Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và các luật phân phối xác suất

Ths. Nguyễn Công Trí Copyright 2001 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN	(XEM) LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC	(XEM) HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN	(XEM) LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LIÊN TỤC	(XEM) BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA ĐLNN LIÊN TỤC	(XEM) LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI	(XEM) ĐLNN ĐỘC LẬP	(XEM) BÀI TẬP	(XEM) Ths. Nguyễn Công Trí Giả sử trong không gian mẫu ta gán cho mỗi phần tử mẫu một con số, sau đó ta định nghĩa một hàm trên không gian mẫu này thì hàm này được gọi là đại lượng ngẫu nhiên (hay biến ngẫu nhiên) hay chính xác hơn là hàm ngẫu nhiên. Thường ký hiệu ĐLNN bằng mẫu tự in hoa, chẳng hạn X, Y hay Z. X:    	A  X(A) Nói chung, một ĐLNN chỉ ra một ý nghĩa vật lý, hình học hay một ý nghĩa nào đó. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÍ DỤ 2.1. Tung một đồng xu hai lần, ta có không gian mẫu  = {NN, NS, SN, SS}. Gọi X là số lần mặt ngửa xuất hiện, với mỗi phần tử mẫu ta có thể gán một số cho X như sau: Bảng 2-1 Một ĐLNN nhận các giá trị hữu hạn hay các giá trị vô hạn đếm được thì được gọi là ĐLNN rời rạc; một ĐLNN nhận các giá trị vô hạn không đếm được thì được gọi là ĐLNN không rời rạc () (VD2.2) ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN TRƯỜNG HỢP ĐLNN RỜI RẠC Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử các giá trị của X là x1, x2,…, xK, được xếp theo một thứ tự nào đó và các giá trị của X có xác suất như sau P(X = xk) = f(xk), k = 1, 2, …	(1) Hay 	P(X = x) = f(x)	(2) Vậy f(x) là hàm xác suất khi 1) f(x) ≥ 0 và 2) QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÍ DỤ 2.2. Tìm luật phân phối xác suất với đại lượng ngẫu nhiên X của ví dụ 2.1. Giả sử đồng xu công bằng, ta có P(NN) = ¼, P(SN) = ¼, P(NS) = ¼, P(SS) = ¼ thì P(X = 0) = P(SS) = ¼ 	P(X = 1) = P(SNNS) = P(SN) + P(NS) = ½ 	P(X = 2) = P(NN) = ¼ Luật phân phối xác suất được cho bởi Bảng 2-2 (bt 15.) (VD 2.3) QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân phối tích lũy, gọi tắt là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X được định nghĩa như sau 	F(x) = P(X ≤ x)	(3) trong đó x là số thực, nghĩa là - < x < . Hàm phân phối F(x) có các tính chất sau: F(x) là hàm không giảm nghĩa là, F(x) ≤ F(y) nếu x ≤ y. . F(x) là hàm liên tục phải Nghĩa là, , với mọi x]. HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN Hàm phân phối của ĐLNN rời rạc X có thể thu được từ hàm xác suất của nó bằng cách, với mọi x trong khoảng (-,), 	(4) Nếu X là các giá trị hữu hạn x1, x2, . . . , xn, thì hàm phân phối được xác định bởi biểu thức (5) HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN VÍ DỤ 2.3. (a) Tìm hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X trong ví dụ 2.2. (b) hãy vẽ đồ thị hàm phân phối của X. (a) hàm phân phối của ĐLNN X HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN Đồ thị hàm phân phối của X. HÀM PHÂN PHỐI CỦA ĐLNN TRƯỜNG HỢP ĐLNN LIÊN TỤC ĐLNN không rời rạc X được gọi là liên tục, nếu hàm phân phối của nó có thể được biểu diễn như sau 	(7) Trong đó hàm mật độ f(x) có tính chất: f(x) ≥ 0 Theo khái niệm trên, nếu X là ĐLNN liên tục thì P(X = x) = 0 và xác suất của X(a,b) là 	(8) QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÍ DỤ 2.4. Chọn ngẫu nhiên một người từ một nhóm gồm các quiù ông, xác suất chiều cao X của người này chính xác 68 inches thì bằng không. Tuy nhiên, có một xác suất của chiều cao X nằm giữa 67,000… inches và 68,500… inches sẽ là một số dương. Một hàm f(x) thỏa tính chất 1 và 2 ở trên sẽ được gọi là hàm mật độ và công thức tính xác suất sẽ được tính theo biểu thức (8). QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÍ DỤ 2.5. (a) Tìm hằng số c sao cho hàm là hàm mật độ, (b) tính P(1 < X < 2). (a) f(x) thỏa tính chất 1 khi c ≥ 0, để f(x) là hàm mật độ thì f (x) phải thỏa tính chất 2. Ta có f(x) là hàm mật độ thì 9c = 1  c = 1/9. (b) QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÍ DỤ 2.6. (a) Tìm hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên trong VÍ DỤ 2.5. (b) Dùng kết quả câu (a) tìm P(1 < x ≤ 2). (a) Ta có Nếu x < 0, thì F(x) = 0. Nếu 0 ≤ x < 3, thì Nếu x ≥ 3, thì Vậy hàm