Tuyển tập và phân loại các bài tập Nguyên hàm - Tích phân

3
sin xcos xdx
pi
pi
∫ 
 3. 
2
0
sin
1 3
x dx
cosx
pi
+∫
 3. 
4
0
tgxdx
pi
∫ 
4. 
4
6
cot gxdx
pi
pi
∫ 5. 
6
0
1 4sin xcosxdx
pi
+∫ 
 6. 
1
2
0
1x x dx+∫ 7. 
1
2
0
1x x dx−∫ 
 8. 
1
3 2
0
1x x dx+∫ 9. 
1 2
3
0 1
x dx
x +
∫ 
 10. 
1
3 2
0
1x x dx−∫ 11. 
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫ 
12. 
1
2
0
1
1
dx
x+∫
 13. 
1
2
1
1
2 2
dx
x x
−
+ +∫
14. 
1
2
0
1
1
dx
x +
∫ 15. 
1
2 2
0
1
(1 3 ) dxx+∫ 
 16. 
2
sin
4
xe cosxdx
pi
pi
∫ 17. 
2
4
sincosxe xdx
pi
pi
∫ 
 18. 
2
1
2
0
xe xdx+∫ 19. 
2
3 2
3
sin xcos xdx
pi
pi
∫ 
 20. 
2
sin
4
xe cosxdx
pi
pi
∫ 21. 
2
4
sincosxe xdx
pi
pi
∫ 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
22. 
2
1
2
0
xe xdx+∫ 23. 
2
3 2
3
sin xcos xdx
pi
pi
∫ 
24. 
2
2 3
3
sin xcos xdx
pi
pi
∫ 25. 
2
0
sin
1 3
x dx
cosx
pi
+∫
26. 
4
0
tgxdx
pi
∫ 27. 
4
6
cot gxdx
pi
pi
∫ 
28. 
6
0
1 4sin xcosxdx
pi
+∫ 29. 
1
2
0
1x x dx+∫ 
30. 
1
2
0
1x x dx−∫ 31. 
1
3 2
0
1x x dx+∫ 
32. 
1 2
3
0 1
x dx
x +
∫ 33. 
1
3 2
0
1x x dx−∫ 
34. 
2
3
1
1
1
dx
x x +
∫ 35. 
1
1 lne x dx
x
+
∫ 
36. 
1
sin(ln )e x dx
x∫
 37. 
1
1 3ln lne x x dx
x
+
∫ 
 38. 
2ln 1
1
e xe dx
x
+
∫ 39. 
2 21 ln
ln
e
e
x dx
x x
+
∫ 
40. 
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+∫
 41. 
2
1 1 1
x dx
x+ −∫
42. 
1
0 2 1
x dx
x +∫
 43. 
1
0
1x x dx+∫ 
 44. 
1
0
1
1
dx
x x+ +∫
 45. 
1
0
1
1
dx
x x+ −∫
46. 
3
1
1x dx
x
+
∫ 46. 
1
1 lne x dx
x
+
∫ 
47. 
1
sin(ln )e x dx
x∫
 48. 
1
1 3ln lne x x dx
x
+
∫ 
 49. 
2ln 1
1
e xe dx
x
+
∫ 50. 
2 21 ln
ln
e
e
x dx
x x
+
∫ 
 51. 
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x+∫
 52. 
1
2 3
0
5+∫ x x dx 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 53. ( )
2
4
0
sin 1 cos+∫ x xdx
pi
 54. 
4
2
0
4 x dx−∫ 
 55. 
4
2
0
4 x dx−∫ 56. 
1
2
0
1
dx
x+∫ 
57. dxe x∫
−
+
0
1
32 58. ∫
−
1
0
dxe x 
59. 
1
3
0
x
dx
(2x 1)+∫
 60. 
1
0
x
dx
2x 1+∫
61. 
1
0
x 1 xdx−∫ 62. 
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +∫
63. 
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +∫
 64. 
3 3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +∫
65.
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
pi
+∫ 66.
32
0
4sin x
dx
1 cosx
pi
+∫
67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
pi
+
∫ 68.
2
4
0
cos 2xdx
pi
∫ 
69. 
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sin x cosx
pi
pi
+ +
+∫
 70.
1
x
0
1
dx
e 1+∫
