Chuyên đề Hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt các phương pháp giải phương trình vô tỷ

ương pháp giải, chú ý tránh các sai lầm có thể xảy ra. 
 Từ đó hướng dẫn các em biết vận dụng thật linh hoạt các phương pháp đã biết tìm ra phương pháp giải phù hợp cho mỗi bài toán về ''phương trình vô tỉ'' của mình, đáp ứng với sự mong mỏi được khám phá; tự tin chiếm lĩnh tri thức; làm phong phú hơn hành trang về kiến thức các em mang theo khi học lên THPT.
2. Mục đích thực hiện chuyên đề.
 Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục theo hướng đổi mối phương pháp giảng dạy của giáo viên và đổi mới cách học của HS theo hướng chủ động sáng tạo, phát huy được tính tích cực tối đa của học sinh. Rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung và giải các phương trình vô tỉ nói riêng một cách chủ động, linh hoạt hơn. Từ đó xây dựng được lòng say mê, hứng khởi với việc học toán của học.sinh. Qua đó góp phần vào việc giáo dục một thế hệ trẻ năng động, sáng tạo, giàu kĩ năng trong công việc đáp ứng với công cuộc xây dựng và bảo vệ đất nước theo yêu cầu mới của nước nhà hiện nay .
B. Giải quyết vấn đề:
I. Cơ sở khoa học 
1. Cơ sở lí thuyết.
 Để giải PT vô tỉ tức là ta cần tìm cách biến đổi nhằm '' Hửu tỉ hoá '' các PT đó - và các phương pháp để giải quyết vấn đề đó là:
1- Phương pháp nâng lên luỹ thừa 
2- PP đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
3- PP đặt ẩn phụ 
4- PP hệ PT 
5- PP bất đẳng thức 
6- PP nhân với lượng liên hợp 
7- PP đưa về dạng tích 
8- Một số PP khác 
 Để giải quyết tốt việc tìm lời giải phù hợp cho mỗi phương trình vô tỉ, người giáo viên phải cung cấp cho HS các phương pháp giải đa dạng để từ đó có thể hướng dẫn cho các em biết cách phân tích bài toán, biết vận dụng linh hoạt các phương pháp đó vào giải các phương trình vô tỉ .
2. Cơ sở thực tiễn.
 Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề, trong chương trình cơ bản toán 9 thì phương trình vô tỉ còn chiếm mức '' khiêm tốn ''về cả khối lượng bài tập và cả phương pháp giải. Vì vậy chưa đáp ứng được nhu cầu học tập của HS nhằm đạt kết quả cao trong các kì thi học sinh giỏi, các kì thi chuyển cấp và là cơ sở cho kiến thức của các lớp trên .
 Tôi nhận thấy đa số học sinh '' rất sợ '' gặp phải các phương trình vô tỉ và cực kì lúng túng với việc phân tích đề bài để tìm ra lời giải tốt ( kể cả các em học sinh khá giỏi )
 Trước khi áp dụng CĐ vào việc giảng dạy của mình tôi đã cho HS làm bài kiểm tra khảo sát với nội dung ''về phương trình vô tỉ'' có cả bài dể và bài khó đòi hỏi HS phải biết sử dụng linh hoạt các phương pháp giải . 
 Kết quả thu được: Với 30 bài kiểm tra (đã trừ những em quá yếu kém) chỉ có 10 em tạm đạt yêu cầu, không có điểm cao, số còn lại không đạt.- Lí do chưa biết trình bày lời giải, chưa tìm ra cách giải, cũng có một số em đã tìm ra lời giải song lại mắc phải một số sai lầm đáng tiếc . 
