Chuyên đề: Hằng đẳng thức đáng nhớ và một số dạng toán

 Chuyên đề: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN Nêu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ? Dạng 1. Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để tính. Bài 1: Tính a) ( x + 2y)2 b) ( 3x - 2y)2 c) ( 6x - )2 f) ( 3x + 2)3 d) ( - y) ( + y) e) (x - )3 Dạng2. Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải. Bài 2: Chứng minh các đẳng thức: a) ( x + y)2 - y2 = x ( x + 2y ) b) ( x2 + y2)2 - (2xy)2 = (x + y )2 ( x –y )2 c) ( x + y)3 = x(x - 3y )2 +y( y –3x )2 Dạng2. Chứng minh đẳng thức Bài 3: Chứng minh các đẳng thức: a) ( a + b)3 + (a – b)3 = 2a ( a2 + 3b2 ) b) ( a + b)3 - (a – b)3 = 2b ( b2 + 3a2 ) Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa vế phải bằng vế trái hoặc vế trái bằng vế phải. Dạng 3. Tính nhanh Phương pháp giải: Đưa số cần tính về dạng (a+b)2 hoặc (a –b)2 , trong đó a là số nguyên chia hết cho 10 hoặc 100. Bài 4: Tính nhanh a) 10012 b) 29,9. 30,1 c) (31,8)2 – 2.31,8.21,8 + (21,8)2 Dạng 4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: * Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn *Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn Bài 5: Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức a) ( x - 10)2 - x(x+ 80) với x= 0,98 b) ( 2x + 9)2 - x(4x+ 31) với x = -16,2 c) 4x2 - 28x + 49 với x = 4 d) x3 - 9x2 + 27x với x =103 Dạng4. Rút gọn biểu thức Bài 6: Rút gọn biểu thức: a) ( x2 – 2x +2)(x – 2) (x2 + 2x+2)(x +2) b) ( x + 1)3 + (x -1)3 + x3 – 3x( x+1 )(x-1) c) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + ( 2a -b)2 d) 1002 - 992 + 982 -972 + … + 22 -12 e) 3(22 + 1)(24 +1)…( 264 +1) +1 f) ( a + b +c)2 + (a + b -c)2 + 2( a +b)2 Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức Để đưa về dạng T = a ± [M]2 với a là hằng số. Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: c) C = x2 - 2x + y2 – 4y + 7 a) A = 4x2 +4x +11 b) B = ( x -1 )( x +2 )( x +3 )( x +6 ) Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức về dạng A2 + B2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0. Dạng 6. Phương pháp tổng bình phương Bài 8: a) Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, chứng minh a=b =c b) Tìm a, b, c thỏa mãn đẳng thức: a2 - 2a + b2 + 4b + 4c2 - 4c + 6 = 0 Dạng 7. Áp dụng vào số học Bài 9: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 Giải: Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. tổng lập phương của chúng là: Vì: trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên 3n(n2-1) chia hết cho 9, lại có 9n chia hết cho 9. Dạng 8. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp Bài 10: Điền vào ô trống để biểu thức sau trở thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu: a) x2 + 20x + c) y2 - + 49 b) 16x2 + 24x + d) - 42xy + 49y2 Dạng 8. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp Bài 11: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng: Dạng 9. Biểu diễn đa thức dưới dạng bình phương, lập phương của một tổng (một hiệu) Bài 12: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng tổng của hai bình phương: a) x2 + 10x + 26 + y2 +2y b) x2 - 2xy + 2y2 +2y +1 c) z2 - 6z + 13 + t2 +4t d) 4x2 -4xz + 1 + 2z2 -2z Dạng 10. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x: Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến. a) (2x +3)(4x2 - 6x +9) - 2(4x3 -1) b) ( x +3)3 -(x + 9) (x2 +27) Dạng 10. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến Bài 14: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x,y: Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho không còn chứa biến. a) (x +y)(x2 - xy +y2) + (x -y)(x2 + xy + y2) – 2x3 b) ( xy -5)(xy+2) +3(xy-2)(xy +2) -(3xy - )2 + 5x2y2 Dạng 11. