Bài ôn tập chương II – Đại số 10

Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI:
§1. Đại cương về hàm số:
1. Khái niệm về hàm số:
*. Định nghĩa: Cho tập hợp khác rỗng D Ì R.
	Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x Î D với một và chỉ một số, ký hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.
	Tập D gọi là tập xác định hay miền xác định, x gọi là iến số hay đối số của f.
	Ký hiêu: y = f(x) hay 
	*. Nếu f(x) là một biểu thức của biến x thì với mỗi giá trị của x ta tính được một giá trị tương ứng duy nhất của f(x) (nếu nó xác định). Ta nói hàm số đó được cho bằng biểu thức f(x).
	*. Tập xác định của hàm số y = f(x) cho bằng biểu thức là tập hợp tất cả các số thực x sao cho giá trị của biểu thức f(x) được xác định.
*. (G) là đồ thị của hàm số: Û (G) = {M(x0; y0)÷ x0 Î D; y0 = f(x0)}.
2. Sự biến thiên của hàm số:
a) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:
*. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K.
 . Hàm số f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu "x1, x2 Î K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
 . Hàm số f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu "x1, x2 Î K, x1 f(x2)
	b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
	*. Định nghĩa: Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đó đồng biên, nghịch biến, không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của hàm số.
	* Quy tắc:
. Hàm số f(x) đồng biến trên K Û "x1, x2 Î K và x1 ¹ x2, 
. Hàm số f(x) nghịch biến trên K Û "x1, x2 Î K và x1 ¹ x2, 
3. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
*. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
. f(x) là hàm số chẵn Û x Î D thì – x Î D và f(-x) = f(x).
. f(x) là hàm số lẻ Û x Î D thì – x Î D và f(-x) = - f(x).
*. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ:
. Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.
. Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.
4. Tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ:
*. Định lý: Trong mặt phẳng Oxy, hàm số y = f(x) có đồ thị (G); p, q > 0.
. Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x) + q.
. Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x) - q.
. Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x + p).
. Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f(x - p).
§2. Hàm số bậc nhất:
	1. Hàm số bậc nhất:
	*. Hàm số bậc nhất là hàm số cho bằng biểu thức dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số, a ¹ 0.
	*. Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R.
	*. Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R.
	*. Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R.
	*. Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng có hệ số góc bằng a và:
	+ Không song song và không trùng với các trục tọa độ.
	+ Cắt trục tung tại điểm B(0; b) và cắt trục hoành tại điểm 
	2. Hàm số: ÷ ax + b ÷ (a ¹ 0):
	*. TXĐ: D = R; TGT: G = [0; + ¥).
	*. Là hàm số bậc nhất trên từng khoảng (- ¥; -b/a) và (-b/a; +¥).
	*. Đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng (- ¥; -b/a) và (-b/a; +¥).
	*. Đồ thị của hàm số gồm hai tia chung gốc C(-b/a; 0) và đối xứng qua đường thẳng 
§3. Hàm số bậc hai:
	1. Định nghĩa:
	*. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số, a ¹ 0.
	*. TXĐ: D = R, TGT: G = R.
	2. Đồ thị của hàm số bậc hai:
	Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (a ¹ 0) là parabol (P) có đỉnh 
, nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a > 0, xuống dưới khi a < 0.
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai:
	*. Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng , đồng biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi .
	*. Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng , nghịch biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. Tìm TXĐ của các hàm số sau:
	2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên khoảng I đã chỉ ra:
	3. Tìm m để hàm sô sau xác định "x > 1: 
	4. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
	a) f(x) = 2x2 – ÷ x÷.	b) f(x) = x3 – 3x.
	c) f(x) = 2x3 + x - 2,	d) f(x) = x2 – 3x.
	5. Tìm các khoảng tăng (giảm) của các hàm số:
	a) f(x) = 2x2 – 4x + 5;	b) 
	6. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 3x – 1.
	 b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: ÷ 3x - 1÷.
	 c) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: 3÷ x÷ - 1.
	7. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x + 3.
	 b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y = ÷ - x + 3÷.
	 c) Từ đó suy ra đồ thị hàm số: y = -÷ x÷ + 3.
	8. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = - 2x - 3÷ x - 3÷ 
 b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k.
	 c) Tìm x để f(x) > 0.
	9. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = - 2x - 1 + ÷ x - 3÷ 
	 b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k.
	 c) Tìm x để f(x) £ 0.
	10. a) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) =÷2x - 8÷ +÷ 3x - 6÷ 
	 b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k. Từ đó tính k để phương trình f(x) = k có hai nghiệm cùng dấu.
	11. Cho hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) với x1 ¹ x2. CMR: đường thẳng AB có phương trình 
	12. Cho ba điểm A(1; 1), B(2; -3), C(3; 7).
 a) Lập phương trình các đường thẳng BC, CA, AB.
	 b) DABC có đặc điểm gì? Tìm diện tích của nó.
	 c) Lập phương trình trung tuyến AM.
	 d) Lập phương trình trung trực của BC.
	 e) Lập phương trình đường thẳng qua A và song song với cạnh BC.
	 f) Lập phương trình đường cao CH của DABC.
	 g) Tìm tọa độ của điểm D để tứ giác ABDC là hình bình hành.
	13. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = x2 - 3x + 2 (P)
	 b) Tìm max, min của f(x) trên các đoạn: [-1; 3], [-1; 1], [1; 3].
	 c) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình f(x) = k.
	 d) Từ (P) suy ra đồ thị hàm số: y = ÷ x2 - 3x + 2÷.
	 e) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: ÷ x2 - 3x + 2÷ = k.
	 f) Từ (P) suy ra đồ thị hàm số: y = x2 - 3÷ x÷ + 2.
	 g) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x2 - 3÷ x÷ + 2 = k.