Nội dung bài khảo sát như sau :
Hãy giải các PT sau :
Bài 1: a) 4 - =3; 
 b) = 2 
Bài2: (1)
Bài 3: a) 3x2 +21 x +18 +2 =2 ; 
 b) 
Kết quả cụ thể :
Bài 1: Đa số các em biết cách giải và giải khá tốt vì các em đã được luyện nhiều dạng này trong chương trình 
Bài2: Một số ít các em khá giải tốt; còn đa số giải như sau :
Lời giải sai: Chuyển vế : (2)
Bình phương hai vế ta được :
 x- 1 = 5x -1 +3x -2 +2 (3)
Þ 2-7x = 2 (4)
Bình phương 2 vế ta được :
4 - 28 x + 49x2 = 4 ( 15x2 -13x +2 ) (5)
Rút gọn : 11 x2 -24 x +4 =0 
Giải ra : x1 = 2/11 ; x2 = 2 
Sai lầm của các em là : 
1- Bỏ qua một bước rất quan trọng là không đặt điều kiện đễ các căn thức có nghĩa ( ĐK : x = 1) nên không loại bỏ nghiệm x1 =2/11 
2- Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương các PT (4) và (5) . Đáng ra PT (4) tương đương với hệ : tức là phải có thêm ĐK: x = 2/7 - Vì thế nghiệm x2 = 2 cũng không phải là nghiệm của (1) 
Bài 3: Đa số các em không giải được vì không tìm ra lời giải đúng 
 Vì thế với trăn trở là làm thế nào học sinh của mình ''tự tin'' hơn với dạng toán này tôi đã mạnh dạn tìm tòi, thử nghiệm và rút ra kinh nghiệm là cần cung cấp các phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách đa dạng, và thông qua một số ví dụ từ dễ đến khó nhằm hướng dẫn các em nắm chắc từng phương pháp giải ; từ đó rèn luyện hướng dẫn các em biết vận dụng một cách thật linh hoạt các phương pháp giải phù hợp nhất cho mỗi một phương trình vô tỉ cụ thể của mình .
II. Nội dung:
I. Các phương pháp giải và VD minh hoạ 
Nguyên tắc chung của việc giải PT vô tỉ là dùng các phép biến đổi đưa PT về dạng hữu tỉ để giải tìm nghiệm của nó, điều đó thể hiện ở mổi phương pháp khác nhau .
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa :
Bước 1: Nâng cả 2 vế lên cùng một luỹ thừa ta sẽ được một PT tương đương hoặc PT hệ quả (có thể 1 hoặc nhiều lần) có dạng hữu tỉ 
Bước 2: Giải PT tương đương hoặc PT hệ quả đó rồi đối chiếu điều kiện hoặc thử lại để xác định nghiệm của PT ban đầu 
VD1: Giải PT: 
 a) (BT77-SBT trang15)
 b) 
 c) 
Hướng dẫn HS tìm tòi lời giải:
 Đối với PT vô tỉ thì đầu tiên phải chú ý là phải đặt điều kiện của ẩn để PT có nghĩa .ĐK của x ở bài a, là gì ? 
Hãy tìm cách làm mất dấu căn của PT ? Từ đó hãy tìm nghiệm ? 
GV lưu ý : 
Đối với PT trên binh phương hai vế ta được PT tương đương vì hai vế đều không âm .
Còn đối với VD b; 
*Ta đã phân tích sai lầm trên là từ PT(4) để tương đương với (5) cần có thêm ĐK để cả hai vế không âm là x = 2/7 - Giải xong cần đối chiếu với cả hai đkiện (*) và (**) mới trả lời nghiệm của PT 
* Nếu trong quá trình giải các em quên đặt ĐK thì cả quá trình giải các em không đặt dấu tương đương và sau khi giải phải thử lại rồi mới trả lời nghiệm 
* Cách giải khác: 
Đặt ĐK tồn tại của (1) là: x = 1 Do đó x<5x Þ x-1 < 5x -1 Như vậy vế trái của (1) âm, còn vế phải không âm. Nên PT(1) vô nghiệm . 
c) Với bài tập này ta giải như thế nào? 
Liệu ta có thể dùng phương pháp nâng lên luỹ thừa được không? 
Hãy cố gắng tìm cách làm mất căn ?
Nghiệm của PT là bao nhiêu ?