. 
71. dxxx )sin(cos4
0
44
∫ −
pi
 72. ∫
+
4
0 2sin21
2cos
pi
dx
x
x
73. ∫
+
2
0 13cos2
3sin
pi
dx
x
x
 74. ∫
−
2
0 sin25
cos
pi
dx
x
x
75. ∫
−
−+
+0
2
2 32
22
 dx
xx
x
 76. ∫
++−
1
1
2 52xx
dx
77. 
2
3 2
0
cos xsin xdx
pi
∫ 78. 
2
5
0
cos xdx
pi
∫ 
79. 
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
pi
+∫
 80. 
1
3 2
0
x 1 x dx−∫ 
81. 
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
pi
+∫ 82. 
4
4
0
1
dx
cos x
pi
∫ 
83. 
e
1
1 lnx
dx
x
+
∫ 84. 
4
0
1
dx
cosx
pi
∫ 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
85. 
e 2
1
1 ln x
dx
x
+
∫ 86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−∫ 
87. 
6
2
0
cosx
dx
6 5sin x sin x
pi
− +∫
 88. 
3 4
0
tg x
dx
cos2x∫
89. 
4
0
cos sin
3 sin2
x x
dx
x
pi
+
+∫
 90. ∫
+
2
0 22 sin4cos
2sin
pi
dx
xx
x
91. ∫
−+ −
5ln
3ln 32 xx ee
dx
 92. ∫
+
2
0
2)sin2(
2sin
pi
dx
x
x
93. ∫
3
4
2sin
)ln(
pi
pi
dx
x
tgx
 94. ∫ −
4
0
8 )1(
pi
dxxtg 
95. ∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
pi
pi
dx
x
xx
 96. ∫
+
+2
0 cos31
sin2sin
pi
dx
x
xx
97. ∫
+
2
0 cos1
cos2sin
pi
dx
x
xx
 98. ∫ +
2
0
sin cos)cos(
pi
xdxxe x 
99. ∫
−+
2
1 11
dx
x
x
 100. ∫ +
e
dx
x
xx
1
lnln31
101. ∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
pi
dx
x
x
 102. 
1
2
0
1 x dx−∫ 
103. 
1
2
0
1
dx
1 x+∫
 104. 
1
2
0
1
dx
4 x−
∫ 
105. 
1
2
0
1
dx
x x 1− +∫
 106.
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +∫
107. 
2
0
1
1 cos sin
dx
x x
pi
+ +∫
 108. 
2
22
2
0
x
dx
1 x−
∫ 
109. 
2
2 2
1
x 4 x dx−∫ 110. 
2
3
2
2
1
dx
x x 1−
∫ 
101. 
3 2
2
1
9 3x
dx
x
+
∫ 112. 
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫ 
113. 
2
2
2
3
1
1
dx
x x −
∫ 114. 
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x
pi
+∫
115. 
1 4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+∫
 116. 
2
0
cos
1 cos
x
dx
x
pi
+
∫ 
117. ∫
++−
0
1
2 22xx
dx
 118. ∫
++
1
0 311 x
dx
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
119. ∫
−
−
2
1 5
1 dx
x
xx
 120.
8
2
3
1
1
dx
x x +
∫ 
121. 
7 3
3 2
0 1
x
dx
x+
∫ 122. 
3
5 2
0
1x x dx+∫ 
123. 
ln2
x
0
1
dx
e 2+
∫ 124. 
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+∫
125. 
2
2 3
0
1x x dx+∫ 126. ∫
+
32
5 2 4xx
dx
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 
 Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
x d u x v x v x u x dx= −∫ ∫ 
 Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv 
 @ Dạng 1 
sin
( )
ax
ax
f x cosax dx
e
β
α
 