	14. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = ÷ - 2x2 + 3x +5÷.
	 b) Tìm m để đồ thị đã vẽ ở câu a) cắt đường thẳng y = m tại 4 điểm phân biệt.
	15. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = (x + 1)(1 - ÷ x÷ )
	 b) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình: f(x) = k.
	 c) Tìm max, min của f(x) trên nửa khoảng [-2; 1).
	16. Cho hàm số f xác định bởi công thức:
	 a) Chứng minh rằng f là hàm số lẻ.
 b) Vẽ đồ thị của hàm số này.
	17. Cho hàm số: y= (2m - 1)x + 3m +1 , m là tham số thay đổi.
	 a) Tùy theo m, xét sự biến thiên của hàm số đã cho.	
	 b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi, tìm điểm cố định đó.
	18. Tìm parabol (P): y = ax2 + bx + c, biết rằng:
 a) Parabol đó đi qua ba điểm M(1; 1), N(-1; 9) và E(0; 3).
	 b) (P) đi qua (-1; 1) và có đỉnh I(1; 4).
	 c) Có trục đối xứng x = 2 và đi qua (1; -3), (0; 0).
	 d) Hàm số đạt cực tiểu là 1 tại x = 1 và đi qua (0; 2).
	 e) Hàm số đạt cực đại là 3 tại x = - 1 và đi qua (1; -1).
	19. Cho họ parabol: y = x2 + (2m +1)x + m2 -1 (Pm).
Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và chứng minh rằng khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.
	20. Cho hai Parabol (P1): y = x2 và (P2): y = - x2 + 2x + 4.
 a) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của chúng.
	 b) Qua A vẽ đường thẳng d1 cắt (P1), (P2) lần lượt tại E, F (¹ A). Qua B vẽ đường thẳng d2 cắt (P1), (P2) lần lượt tại G, H (¹ B). Chứng minh rằng EG // HF.
	21. Cho Parabol (P): y = x2 + 2x - 3 và đường thẳng (d) đi qua A(1; 0) có hệ số góc là a. Với giá trị nào của a thì:
	 a) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
	 b) (P) cắt (d) tại hai điểm có hoành độ trái dấu nhau.
	22. a) Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ hàm số: y = ax2 + (a - 1)x - 6a luôn đi qua hai điểm cố định.
	 b) Lập phương trình họ Parabol luôn đi qua hai điểm (1; -3), (0; 1).
	23. Cho Parabol (P): y = x2 - 3x + 3
 a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua (1; 1/2) và tiếp xúc với (P). Có nhận xét gì về các tiếp tuyến vừa tìm được.
	 b) Tìm tập hợp các điểm mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (P) mà hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
 c) Tìm tập hợp những điểm mà từ đó không thể vẽ được tiếp tuyến nào của (P).
24. Chứng minh rằng mọi đường thẳng của họ y = 2mx - m2 + 2m + 2 luôn 
tiếp xúc với một parabol cố định.
25. Cho parabol (P): .
 a) CMR: " M Î (P) cách đều trục hoành và một điểm K cố định.
 b) Chứng minh rằng tiếp tuyến của (P) tại M tạo với MK và trục tung những góc nhọn bằng nhau.
26. Cho họ đường cong: (Pm): y = (m + 1)x2 - (m + 2)x - 2m - 3.
	 a) CMR: mọi đồ thị của họ hàm số trên luôn đi qua hai điểm cố định.
	 b) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có một đường cong nào của họ đi qua.
	27. Cho họ Parabol (Pm): y = fm(x) = - x2 + 2mx - 3m + 4.
 a) Tìm quỹ tích các đỉnh của Parabol (Pm).
	 b) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số fm(x) đạt giá trị nhỏ nhất.
	28. Cho họ Parabol (Pm): y = fm(x) = x2 + 2(m - 1)x + 3m – 5.
 a) Tìm tập hợp đỉnh của các Parabol (Pm).
	 b) Với giá trị nào của m, fm(x) có một giá trị bé nhất, tìm m để giá trị bé nhất nói trên là lớn nhất.
	29. Tìm giá trị bé nhất của hàm số: y = x2 - ÷ x - 3÷ + 2m – 1.
	30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = f(x) = (x - 1)(5 - x)(x2 - 6x + 5).
	31. Cho các điểm A(-1; 1) và (2; 4) Î (P): y = x2.
	a) Trên cung AB của (P), tìm điểm C sao cho DABC có diện tích lớn nhất.
	b) Với C tìm được vẽ trung tuyến AM của DABC, AM cắt (P) tại I ¹ A. CMR: 
	32. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 
	33. CMR: mọi đường thẳng của họ (dm): y = 2mx – m2 + 2m + 2 luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
	34. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P1) của hàm số y = 2x2.
	 b) Từ đó suy ra đồ thị hàm số (P2): y = 2x2 – 4x + 3.
	 c) Biện luận bằng đồ thị theo k số nghiệm của phương trình:
	2x2 – 4x + 5 – k = 0.
	35. Cho hàm số y = f(x) = ÷ x2 – 3x + 2÷ + ÷ - x2 + 4x - 3÷ (P).
	a) Vẽ (P).
	b) Biên luận theo k số nghiệm của phương trình f(x) = k.