GV lưu ý: Đối với các căn thức bậc lẻ không cần phải đặt điều kiện ;song giải xong các em nên thay vào PT để thử lại xem có thích hợp không rồi mới kết luận nghiệm. (Bài c)
Lời giải:
ĐK: 3x -2 = 0 Û x = 2/3 
Vì hai vế của PT đều không âm nên Bình phương hai vế của PT ta có:
3x - 2 = 7 -4
Û x= 3 - 4. ( thoã mãn x = 2/3)
Vậy PT có nghiệm : x= 3 - 4.
b) (1) 
 ĐK: x = 1(*)
Û (2)
Bình phương hai vế ta được :
x-1 =5x -1+3x-2+2 (3)
Û 2-7x = 2 (4)
ĐK: x = 2/7 (**)
Bình phương 2 vế ta được:
4 - 28 x+ 49x2 =4(15x2 -13x +2 ) (5)
Rút gọn: 11 x2 -24 x +4 =0 
Giải ra: x1 = 2/11 ; x2 = 2 (loại vì không thoã mãn (*) và(**) vậy PT(1) vô nghiệm 
c) 
Lập phương 2 vế : 
2x +1 +x +3.1 =1 
 .= -x 
Lập phương 2 vế : x(2x+1) =-x3 
 x.(x2 +2x +1) =0 Nên x =0 (TM ) hoặc x = -1 (0 thoã mãn)
Vậy PT chỉ có 1 nghiệm : x = 0 
2- Phương pháp đưa về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
Bước 1:Tìm cách đưa các biểu thức chứa ẩn trong căn về dang bình phương để đưa ra khỏi căn có mang theo giá trị tuyệt đối .
Bước 2: Giải PT chứa dấu giá trị tuyêt đối đó ; Kiểm nghiệm lại tính phù hợp của nghiệm và trả lời kết quả 
VD2: Giải các phương trình :
a) = 2 
b) 
c) 
Hướng dẫn HS tìm tòi lời giải:
a) Ta sẽ sử dụng kiến thức nào để có thể giải được các PT dạng này ? 
(Sử dụng HĐT: ) 
Hãy trình bày lời giải của câu a, ? 
b) Các em hãy tìm cách đưa các căn thức về dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu ? 
Bây giờ hãy vận dụng phương pháp trên giải tiếp ?
Ta sẻ giải PT (*) như thế nào để tìm nghiệm ? 
(Phá dấu giá trị tuyệt đối)
Kết luận về nghiệm của PT như thế nào? 
c) PTrình c có đưa được về dạng như PT b không ?
Làm thế nào để đưa được các biểu thức dưới dấu căn về dạng Hằng đẳng thức ? 
Bây giờ các em hãy giải tiếp như PT b,và cho biết kết quả về nghiệm của PT ? 

Lời giải
a) 
b) ĐK:x = 1 
Û 
Û (*) 
+ Nếu x = 2 PT trở thành :
+Nếu 1 = x<2 PT trở thành :
 Û 2=2 ( Đúng vói mọi x )
Vậy PT b, có vô nghiệm : 1 = x = 2
c) ĐK: x = 1/2 
Û 
Û 
Giải ra ta có nghiệm của PT là: 1/2 = x = 1 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ :
Bước1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ .
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT chứa ẩn phụ ; Giải PT chứa ẩn phụ - Đối chiếu điều kiện của ẩn phụ đã nêu để tìm nghiệm thích hợp cho PT này 
Bước 3: Tìm nghiệm của PT ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ .
Trong 3 bước thì bước 1 là quan trọng nhất, vì nó quyết định đến tính chính xác ; ngắn gọn và độc đáo của lời giải .
VD minh hoạ : Giải các PT :
a) 3x2 +21 x +18 +2 =2
b) x(x+5 ) = 2
Hướng dẫn HS tìm tòi lời giải:
Với PTa, ta có thể dùng phương pháp nâng lên luỹ thừa được không ? Vì sao ?
(Không đươc vì nếu chuyển vế rồi bình phương 2 vế ta cũng được pt bậc 4 chưa giải được )
Vậy ta có thể làm theo cách nào ? 