 
 
  
∫ 
( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= = 
 
    
⇒    
= =    
        
∫
 @ Dạng 2: ( ) ln( )f x ax dx
β
α
∫ 
 Đặt 
ln( )
( ) ( )
dxduu ax
x
dv f x dx
v f x dx

== 
⇒ 
=  = ∫
@ Dạng 3: sin.  
 
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau 
 a/
1 2
2
0 ( 1)
xx e dx
x +∫
 ñặt 
2
2( 1)
xu x e
dxdv
x
 =


= +
 b/
3 8
4 3
2 ( 1)
x dx
x −∫
 ñặt 
5
3
4 3( 1)
u x
x dxdv
x
 =


=
−
 c/
1 1 1 12 2 2
1 22 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dxdx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +∫ ∫ ∫ ∫
 Tính I1
1
2
0 1
dx
x
=
+∫
 bằng phương pháp ñổi biến số 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
Tính I2 = 
1 2
2 2
0 (1 )
x dx
x+∫
 bằng phương pháp từng phần : ñặt 
2 2(1 )
u x
xdv dx
x
=


= +
Bài tập 
1. 
3
3
1
lne xdx
x∫ 2. 1
ln
e
x xdx∫ 
3. 
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 4. 2
1
ln
e
x xdx∫ 
 5. 
3
3
1
lne xdx
x∫ 6. 1
ln
e
x xdx∫ 
 7. 
1
2
0
ln( 1)x x dx+∫ 8. 2
1
ln
e
x xdx∫ 
 9. 
2
0
( osx)s inxx c dx
pi
+∫ 10. 
1
1( ) ln
e
x xdx
x
+∫ 
 11. 
2
2
1
ln( )x x dx+∫ 12. 
3
2
4
tanx xdx
pi
pi
∫ 
 13. 
2
5
1
ln x dx
x∫ 14. 
2
0
cosx xdx
pi
∫ 
15. 
1
0
xxe dx∫ 16. 
2
0
cosxe xdx
pi
∫ 
Tính các tích phân sau 
1) ∫
1
0
3
. dxex x 2) ∫ −
2
0
cos)1(
pi
xdxx 3) ∫ −
6
0
3sin)2(
pi
xdxx 4) ∫
2
0
2sin.
pi
xdxx 
 5) ∫
e
xdxx
1
ln 6) ∫ −
e
dxxx
1
2
.ln).1( 7) ∫
3
1
.ln.4 dxxx 8) ∫ +
1
0
2 ).3ln(. dxxx 
9) ∫ +
2
1
2
.).1( dxex x 10) ∫
pi
0
.cos. dxxx 11) ∫
2
0
2
.cos.
pi
dxxx 12) ∫ +
2
0
2
.sin).2(
pi
dxxxx 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 13) 
2
5
1
ln x
dx
x∫
 14) 
2
2
0
xcos xdx
pi
∫ 15) 
1
x
0
e sinxdx∫ 16) 
2
0
sin xdx
pi
∫ 
17) 
e
2
1
x ln xdx∫ 18) 
3
2
0
x sinx
dx
cos x
pi
+
∫ 19) 
2
0
xsinx cos xdx
pi
∫ 20) 
4
2
0
x(2cos x 1)dx
pi
−∫ 
21) 
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫ 22) 
1
2 2x
0
(x 1) e dx+∫ 23) 
e
2
1
(x ln x) dx∫ 24) 
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
pi
+∫ 
25) 
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +∫
 26) 
1
2
0
xtg xdx∫ 27) ∫ −
1
0
2)2( dxex x 28) ∫ +
1
0
2 )1ln( dxxx 
29) ∫
e
dx
x
x
1
ln
 30) ∫ +
2
0
3 sin)cos(
pi
xdxxx 31) ∫ ++
2
0
)1ln()72( dxxx 32) ∫ −
3
2
2 )ln( dxxx 
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 
 1. ∫ +−
−
5
3
2 23
12 dx
xx
x
 2. ∫ ++
b
a
dx
bxax ))((
1
 3. ∫ +
++1
0
3
1
1 dx
x
xx
 4. dx
x
xx
∫ +
++1
0
2
3
1
1
 5. ∫ +
1
0
3
2
)13( dxx
x
 6. ∫ ++
1
0
22 )3()2(
1 dx
xx
 7. ∫ +
−
2
1
2008
2008
)1(
1 dx
xx
x
 8. ∫
−
+−
++−0
1
2
23
23
9962 dx
xx
xxx
 9. ∫
−
3
2
22
4
)1( dxx
x
 10. ∫ +
−
1
0
2
32
)1( dxx
x
n
n
 11. ∫ ++
−
2
1
24
2
)23(
3 dx
xxx
x
 12. ∫ +
2
1
4 )1(
1 dx
xx
 13. ∫ +
2
0
24
1 dx
x
 14. ∫ +
1
0
41
dx
x
x
 15. dx
xx∫ +−
2
0
2 22
1
 16. ∫ +
1
0
32 )1( dxx
x
 17. ∫ +−
4
2
23 2
1 dx
xxx
 18. ∫ +−
++3
2
3
2
23
333 dx
xx
xx
 19. ∫ +
−
2
1
4
2
1
1 dx
x
x
 20. ∫ +
1
0
31
1 dx
x
 21. ∫ +
+++1
0
6
456
1
2 dx
x
xxx
 22. ∫ +
−
1
0
2
4
1
2 dx
x
x
 23. ∫ +
+1
0
6
4
1
1 dx
x
x
 24. 
1
2
0
4 11
5 6
x dx
x x
+
+ +∫ 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 25. 
1
2
0
1
dx
x x+ +∫ 26. ∫ −
+3
2 1
2 dx
x
x
27. dx
x
x
∫ 