phân phối cần tìm là QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (b) Ta có Ta có kết quả giống như trong ví dụ 2.5 Chú ý. Trong trường hợp f(x) liên tục, nếu không có một phát biểu nào khác, P(X = x) = 0. Do đó ta có thể thay thế một hoặc cả hai ký hiệu “<” trong công thức (8) bởi “≤”. Vì vậy, trong ví dụ 2.5, ta có QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Nếu f(x) là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X thì đồ thị y = f(x) biểu diễn như Hình. 2-2. Hình. 2-2 Do f(x) ≥ 0, nên đường cong luôn bên trên trục x. Toàn bộ diện tích giới hạn bởi đường cong và trục x bằng 1. Về ý nghĩa hình học, P(a <X < b) được biểu diễn bởi diện tích được tô đậm trong Hình. 2-2. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA ĐLNN LIÊN TỤC Hàm phân phối F(x) = P(X ≤ x) là hàm đơn điệu tăng. F(x) tăng từ 0 đến 1 và được biểu diễn bởi đường cong như trong Hình. 2-3. Hình. 2-3 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA ĐLNN LIÊN TỤC TRƯỜNG HỢP ĐLNN RỜI RẠC. Nếu X và Y là hai ĐLNN rời rạc. Ta định nghĩa hàm xác suất đồng thời của X và Y như sau 	P(X= x, Y= y) = f(x, y) 	(13) trong đó f(x,y)  0 Giả sử X = {x1, x2,..., xm} và Y = {y1, y2,..., yn} thì xác suất của biến cố X = xj và Y = yk cho bởi biểu thức 	P(X= xj, Y= yk) = f(xj, yk)	(14) LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI Hàm xác suất đồng thời của X và Y. Hàm xác suất biên (lề) của X, của Y; hàm phân phối xác suất đồng thời của X và Y là Tổng LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI TRƯỜNG HỢP ĐLNN LIÊN TỤC. Cả hai ĐLNN đều liên tục, tương tự như trường hợp rời rạc, ta thay ký hiệu tổng bằng ký hiệu tích phân. Hàm phân phối xác suất đồng thời của hai ĐLNN X và Y (còn được gọi là hàm mật độ đồng thời của X và Y) được xác định bởi f(x,y)  0 Trên đồ thị z = f(x,y) biểu diễn một mặt, được gọi là mặt xác suất, được minh hoạ trong Hình. 2-4. LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI Hình. 2-4 Toàn bộ thể tích giới hạn bởi mặt này và mặt phẳng xy thì bằng 1. Xác suất của X(a, b) khi Y(c,d) trên đồ thị là thể tích được tô đậm trong Hình. 2-4. Tổng quát, nếu A là một biến cố thì tồn tại một miền A của mp xy tương ứng với A, LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI Hàm phân phối đồng thời của X, Y trong trường hợp này được định nghĩa như sau 	(22) Ta có 	(23) Từ (22) ta có lần lượt hàm phân phối biên (hàm phân phối lề) của X và Y. 	(24)	 	(25) LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI Lấy đạo hàm của (24) đối với x và (25) đối với y thì lần lượt ta có hàm mật độ biên (hàm mật độ lề), hay đơn giản là hàm mật độ của X và của Y được cho bởi biểu thức 	 	(26) LUẬT PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI TRƯỜNG HỢP ĐLNN RỜI RẠC. Nếu biến cố X= x và biến cố Y= y là các biến cố độc lập với mọi x và y, thì ta nói X và Y là các ĐLNN nhiên độc lập. Trong trường hợp như vậy thì 	P(X= x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)	(27) hay 	f(x, y) = f1(x)f2(y)	(28) Ngược lại, với mọi x và y, hàm xác suất đồng thời f(x,y) có thể được biểu diễn qua tích của một hàm theo biến x và một hàm theo biến y thì X và Y là độc lập. Nếu f(x,y) không thể biểu diễn được như vậy thì X và Y được gọi là phụ thuộc. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP TRƯỜNG HỢP ĐLNN LIÊN TỤC. Nếu X, Y liên tục, ta nói X, Y độc lập nếu các biến cố X ≤ x và Y ≤ y độc lập với mọi x và y. Ta có 	P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y)	(29) hay	F(x, y) = F1(x)F2(y)	(30) trong đó F1(x) và F2(y) lần lượt là các hàm phân phối (biên) của X và Y. Với các ĐLNN độc lập liên tục có hàm mật độ đồng thời f(x,y) = f1(x)f2(y) thì các hàm f1(x), f2(y) lần lượt là hàm mật độ biên (lề) của X và Y. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Ths. Nguyễn Công Trí Copyright 2001 ĐLNN RỜI RẠC – LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT [1]	[2]	[12]	[13]	[14]	[15]	[16]	 HÀM PHÂN PHỐI RỜI RẠC [3]	[4]	[17] 	[18]	[19]	[20] 	 ĐLNN LIÊN TỤC – LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT [5]	[6]	[7]	[21]	[22]	[23]	[24]	[25] PHÂN PHỐI ĐỒNG THỜI VÀ ĐLNN ĐỘC LẬP [8]	[9]	[10]	[11]	[26]	[27]	[28] CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP [29] [30] [31] [32] BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Ths. Nguyễn Công Trí