 Để ý: 3x2 +21 x +18= 3(x2 +7x +7) -3
Nên ta có thể đặt ẩn phụ như thế nào?
Hãy giải PT theo ẩn phụ đó rồi tìm nghiệm của ẩn chính ?
b) Sử dụng PP đặt ẩn phụ các em hãy giải bài b, tương tự câu a, 
Ta dặt ẩn phụ như thế nào? 
Nếu đặt 
Thì PT trở thành PT như thế nào ? 
GV cho HS tự giải rồi kiểm tra lại kết quả .

Lời giải:
a) Ta đặt = T (T = 0)
PT trở thành : 
3T2 + 2T - 5 = 0 
Giải ra T1 = -5/3 (Loại )
 T2 = 1 
Suy ra: x2 + 7x + 7 = 1 
Û x2 + 7x + 6 = 0 
x1 = -1; x2 = -6 (t/mãn cho x2 +7x +7 = 0)
b) Đặt 
PT trở thành : y3 – 2y + 4 = 0 
Û (y+2)( y2 -2y +2) = 0 
Ûy+2 = 0 Û y = -2 
hoặc y2 – 2y + 2 = 0 (vô nghiệm) 
Vậy y = 2 Suy ra x2 + 5x – 2 = - 8 
Û x2 + 5x + 6 = 0 
 x1= -2; x2 = -3 
Phương pháp đặt ẩn phụ để ''hửu tỉ hoá '' còn được thể hiện dưới dạng phương pháp ''Hệ phương trình'' 
4. Phương pháp chuyển PT vô tỉ về hệ phương trình hữu tỉ. 
Bước 1: Trong 1 PT nhưng ta đặt nhiều ẩn phụ ( 2 ẩn trở lên ); Tìm các mối liên hệ giữa các ẩn để lập thành một hệ PT hửu tỉ 
Bước 2: Giải hệ đó tìm các ẩn phụ phù hợp với hệ 
Bước 3: Từ ẩn phụ suy ra nghiêm chính của PT 
Ví dụ minh hoạ : 
Giải các PT sau :
a) 
b) 
Hướng dẫn HS tìm tòi lời giải:
a) PT này có nghĩa khi nào ? 
Ta có thể chọn đặt ẩn phụ như thế nào ?
 (Để có thể biểu thị được mối quan hệ giữa các ẩn phụ)
Đặt ; thì ĐK của a, b là gì ? 
PT ban đầu trở thành hệ PT như thế nào? 
Nếu bình phương mỗi cănthức rồi lấy hiệu để khữ ẩn ta sẽ được điều gì ?
Hãy giải hệ PT đó ?
Qua giá trị nghiệm của ẩn phụ hãy tìm giá trị nghiệm của ẩn chính ? và trả lời bài toán? 
b) Mặc dầu bài b, có các căn bậc khác nhau song áp dụng cách giải trên cũng tỏ ra rất hiệu quả .
GV hướng dẫn các bước như trên các em sẽ dễ dàng giải được PT này 
Lời giải:
a) TXĐ : - = x = 
Đặt ; ( a,b = 0)
Theo PT ta có : a -b =3 (1) 
Lại có: 
a2-b2 = (25-x2) -(10 -x2) =15(2)
Ta có hệ PT:
Giải hệ PT này ta được :
a = 4 ; b= 1 
Suy ra Û x1 = 3; x2=-3
b) TXĐ: x = 1 
Đặt ( b = 0 ) 
Theo PT đã cho thì : a +b = 1 
Lại thấy : a3 +b2 = 1 
Chuyển về hệ :
GIải hệ này ta được : (a = 0; b =1)
(a =1; b = 0) ; (a =-2; b =3)
Từ đó suy ra các nghiệm của PT ban đầu là: x1= 2; x2 =1; x3 = 10 
5. Phương pháp bất đẳng thức:
Phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỷ được thể hiện dưới nhiều dạng khác nhau:
Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị của hai vế không đồng nhất, khi đó phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: giải pt: = (1)
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Điều kiện của phương trình có ngiã là gì?
Với điều kiện đó giá trị của vế trái như thế nào?