−
+
−
1
0
3
1
22
 28. ∫
−






+−
−
−
0
1
12
12
2 dxx
x
x
29. dxx
x
x
∫ 





−−
+
−
2
0
1
2
13
 30. dx
x
xx
∫ +
++1
0
2
3
32
31. dxx
x
xx
∫
−






+−
−
++0
1
2
12
1
1
 32. dxx
x
xx
∫ 





+−
+
−+1
0
2
1
1
22
33. ∫ ++
1
0
2 34xx
dx
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 
 1. xdxx 4
2
0
2 cossin∫
pi
 2. ∫
2
0
32 cossin
pi
xdxx 
 3. dxxx∫
2
0
54 cossin
pi
 4. ∫ +
2
0
33 )cos(sin
pi
dxx 
 5. ∫ +
2
0
44 )cos(sin2cos
pi
dxxxx 6. ∫ −−
2
0
22 )coscossinsin2(
pi
dxxxxx 
 7. ∫
2
3
sin
1
pi
pi
dx
x
 8. ∫ −+
2
0
441010 )sincoscos(sin
pi
dxxxxx 
 9. ∫
−
2
0 cos2
pi
x
dx
 10. ∫ +
2
0 sin2
1
pi
dx
x
 11. ∫ +
2
0
2
3
cos1
sin
pi
dx
x
x
 12. ∫
3
6
4 cos.sin
pi
pi xx
dx
 13. ∫
−+
4
0
22 coscossin2sin
pi
xxxx
dx
 14. ∫ +
2
0 cos1
cos
pi
dx
x
x
 15. ∫
−
2
0 cos2
cos
pi
dx
x
x
 16. ∫ +
2
0 sin2
sin
pi
dx
x
x
 17. ∫ +
2
0
3
cos1
cos
pi
dx
x
x
 18. ∫ ++
2
0 1cossin
1
pi
dx
xx
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 19. ∫
−
2
3
2)cos1(
cos
pi
pi x
xdx
 20. ∫
−
++
+−2
2
3cos2sin
1cossin
pi
pi
dx
xx
xx
 21. ∫
4
0
3
pi
xdxtg 22. dxxg∫
4
6
3cot
pi
pi
 23. ∫
3
4
4
pi
pi
xdxtg 24. ∫ +
4
0 1
1
pi
dx
tgx
 25. ∫
+
4
0 )
4
cos(cos
pi
pi
xx
dx
 26. ∫ ++
++2
0 5cos5sin4
6cos7sin
pi
dx
xx
xx
 27. ∫ +
pi2
0
sin1 dxx 28. ∫ ++
4
0 13cos3sin2
pi
xx
dx
 29. ∫ +
4
0
4
3
cos1
sin4
pi
dx
x
x
 30. ∫ +
++2
0 cossin
2sin2cos1
pi
dx
xx
xx
 31. ∫ +
2
0 cos1
3sin
pi
dx
x
x
 32. ∫
−
2
4
sin2sin
pi
pi xx
dx
 33. ∫
4
0
2
3
cos
sin
pi
dx
x
x
 34. ∫ +
2
0
32 )sin1(2sin
pi
dxxx 
 35. ∫
pi
0
sincos dxxx 36. ∫
−
3
4
3
3 3
sin
sinsin
pi
pi
dx
xtgx
xx
 37. ∫ ++
2
0 cossin1
pi
xx
dx
 38. ∫ +
2
0 1sin2
pi
x
dx
 39. ∫
2
4
53 sincos
pi
pi
xdxx 40. ∫ +
4
0
2cos1
4sin
pi
x
xdx
 41. ∫ +
2
0 3sin5
pi
x
dx
 2. ∫
6
6
4 cossin
pi
pi xx
dx
 43. ∫
+
3
6
)
6
sin(sin
pi
pi
pi
xx
dx
 4. ∫
+
3
4
)
4
cos(sin
pi
pi
pi
xx
dx
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 45. ∫
3
4
6
2
cos
sin
pi
pi x
xdx
 46. dxxtgxtg )
6
(
3
6
pi
pi
pi
∫ + 
 47. ∫ +
3
0
3)cos(sin
sin4
pi
xx
xdx
 48. ∫
−
+
0
2
2)sin2(
2sin
pi x
x
 49. ∫
2
0
3sin
pi
dxx 50. ∫
2
0
2 cos
pi
xdxx 
 51. ∫
+
2
0
12
.2sin
pi
dxex x 52. dxe
x
x x
∫ +
+2
0 cos1
sin1
pi
 53. ∫ +
4
6
2cot
4sin3sin
pi
pi
dx
xgtgx
xx
 54. ∫ +−
2
0
2 6sin5sin
2sin
pi
xx
xdx
 55. ∫
2
1
)cos(ln dxx 56. ∫
3
6
2cos
)ln(sin
pi
pi
dx
x
x
 57. dxxx∫ −
2
0
2cos)12(
pi
 58. ∫
pi
0
2cossin xdxxx 
 59. ∫
4
0
2
pi
xdxxtg 60. ∫
pi
0
22 sin xdxe x 
 61. ∫
2
0
3sin cossin
2
pi
xdxxe x 62. ∫ +
4
0
)1ln(
pi
dxtgx 
 63. ∫ +
4
0
2)cos2(sin
pi
xx
dx
 64. ∫
−+
−
2
0
2 )cos2)(sin1(
cos)sin1(
pi
dx
xx
xx
 65. 
2
2
sin 2 sin 7
−
∫ x xdx
pi
pi
 66. 
2
4 4
0
cos (sin cos )+∫ x x x dx
pi
 67. 
2 3
0
4sin
1 cos+∫
x dx
x
pi
 68. ∫
−
2
2
3cos.5cos
pi
pi
xdxx 
69. ∫
−
2
2
2sin.7sin
pi
pi
xdxx 70. ∫
4
0
cos
2
sin
pi
xdxx 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
71. ∫
4
0
2sin
pi
xdx 
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: 
