận tương tự) 
Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau , có bặt 321 
Kết luận:  có 3720.2 = 7440 số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một,trong đó chữ số 2 đứng 
liền giữa hai chữ số 1 và 3 
0,25 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
0,5 
0,5 
0,5 
Chú  ý :­ Nếu học sinh làm theo cách khác đúng CŨNG  cho điểm tối đa