(Hãy so sánh x và 5x)
Còn vế phải có giá trị ra sao? 
Qua đó em có nhận xét gì về nghiệm của phương trình này?
Lời giải
Điều kiện: x = 1
Vì với x = 1 thì x < 5x Þ x - 1 < 5x -1 
Nên 0
Vậy nên phương trình vô nghiệm
Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế:
Ví dụ: Giải pt: = 4 - 2x - x2
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
Hãy tìm điều kiện của phương trình?
Các biểu thức 3x2 +6x +7; 5x2 +10x +14 có giá trị như thế nào? 
Do các biểu thức trong căn đều không âm nên phương trình có nghiệm khi vế phải như thế nào? Từ đó tìm điều kiện của x?
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hai vế?
Từ đó có nhận xét gì? (phương trình chỉ xẩy ra khi nào?)
Lời giải
Điều kiện: -1 - = x = -1 + (*)
Ta thấy: vế trái 
=== 5
VP = 5 - (x +1 )2 = 5
Vậy dấu "=" xẩy ra khi cả hai vế đều bằng 5. Khi đó x = -1 (thoả mãn điều kiện (*))
Vậy phương trình có một nghiệm x =-1.
Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ: Giải phương trình 
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải:
 Tìm điều kiện của phương trình?
Hãy thử x = 3 có phải là nghiệm của phương trình không?
Với x > 3 thì ta có điều gì?
Với - 1< x < 3 thì ta có đièu gì?
Từ đó ta có kết luận gì về nghiệm của phương trình đã cho?
Lời giải
Nhận xét: + x = 3 là nghiệm của phương trình
+ Với x > 3 thì >1, >2, nên vế trái của phương trình lớn hơn 3.
Vậy x > 3 khồng thể là nghiệm của phương trình.
+ Với -1 = x < 3 thì < 1,
< 2 nên vế trái của phương trình nhỏ hơn 3.
Vậy - 1 = x < 3 không thể là nghiệm của phương trình.
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.
Dạng 4: Sử dụng điều kiện xẩy ra dấu bằng ở bất đẳng thức không chặt.
Ví dụ: Giải phương trình: + = 2 (2)
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải 
Điều kiện của phương trình?
Các em hãy quan sát kĩ các hạng tử của vế trái từ đó nhận ra điều gì ? 
Do và đều không âm nên giá trị của vế trái như thế nào?
(Hãy áp dụng bất đẳng thức :
 với a;b đều không âm )
Vậy đẳng thức chỉ xẩy ra khi nào?
Hãy giải phương trình (2)
Từ đó kết luận nghiệm của ph/trình là gì?
Lời giải
Điều kiện: x > 
Do và đều không âm nên + = 2
Dấu "=" chỉ xẩy ra khi = 
Û x = (2) Û x2 = 4x -1 
 Û x2 - 4x +1 = 0
Giải phương trình này ta được:
 x1 = 2 +; x2 = 2 - (cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện ban đầu)
Vậy phương trình có hai nghiệm 
x1 = 2 +; x2 = 2 - 
6. PP nhân với lượng liên hợp:
Ta đã biết: () . () = a - b với a = 0, b = 0 trong đó và là hai biểu thức liên hợp với nhau. Thực chất của phương pháp này là nếu nhân một biểu thức dạng ± với biểu thức liên hợp mà xuất hiện một nhân tử chung với biểu thức khác của phương trình thì sau khi đặt nhân tử chung ta chuyển về giải phương trình đơn giản hơn:
Ví dụ: Giải phương trình: 
a) (3)
b) ((Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007 )
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải
Bài này ta có thể giải bằng phương pháp nào ? 
Nếu giải bằng phương pháp nâng lên luỹ thừa ta sẽ được một PT bậc 4 mà bằng kiến thức của chúng ta chưa thể giải được . Nếu giải bằng cách đặt ẩn phụ hay phương pháp bất đẳng thức .. củng đều rất phức tạp. Do vậy chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giải mới đó là: PP nhân với lượng liên hợp
Hãy tìm điều kiện của phương trình?