 ∫
b
a
dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
 +) R(x, 
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t ]
2
;0[ pi∈ 
 +) R(x, 22 xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos 
 +) R(x, n
dcx
bax
+
+
) §Æt t = n
dcx
bax
+
+
 +) R(x, f(x)) = 
γβα +++ xxbax 2)(
1
 Víi ( γβα ++ xx2 )’ = k(ax+b) 
 Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx2 , hoÆc ®Æt t = 
bax +
1
 +) R(x, 22 xa + ) §Æt x = tgta , t ]
2
;
2
[ pipi−∈ 
 +) R(x, 22 ax − ) §Æt x = 
x
a
cos
, t }
2
{\];0[ pipi∈ 
 +) R( )1 2 in n nx x x; ;...; Gäi k = BCNH(n1; n2; ...; ni) 
 §Æt x = tk 
 1. ∫
+
32
5
2 4xx
dx
 2. ∫
−
2
3
2
2 1xx
dx
 3. ∫
−
+++
2
1
2
1
2 5124)32( xxx
dx
 4. ∫
+
2
1
3 1xx
dx
 5. ∫ +
2
1
2 2008dxx 6. ∫
+
2
1
2 2008x
dx
 7. ∫ +
1
0
22 1 dxxx 8. ∫ −
1
0
32 )1( dxx 
 9. ∫
+
+3
1
22
2
1
1 dx
xx
x
 10. ∫
−
+2
2
0 1
1 dx
x
x
 11. ∫
+
1
0
32 )1( x
dx
 12. ∫
−
2
2
0
32 )1( x
dx
 13. ∫ +
1
0
21 dxx 14. ∫
−
2
2
0
2
2
1 x
dxx
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 15. ∫ +
2
0 2cos7
cos
pi
x
xdx
 16. ∫ −
2
0
2coscossin
pi
dxxxx 
 17. ∫
+
2
0
2cos2
cos
pi
x
xdx
 18. ∫ +
+2
0 cos31
sin2sin
pi
dx
x
xx
 19. ∫
+
7
0
3 2
3
1 x
dxx
 20. ∫ −
3
0
23 10 dxxx 
 21. ∫ +
1
0 12x
xdx
 22. ∫
++
1
0
2
3
1xx
dxx
 23. ∫ ++
7
2 112x
dx
 24. dxxx∫ +
1
0
815 31
 25. ∫ −
2
0
56 3 cossincos1
pi
xdxxx 26. ∫
+
3ln
0 1xe
dx
27. ∫
−
+++
1
1
2 11 xx
dx
 28. ∫
+
2ln
0
2
1x
x
e
dxe
29. ∫ −−
1
4
5
2 8412 dxxx 30. ∫
+e dx
x
xx
1
lnln31
 31. ∫
+
+3
0
2
35
1
dx
x
xx
 32. dxxxx∫ +−
4
0
23 2 
 33. ∫
−
++
0
1
32 )1( dxxex x 34. ∫ +
3ln
2ln
2
1ln
ln dx
xx
x
 35. ∫
+3
0
2
2
cos
32
cos
2cospi
dx
x
tgx
x
x
 36. ∫
+
2ln
0
3)1( x
x
e
dxe
 37. ∫ +
3
0 2cos2
cos
pi
x
xdx
 38. ∫
+
2
0
2cos1
cos
pi
x
xdx
39. dx
x
x
∫ +
+7
0
3 3
2
 40. ∫ +
a
dxax
2
0
22 
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT: 
Bµi to¸n më ®Çu: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã: ∫∫ −+=
−
aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)( 
 VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn [-
2
3
;
2
3 pipi
] tháa mJn f(x) + f(-x) = x2cos22 − , 
TÝnh: ∫
−
2
3
2
3
)(
pi
pi
dxxf 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 +) TÝnh ∫
−
+
+1
1
2
4
1
sin dx
x
xx
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: ∫
−
a
a
dxxf )( = 0. 
 VÝ dô: TÝnh: ∫
−
++
1
1
2 )1ln( dxxx ∫
−
++
2
2
2 )1ln(cos
pi
pi
dxxxx 
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫
−
a
a
dxxf )( = 2 ∫
a
dxxf
0
)( 
 VÝ dô: TÝnh ∫
−
+−
1
1
24 1xx
dxx
2
2
2
cos
4 sin
−
+
−
∫
x x dx
x
pi
pi
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫∫ =+
−
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1 ≠ b>0, ∀ a) 
 VÝ dô: TÝnh: ∫
−
+
+3
3
2
21
1 dxx
x
 ∫
−
+
2
2
1
5cos3sinsin
pi
pi
dx
e
xxx
x
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 
2
pi
], th× ∫∫ =
2
0
2
0
)(cos)(sin
pipi
dxxfxf 
 VÝ dô: TÝnh ∫ +
2
0
20092009
2009
cossin