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái (hoặc vế phải) về dạng aX = b, từ đó tìm X. Bài 15: Tìm x, biết: a) ( x + 2 )2 - 9 = 0 b) ( x + 2 )2 - x2 + 4 = 0 d) ( x - 3 )3 - x (x- 4)(x +4) = x - 27 c) x2 - 2x = 24 e) ( x - 1)3 - (x +3)3 + 28 = 0 Bài 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: c) C = x2 - 4xy + 5y2 – 22y +10x +28 a) A = x2 - 20x +101 b) B = 4a2 +4a +2 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) A = 4x - x2 +3 b) B = x - x2 Bài 18: Chứng minh rằng nếu: ( x - y) 2 + ( y - z )2 + ( z – x )2 = (y+z -2x )2 + (z +x -2y)2 + (x +y -2z)2 thì: x = y = z Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số Phương pháp giải: Dựa các hằng đẳng thức Để đưa về dạng [ F ]2 + k với k >0 hoặc - [ F ]2 + n với n0 với mọi x b) B = -4x2 -4x -2 0 với mọi x,y,z Dạng 11. Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số Bài 20: Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x,y: a) A = x2 +xy + y2 +1 > 0 c) C = 5x2 + 10y2 -6xy - 4x – 2y +3 >0 b) B = x2 -4xy + 5y2 + 2x -10y +14 >0 Dạng 13. Một số hằng đẳng thức tổng quát Dạng 13. Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chia hết ta có: • an – bn chia hết cho a – b với a ≠ b và n nguyên dương • a2n +1 + b2n+1 chia hết cho a+b • a2n – b2n chia hết cho a + b. Bài 21: Chứng minh 1110 – 1 chia hết cho 100. Dạng 13. Bài 22: Chứng minh 1110 – 1 chia hết cho 100. Giải: Có 1110 – 1 = 1110 – 110= (11 -1)(119+118+…+ 11+1) = 10(119+118+…+ 11+1) Vì 119+118+…+ 11+1 có chữ số tận cùng bằng 0 nên 119+118+…+ 11+1 chia hết cho 10. Vậy 1110 –1 chia hết cho 100. Bài 23: Với n là số nguyên dương chẵn, chứng minh 20n +16n –3n - 1 chia hết cho 323. Giải: Ta có: 323 = 17.19. Áp dụng các hằng đẳng thức tổng quát ta có 20n – 1 chia hết cho 19, và vì n chẵn nên 16n - 3n chia hết cho 16 +3 =19, do đó 20n +16n –3n - 1 = (20n – 1) + (16n - 3n) chia hết cho 19. Mặt khác, vì 20n -3 chia hết cho 17 và 16n -1 chia hết cho 16 +1 = 17 nên 20n +16n –3n - 1 = (20n -3 ) + (16n -1 ) chia hết cho 17. Vậy 20n +16n –3n - 1 chia hết cho 323 Buổi 2 Bài 1: Điền vào ô trống để được đẳng thức đúng: a) (2a +3b)( - + ) = 8a3 + 27b3 b) (5x - )( +20xy+ )= 125x3 – 64y3 Bài 2: Chứng minh a) 11n+2 +122n+1 chia hết cho 133. b) 5n+2 + 26.5n +82n+1 chia hết cho 59. c) 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. Bài 2: Chứng minh a) 11n+2 +122n+1 chia hết cho 133. Giải: b) 5n+2 + 26.5n +82n+1 chia hết cho 59. Giải: c) 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. Giải: Dạng 12. Áp dụng vào số học Phương pháp giải: • Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a =b.k • Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia Bài 3: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5 Dạng 12. Áp dụng vào số học Bài 4: Biết số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n2 chia cho 7 dư bao nhiêu? n3 chia cho 7 dư bao nhiêu? Bài 5: Cho a , b là các số nguyên. Chứng minh a3 + b3 chia hết cho 3 khi và chỉ khi a+b chia hết cho 3. Bài 6: a+b =1. Tính giá trị M = 2( a3 + b3) – 3( a2 + b2) Dạng 7. Áp dụng vào số học Bài 8: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 Giải: Gọi ba số nguyên liên tiếp là n-1, n, n+1. tổng lập phương của chúng là: Vì: trong ba số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên 3n(n2-1) chia hết cho 9, lại có 9n chia hết cho 9. Bài 9: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 Bài 9: Chứng minh không có đa thức F(x) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9. Giải: Vế trái chia hết cho 15 -7 = 8, vế phải là 4 không chia hết cho 8 Vậy không có đa thức F(x) nào với hệ số nguyên mà F(7) = 5 và F(15) = 9. Bài 11: Chứng minh với số nguyên n>1 có: nn – n2 + n -1 chia hết cho ( n-1 )2. Bài 10: Cho đa thức với hệ số nguyên F(x) có F(0) và F(1) là hai số lẻ. Chứng minh rằng F(x) không có nghiệm nguyên.