Ta nhận thấy (4x +1) - (3x - 2) = x +3. Vậy nhân cả hai vế của phương trình (3) với biểu thức nào để xuất hiện nhân tử chung?
Hãy giải phương trình (3').và trả lời nghiệm của PT ban đầu? 
b) Đây là câu 13 của đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Năm học 2006-2007. Qua tìm hiểu đa phần các em thí sinh không làm được bài này . Song thực ra bài này cũng không phải giải được nếu ta vận dụng PP nhân với lượng liên hợp kết hợp một vài phương pháp khác là có thể giải dễ dàng . 
Trước hết hãy đặt điều kiện của PT ?
Để ý : (
Vậy các em hãy nhân hai vế PT với lượng liên hợp của ? 
hãy xem x=0 có phải là nghiệm của pt không ? 
Ta có thể chia 2 vế với x ; sau đó đặt ẩn phụ thì t phải có điều kiện gì? 
PT trở thành PT nào? 
Hãy đưa PT về dạng tích để giải ?
Các em có nhận xét gì vế giá trị của Biểu thức t3 +4t2 +4t + 128 ? 
Ta cũng có thể đưa (**) về dạng:
 (4 - )2 + 2 = 0
 x = 7 (TMĐK)
Lời giải
Điều kiện: x = 
Nhân hai vế của phương trình (3) với + ta được:
(3) Û x+3 = (+)
Û (x+3) (+- 5) = 0
Û 
+ x + 3 = 0 Û x =-3 (loại)
++ - 5 = 0 
Û + = 5
Giải phương trình này với phương pháp bình phương hai vế hoặc so sánh giá trị của vế trái với 5 khi = x 2 để tìm thấy nghiệm duy nhất là x = 2.
Thử lại ta thấy phương trình (3) có một nghiệm là x = 2.
b)
ĐK: x = 7 
Nhân hai vế với ta được : 
x( x+1+2) = 8x(
Ta thấy x =0 không phải là nghiệm nên chia 2vế với x :
(x+1+2) = 8((**)
Đặt =t ( t = 0)Þ x =t2 +7 
PT trở thành :
 t2 +8 +2t = 8
Û t2 +2t +32 = 8
Vì hai vế không âm ; nên bình phương 2 vế ta được PT tương đương :
t4 +4 t3 +4t2 +128t =0 
Û t (t3+ 4t2 +4t +128 ) =0 
Vì t3 +4t2 +4t + 128 >0 do t = 0 
nên t =0 (TM ) Suy ra : =t=0 
Û x =7 (thoã mãn )
Vậy PT chỉ có một nghiệm x =7 
7. PP đưa về dạng tích. 
Nguyên tắc của dạng này là tìm cách biến đổi đưa phương trình về dạng tích để giải các dạng phương trình quen thuộc ( có thể kết hợp cả các phương pháp giải khác như đặt ẩn phụ ; nâng lên luỹ thừa ...)
Ví dụ: Giải phương trình (4)
Hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải 
Ta đã giải phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình, hoặc phương pháp bất đẳng thức sử dụng tính đơn điệu của hàm số...
Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình này bằng cách biến đổi đưa về dạng tích như thế nào?
Điều kiện của phương trình là gì?
Các em hãy đặt t = (t = 0)
Phương trình (4) trở thành phương trình 
nào với ẩn t?
Hãy biến đổi phương trình (4') về dạng tích?
Hãy giải phương trình dạng tích đó?
Từ nghiệm t hãy suy ra nghiệm x của phương trình (4)?
Lời giải
Điều kiện: 1 = x 
Đặt t = (t = 0)
Þ x = t2 +1 
Þ 2 - x = 1 - t2 
Phương trình (4) trở thành: 
+t = 1(4')
Û = 1 - t
Lập phương hai vế ta có: 
1 - t2 = (1 - t)3
Û (1- t)( - t2 + 3t) = 0
Û t (1 - t) (3 - t) = 0
Û 
Với t = 0 Û = 0 Û x =1 (thoả mãn)
Với t = 3 Û = 3 Û x = 10 (t/mãn)
Với t = 1 Û = 1 Û x = 2 (t/mãn)
Vậy p/t có 3 nghiệm x = 1, x = 2 và x = 10.