sin
pi
dx
xx
x
 ∫ +
2
0 cossin
sin
pi
dx
xx
x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: ∫∫ =
pipi pi
00
)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf 
 VÝ dô: TÝnh ∫ +
pi
0 sin1
dx
x
x
 ∫ +
pi
0 cos2
sin dx
x
xx
Bµi to¸n 6: ∫∫ =−+
b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()( ⇒ ∫∫ =−
bb
dxxfdxxbf
00
)()( 
 VÝ dô: TÝnh ∫ +
pi
0
2cos1
sin dx
x
xx
 ∫ +
4
0
)1ln(4sin
pi
dxtgxx 
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: 
 ∫∫ =
+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()( ⇒ ∫∫ =
TnT
dxxfndxxf
00
)()( 
 VÝ dô: TÝnh ∫ −
pi2008
0
2cos1 dxx 
C¸c bµi tËp ¸p dông: 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 1. ∫
−
+
−
1
1
2
21
1 dxx
x
 2. ∫
−
+−+−4
4
4
357
cos
1
pi
pi
dx
x
xxxx
 3. ∫
−
++
1
1
2 )1)(1( xe
dx
x
 4. ∫
−
−
+2
2
2sin4
cos
pi
pi
dx
x
xx
 5. ∫
−
+
−
2
1
2
1
)
1
1ln(2cos dx
x
x
x 6. dxnx)xsin(sin
2
0
∫ +
pi
 7. ∫
−
+
2
2
5
cos1
sin
pi
pi
dx
x
x
 8. 1)1(1
cot
1
2
1
2 =+
+
+ ∫∫
ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
 (tga>0) 
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 
 1. ∫
−
−
3
3
2 1dxx 2. ∫ +−
2
0
2 34 dxxx 
 3. ∫ −
1
0
dxmxx 4. ∫
−
2
2
sin
pi
pi
dxx 
5. ∫
−
−
pi
pi
dxxsin1 6. ∫ −+
3
6
22 2cot
pi
pi
dxxgxtg 
7. ∫
4
3
4
2sin
pi
pi
dxx 8. ∫ +
pi2
0
cos1 dxx 
9. ∫
−
−−+
5
2
)22( dxxx 10. ∫ −
3
0
42 dxx 
 11. ∫
−
−
3
2
3coscoscos
pi
pi
dxxxx 12. 2) 
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫ 
13. 
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −∫ 14. 
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −∫ 
15. 
3
x
0
2 4dx−∫ 16. 
0
1 cos2xdx
pi
+∫ 
17. 
2
0
1 sinxdx
pi
+∫ 18. dxxx∫ −
2
0
2 
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN: 
 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , ñường thẳng x = -2 và ñường thẳng x 
= 1 
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , ñường thẳng x = 0 và ñường thẳng x = 
1 
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , ñường thẳng x = -2 và ñường thẳng x 
= 4 
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và ñường thẳng x = 2pi 
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
 a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , ñường thẳng x = -2 và ñường thẳng x 
= 1 
 b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , ñường thẳng x = 0 và ñường thẳng x = 
1 
 c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , ñường thẳng x = -2 và ñường thẳng x 
= 4 
 d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và ñường thẳng x = 2pi 
Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®−êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh 
ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®−êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt 
Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch 
ë phÝa trªn 0x vµ phÝa d−íi 0x b»ng nhau 
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 





=
≤≤
−
=
0
1
3
y
xo
xx
y 
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau 
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch 
mçi phÇn 
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 






+
−
=
+
++
=
4
2
4
22
1
1
32
a
axay
a
aaxxy
T×m a ®Ó 
diÖn tÝch lín nhÊt 
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau: 
1) (H1):
2
2
x
y 4
4
x
y
4 2

= −



=
 2) (H2) : 
2y x 4x 3
y x 3
 = − +

= +
 3) (H3):
3x 1
y
x 1
y 0
x 0
− −
=
−

=

=


4) (H4):
2
2
y x
x y
 =

= −
 5) (H5):
2
y x
y 2 x
 =

= −
 6) (H6):
2y x 5 0
x y 3 0
 + − =

+ − =
7) (H7):
ln x
y
2 x
y 0
x e
x 1

=

=

=

=
 8) (H8) : 
2
2
y x 2x
y x 4x
 = −

= − +
 9) (H9):
2 3 3y x x
2 2
y x

= + −

 =
NguyÔn V¨n Ph−¬ng THPT: Lª Quy §«n HP 
10) (H10):
2y 2y x 0
x y 0
 − + =

+ =
 11) 





−=
=
)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
 12) 





=∆
=
=
1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC x
13) 



−=
+=
1
122
xy
xy
 14) 




=+
−−=
03
4
2
2
yx
xy
 15) 





=
=−+
=
0
02
y
yx
xy
16 






+
=
=
2
2
1
1
2
x
y
xy
 17 



===
=
3,0,
22
yyxy
xy
 18) 




==
==
ex
e
x
yxy
,
1
0,ln
19. 






==
==
3
;
6
cos
1
;
sin
1
22
pipi
xx
x
y
x
y
 20): y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) 
21) 





−=
+−=
+−=
114
42
542
xy
xy
xxy
 22) 





−=
−+−=
−+−=
153
34
56
2
2
xy
xxy
xxy
 23) 








=
=
=
=
ex
y
x
y
xy
0
1
24) 



+=
−=
5//
/1/ 2
xy
xy
 25) 




=
=
xy
xy
2
3
 26) 



=
+−−=
0
2//3 2
y
xxy
27) 



−=
+=
xy
xy
4
22
 28)





=
++=
+−=
1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
 29) 




+−=
−=
7
/1/
2
2
xy
xy
30) 





=−=
=
=
1;2
0
3
xx
y
xy
 31) 