2. Những điều cần lưu ý:
 Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản mà ta thường gặp , ngoài ra trong quá trình tìm tòi lời giải các bài toán về phương trình vô tỉ và học lên các em có thể biết thêm một số phương pháp giải.khác ; các em phải tích cực thử nghiệm và phát huy để tìm ra những lời giải hay ; độc đáo .Một phương trình vô tỉ có thể có nhiều cách giải để các em lựa chọn . 
Ví dụ như với PT : như đã trình bày ở trên ta đã giải bằng 3 cách là Đặt ẩn phụ đưa về hệ PT ; PP bất đẳng thức nhờ sữ dụng tính đơn điệu của hàm số ; rồi PP đưa về dạng tích để giải .
 Cũng có những PT vô tỉ mà chỉ có thể áp dụng đúng một phương pháp nào đó để giải ; còn các phương pháp khác lại rất khó khăn ; Ví dụ PT : - = ta chỉ có thể giải bằng PP nhân với lượng liên hợp là hay nhất .
 Lại có những phương trình trong quá trình giải chúng ta phải vận dụng linh hoạt đồng thời nhiều phương pháp giải .Ví dụ PT : (đã giải ở phương pháp đưa phương trình về dạng tích : đã đồng thời dùng phương pháp đặt ẩn phụ ; rồi biến đổi đưa về dạng tích ; sau đó lại nâng lên luỷ thừa để giải .
 Vấn đề ở chổ là khi đứng trước một phương trình vô tỉ nào đó - các em phải xem xét ;suy nghĩ xem với bài này mình nên sử dụng phương pháp nào cho phù hợp ; và giải ra mình cảm thấy tin tưởng nhất . Tóm lại phải nắm thật chắc các phương pháp giải PT vô tỉ mà các em đã biết - từ đó có thể vận dụng linh hoạt vào quá trinh tìm tòi lời giải cho bài toán của mình một cách mà các em cho là phù hợp và tin tưởng 
Một số bài tập để HS tự luyện :
Giải các phương trình sau :
Bài 1. x2 -4x =8
Bài2. 
Bài 3. 
Bài 4. (
Bài 5. 
Bài 6. 
3. Kết quả thực nghiệm sư phạm:
 Qua mấy năm trực tiếp giảng dạy tôi đã thấy rõ được thực trạng khả năng giải Phương trình vô tỷ của học sinh là còn rất yếu ; do cảm giác khó cho nên các em đâm ra rất ngại khi bắt gặp các phương trình dạng này ; gây ra sự hứng thú trong học tập không cao . Song thực tế PT vô tỉ lại có rất nhiều ở các đề thi học sinh giỏi ; đề thi vào các trường THPT (đặc biệt là vào các trường chuyên THPT).
 Tôi đã mạnh dạn áp dụng chuyên đề này vào trong việc giảng dạy của mình ; và đã thu được một số kết quả nhất định. Do được hướng dẫn kĩ càng và cho học sinh rèn luyện nhiều thông qua hệ thống bài tập được chọn lọc nên các em đã giải được rất nhiều bài tập về phương trình vô tỉ với nhiều dạng khác nhau . Từ việc rất ngại và sợ gặp phải phương trình vô tỉ, bây giờ các em tự tin và hứng thú với loại phương trình này. Từ đó cũng góp phần xây dựng cho học sinh lòng yêu thích, sự hứng khởi trong học tập và chủ động linh hoạt hơn việc chinh phục các kiến thức mới của mình .
 Sau khi áp dụng CĐ này vào thực tế giảng dạy và rút kinh nghiệm dần qua từng năm tôi đã cho HS của mình làm bài khảo sát về CĐ này và kết quả thu được từ 30 em được chọn như sau :
*Trước khi áp dụng kinh nghiệm :
Số HS chưa biết giải PT vô tỉ ở mức yếu 
Số HS mới biết giải